Wignerfunktional für fermionische Felder (QFT im Phasenraum)

Ich studiere gerade die Wigner-Funktionsformulierung der Quantenfeldtheorie, die aus dem Schrödinger-Bild abgeleitet ist: Die Operatoren, die auf die Zustände des Fock-Raums wirken, sind Funktionen der zeitunabhängigen Felder$\phi(\textbf{x})$. In der Positionsdarstellung jeder Zustand$|\Psi\rangle$wird durch eine Funktion der Felder dargestellt$\Psi[\phi] = \langle\phi|\Psi\rangle$, Wo$|\phi\rangle$sind die Eigenzustände der Feldoperatoren. Diese werden als Kerne realisiert$\hat{\phi}(\textbf{x})\rightarrow\delta[\overline{\phi}-\phi]\phi(\textbf{x})$, und ihre konjugierten Impulse als$\hat{\pi}(\textbf{x})\rightarrow \delta[\overline{\phi}-\phi]\frac{\delta}{\delta\phi(\textbf{x})}$. Vor diesem Hintergrund werden die Zustände aus der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung berechnet:

$$i\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(t)\rangle = H|\Psi(t)\rangle$$

Für die Phasenraumformulierung dieser Theorie werden alle Operatoren als Funktionale der Felder und ihrer konjugierten Impulse geschrieben$\mathcal{O}[\phi,\pi]$, und der Zustand wird durch das Wigner-Funktional dargestellt$W[\phi,\pi]$, die der Moyal-Gleichung gehorcht:

$$\{\{W,H\}\} = W[\phi,\pi]\star H[\phi,\pi] - H[\phi,\pi]\star W[\phi,\pi] = 0$$

Wobei das Moyal Star-Produkt definiert ist als:

$$A[\phi,\pi]\star B[\phi,\pi] = A[\phi,\pi] \exp\left(\frac{i\hbar}{2}\int d^{3}\textbf{x}\ \frac{\overleftarrow{\delta}}{\delta\phi(\textbf{x})}\frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta\pi(\textbf{x})} - \frac{\overleftarrow{\delta}}{\delta\pi(\textbf{x})}\frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta\phi(\textbf{x})} \right) B[\phi,\pi]$$

Das Wigner-Funktional erhält man aus dem Shrödinger-Funktional durch die Wigner-Transformation:

$$W[\phi,\pi] = \int \mathcal{D}\eta \ \Psi^{*}\left[\phi-\frac{\hbar}{2}\eta\right]e^{-i\int d^3\textbf{x}\ \eta(\textbf{x})\pi(\textbf{x})}\Psi\left[\phi+\frac{\hbar}{2}\eta\right]$$

Jetzt funktioniert alles gut für die skalaren und elektromagnetischen Felder. Trotzdem bin ich auf mehrere Schwierigkeiten gestoßen, als ich versuchte, diese Formulierung auf das fermionische Feld anzuwenden. Erstens müssen fermionische Feldoperatoren und ihre Impulse antikommutieren, was bedeutet, dass auch ihre Eigenwerte:$\{ \psi(\textbf{x}),\psi(\textbf{y}) \} = 0$. Dies kann jedoch gelöst werden, indem man die Feldfunktionen ausdrückt$\psi(\textbf{x})$a Grassmann-Variablen und Durchführung aller Berechnungen unter Berücksichtigung dessen. Mein Hauptproblem ist, dass der konjugierte Impuls des fermionischen Feldes sein Adjunkt ist,$\pi_{\psi}(\textbf{x}) = i\psi^{\dagger}(\textbf{x})$. Daher der Wert des Feldes$\psi$bestimmt eindeutig den des Impulses$i\psi^{\dagger}$. Somit wäre ein Wigner nicht funktionsfähig$W[\psi,\psi^{\dagger}]$nur effektiv vom Feld abhängig sein$\psi$? Wie kann man einen Phasenraum konstruieren, wenn der konjugierte Impuls mit dem Feld zusammenhängt? Denken Sie daran, dass dies für den Skalar oder das elektromagnetische Feld nicht der Fall ist, obwohl der konjugierte Impuls als definiert ist$\pi = \partial_0\phi$im Heisenberg-Bild hebt die zeitliche Unabhängigkeit der Operatoren im Schrödinger-Bild diesen Zusammenhang auf.