Wie leitet man die Formel für den Radius einer Fermikugel her?

Question

Wie leitet man die Formel für den Radius einer Fermikugel her?

Physik
Fermionen
Quantenmechanik
Hausaufgaben-und-Übungen
Pauli-Ausschlussprinzip

Gjert

Ich versuche herauszufinden, wie der Radius einer Fermikugel ist

P_{F} = ℏ (3 π^{2} \frac{N}{v})^{1 / 3}

$p_F = \hbar (3 \pi^2 \frac{N}{V})^{1/3}$ ergibt sich aus der Formel

D N_{S P A T ich A l} = \frac{v D^{3} P}{ℏ^{3}} .

$dN_{spatial}=\frac{V \ d^3p}{\hbar^3}.$ Die Lösung besagt, dass ich zu folgendem kommen sollte

\frac{2 v}{(2 π ℏ)^{3}} \cdot \frac{4 π}{3} P_{F}^{3} .

$\frac{2V}{(2 \pi \hbar)^3} \cdot \frac{4\pi}{3}p_F^3.$ Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, wie ich nach dem Folgenden vorgehen soll

2 \int D N_{S P A T ich A l} = \frac{2 v}{ℏ^{3}} \int D^{3} P = ?

$2\int dN_{spatial} = \frac{2V}{\hbar^3}\int d^3p= \ ?$ Ich würde mich über etwas Hilfe freuen, um dies zu lösen, und wenn Sie Webressourcen haben, würde ich das auch gerne akzeptieren (ich habe jetzt eine Weile versucht, meinen Weg zu googeln).

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Wie leitet man die Formel für den Radius einer Fermikugel her?

Höhlenmensch · Answer 1

Ich denke, es sollte sein $h$ im Nenner Ihrer zweiten Gleichung,

D N = \frac{v}{H^{3}} D^{3} P

${\rm d}N = \frac{V}{h^3}{\rm d}^3{\bf p}$

Auf beiden Seiten integrieren und die Entartung berücksichtigen

N = \frac{2 v}{H^{3}} \int D^{3} P = \frac{2 v}{H^{3}} \int D Ω \int_{0}^{P_{F}} D P P^{2} = \frac{2 v}{H^{3}} \frac{4 π}{3} P_{F}^{3}

$N = \frac{2 V}{h^3} \int{\rm d}^3 {\bf p} = \frac{2 V}{h^3} \int {\rm d}\Omega\int_0^{p_F}{\rm d}p ~p^2 = \frac{2V}{h^3} \frac{4\pi}{3} p_F^3$

Verwenden $2\pi\hbar = h$ du erhältst

N = \frac{2 v}{(2 π ℏ)^{3}} \frac{4 π}{3} P_{F}^{3}

$N = \frac{2V}{(2\pi \hbar)^3} \frac{4\pi}{3}p_F^3$

und von hier aus ist es nur noch eine Frage des Erhaltens $p_F$

P_{F} = ℏ {(3 π^{2} \frac{N}{v})}^{1 / 3} = ℏ k_{F}

$p_F = \hbar \left(3\pi^2 \frac{N}{V} \right)^{1/3} = \hbar k_F$

Sie haben Recht, scheint ein Tippfehler in der Übung zu sein. Allerdings könntest du das Teil erklären $\int d\Omega$ mit Entartung?
Das ist das Integral des Raumwinkels $d \Omega = \sin(\theta) d\theta d\phi$
@PhyCoMath Es ist nur eine Kurzversion der Integration über den Winkel . $\int {\rm d}\Omega = \int_0^{2\pi}{\rm d}\phi \int_0^{\pi}{\rm d}\theta\sin \theta$
@caverac Oh, diese Notation noch nie gesehen. Danke für die Aufklärung :)

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