An Fermionen in einem endlichen Volumen gebunden?

Zunächst eine Klarstellung.

Obwohl es falsch ist, diese als Punktteilchen zu betrachten ...

Dies ist kritisch. Der Zustand eines Teilchens in einer Box kann nicht durch einen Satz von Positionskoordinaten beschrieben werden.

Betrachten Sie eine 1-D-Box der Länge$L$mit zwei nicht unterscheidbaren Fermionen darin. Die Wellenfunktion des Zweiteilchensystems$f(x_1,x_2)$müssen die Randbedingungen beachten$f(0,x_2)=f(L,x_2)=f(x_1,0)=f(x_1,L)=0$(Ich werde die Normalisierung der Einfachheit halber ignorieren).

Sie können interpretieren$x_1$Und$x_2$als "Ortskoordinaten" für die beiden Fermionen, in Analogie zum Single-Particle-in-a-Box-Problem aus der elementaren Quantenmechanik. Die (fermionische) Ununterscheidbarkeitsbedingung legt dem Zustand eine zusätzliche Einschränkung auf – nämlich die$f(x_1,x_2)=-f(x_2,x_1)$.

Welche Art von Funktionen gehorchen diesen Bedingungen? Nun, die einzelnen Teilchenenergie-Eigenzustände des 1D-Teilchens in einer Box nehmen die Form an

Eine Vermutung wäre also die Funktion

Dies erfüllt die Randbedingungen, aber nicht die Antisymmetriebedingung - die korrekte antisymmetrisierte Version ist

Was bedeutet dieser Zustand (oder besser gesagt die Wahrscheinlichkeitsdichte$|f(x_1,x_2)|^2$) aussehen?

Erinnere dich daran$|f(x_1,x_2)|^2| dx_1 dx_2$ist die Wahrscheinlichkeit, ein Fermion im Intervall zu messen$[x_1, x_1+dx_1]$und eine in der Pause$[x_2,x_2+dx_2]$. Wie erwartet entlang der Linie$x_1=x_2$, ist die Wellenfunktion gleich Null - physikalisch bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit, zwei nicht unterscheidbare Fermionen im selben infinitesimalen Intervall in der 1D-Box zu messen, gleich Null ist.

Außerdem, wenn wir reparieren$x_1$an irgendeiner Stelle (z.B.$x_1=0.25$) dann sehen wir, dass die Wahrscheinlichkeit, das andere Teilchen in der Nähe dieser Position zu finden, verschwindend klein ist und ein Maximum auf der anderen Seite des Kastens hat (ca$x_2=0.75$).

Wenn wir komplexere Zustände verwenden (sagen wir,$n=2$Und$n=4$), erhalten wir kompliziertere Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen

aber das werden wir immer haben$x_1=x_2 \implies f(x_1,x_2)=0$aufgrund der Asymmetriebedingung bei fermionischen Wellenfunktionen.

Nun zu deinen Fragen.

Was bleibt$\epsilon$um über alle Werte von zu variieren$[0,1]$so dass es buchstäblich eine unzählbare Anzahl von Teilchen in einer Kugel mit Radius gibt$1$zentriert bei$(x,y,z)$?

Ich weiß nicht wirklich, wie man eine unzählbare Anzahl von Teilchen überhaupt beschreiben würde, also stecken wir eine Stecknadel hinein. Vielleicht kann jemand anderes eine zufriedenstellende Antwort geben.

Was bleibt$\epsilon$von unterschiedlichen als$\epsilon = \frac{1}{n}$für alle$n\in\mathbb N$so dass es eine abzählbare Anzahl von Fermionen in einer Kugel mit Radius 1 gibt, die bei zentriert ist$(x,y,z)$?

Nichts.

Eine fermionische 2-Teilchen-Wellenfunktion kann jede Funktion sein$f(x_1,x_2)$die den Randbedingungen gehorcht und antisymmetrisch ist. Eine fermionische N-Teilchen-Wellenfunktion kann jede Funktion sein$f(x_1,x_2,\ldots,x_N)$die den Randbedingungen gehorcht und insgesamt antisymmetrisch ist$N$seiner Einträge.

Wenn Sie Ihre Einzelteilchen-Wellenfunktionen beispielsweise als Gaußsche mit scharfen Spitzen betrachten, dann hindert Sie nichts daran, so viele davon in Ihre Box zu geben, wie Sie möchten - solange die gesamte Wellenfunktion antisymmetrisch ist . Dazu jede gewünschte Sammlung von$N$Einzelteilchen-Wellenfunktionen können Sie die Slater-Determinante verwenden , um die geeignet antisymmetrisierte Kombination zu finden.

Diese Antisymmetrie bedeutet natürlich, dass die Wahrscheinlichkeit, zwei beliebige Teilchen im selben infinitesimalen Intervall zu messen, gleich Null ist.

Gibt es eine Möglichkeit, eine abzählbare Anzahl von Fermionen in eine Kugel mit endlichem Radius zu bringen?

Sicher. Wenn wir nur Energie-Eigenzustände betrachten (was wir nicht tun müssen, aber sicherlich können ) , dann sollten Sie sehen können, dass wir zwar nicht zwei Teilchen im selben Energie-Eigenzustand haben können, aber ein Teilchen darin haben können Zustand$1$, einer im Staat$2$, einer im Staat$3$, usw. Wir können unserer Box eine beliebig große Anzahl von Teilchen hinzufügen, solange wir den Preis zahlen, dass jedes Teilchen, das wir hinzufügen, eine höhere Energie haben muss als das vorherige. Dies ist das Konzept, das dem Fermi-Niveau zugrunde liegt , einer entscheidenden Idee in der Festkörperphysik.

Nein, eine solche Grenze gibt es nicht. Der einfachste Weg, dies zu sehen, basiert auf Einheiten. Gegeben$m$Und$h$, gibt es keine Möglichkeit, eine Größe mit Einheiten der Dichte zu bilden.

Im Zusammenhang mit der allgemeinen Relativitätstheorie gibt es nichts an der zugrunde liegenden Quantenmechanik eines fermionischen Materiefeldes, das eine Zustandsgleichung verursachen würde, die starke Krümmungssingularitäten verhindern würde. Für eine Beschreibung dessen, was eine starke Krümmungssingularität ist, siehe Rudniki et al., „Generalized Strong Curvature Singularities and Cosmic Censorship“, https://arxiv.org/abs/gr-qc/0203063

Die kurze Antwort ist JA, denn im Allgemeinen wird es innerhalb eines endlichen Volumens eine unendliche Anzahl von Zuständen geben. Wenn Sie die Anzahl der Teilchen innerhalb des Volumens beliebig groß machen, dann muss auch das höchste besetzte Energieniveau beliebig groß sein, aber das ist kein grundsätzliches Problem. Das ist die Grundidee hinter dem Fermi-Gas , das ist der Name für die Situation, die Sie beschreiben.