Besonderheit über ein System von drei Elektronen

Stellen Sie sich drei (oder eine beliebige Anzahl größer als 2) Elektronen ohne räumliche Freiheitsgrade vor, daher sind die Spins der einzige Freiheitsgrad. Der Hilbert-Raum wird dann durch das Tensorprodukt des Raums jedes Elektrons gebildet. Nun, gemäß meiner Literatur über den sogenannten antisymmetrischen Tensor, dass kein antisymmetrischer Tensor gebildet werden kann, wenn die Anzahl der zu tensormultiplizierenden Vektoren größer ist als die Dimension jedes Vektorraums. Wenn ich es am Anfang auf mein Beispiel anwende, scheint es, dass ich keinen antisymmetrischen Zustand im System von drei Elektronen bilden kann, weil die Anzahl der zu tensormultiplizierenden Ket drei ist (es gibt drei Elektronen), während die Dimension von jedem 2 ist ( durch Schleudern 1/2). Wenn das stimmt, ist dann ein Drei-Elektronen-System ohne räumliche Freiheitsgrade unmöglich? Aber das ist seltsam.

Antworten (1)

Ja, es ist nicht möglich, mit mehr als zwei Elektronen einen völlig antisymmetrischen Spinzustand aufzubauen. Das ist nur eine Aussage von Paulis Ausschlussprinzip.

Bedeutet das, dass die Einbeziehung des räumlichen Teils der Wellenfunktion wesentlich ist, um einen 3-Elektronen-Zustand zu erzeugen?
Warte, warte, warte... Nach einigem Grübeln, ob ich dranbleibe | ± ⟩ | ± ⟩ | ± ⟩ Grundlage scheint es tatsächlich nicht möglich zu sein, einen antisymmetrischen Zustand zu konstruieren. Aber wenn ich einen anderen Staat einführe, sagen wir | π ⟩ was eine lineare Kombination von ist | + ⟩ Und | − ⟩ , ich kann tatsächlich einen antisymmetrischen Zustand bilden, der ist
| A ⟩ = | + ⟩ | − ⟩ | π ⟩ + | π ⟩ | − ⟩ | + ⟩ + | − ⟩ | π ⟩ | + ⟩ − | π ⟩ | − ⟩ | + ⟩ − | − ⟩ | + ⟩ | π ⟩ − | + ⟩ | π ⟩ | − ⟩
Was denken Sie?
@nougako verstößt tatsächlich nicht gegen das Pauli-Prinzip: Alle drei Elektronen befinden sich in verschiedenen Einzelteilchenzuständen, sodass der Gesamtzustand antisymmetrisiert werden kann.
@nougako Nein, kannst du nicht. Expandieren | π ⟩ als beliebige Linearkombination von | 1 ⟩ Und | 2 ⟩ und das wirst du sehen | A ⟩ = 0 . Wenn Sie einen Vektorraum haben v , die antisymmetrischen Produktzustände sind ein Unterraum von v ⊗ v . Für einen 2d Raum, Asym ( v ⊗ v ) ist eindimensional, und so Asym ( v ⊗ v ⊗ v ) ist nulldimensional.
Hier scheint sich ein Für und Wider gebildet zu haben. @LukePritchett, ich verstehe die bedingte Aussage Ihres letzten Satzes "Für einen 2D-Raum, Asym ( v ⊗ v ) ist eindimensional, und so Asym ( v ⊗ v ⊗ v ) ist nulldimensional. Sie ließen es wie die Dimensionalität von klingen Asym ( v ⊗ v ) hat eine Auswirkung auf die Dimensionalität von Asym ( v ⊗ v ⊗ v ) . Können Sie erklären, wie sie verbunden sind?
@nougako Ich war schlampig und bin mir nicht sicher, ob die Implikation richtig ist. Jedoch, Asym ( v ⊗ v ⊗ v ) ist nulldimensional, wenn v ist zweidimensional. Um dies zu sehen, versuchen Sie, eine Basis zu konstruieren. Oder versuchen Sie es mit unapologetic.wordpress.com/2008/12/23/antisymmetric-tensors
Ich weiß nicht, ob A S j M M ( v ⊗ v ) ist Standardnotation. Zumindest in der Mathematik würde das Objekt, von dem Sie sprechen (äußere Algebra), bezeichnet werden Λ 3 ( C 2 ) und es ist ziemlich leicht zu sehen, dass es sich um einen trivialen Vektorraum (Dimension Null) handelt en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra#Basis_and_dimension
@Ruslan Es gibt zwei Einzelteilchenzustände, die Elektronen können sich nicht in drei verschiedenen (linear unabhängigen) Zuständen befinden. Tatsächlich, wie Luke Pritchett betonte, | A ⟩ = 0 .
Ich glaube, fqq und Luke hatten Recht, nämlich, dass es keinen antisymmetrischen Zustand geben kann, der von drei Elektronen ohne räumliche Wellenfunktion gebildet wird. Dann impliziert dies, IMO, dass jedes Atom mit Z > 2 so dass die nukleare Anziehungskraft nicht stark genug ist, um die Spin-Bahn-Kopplung einflussreich zu machen, muss für alle Eigenzustände des Hamilton-Operators immer eine antisymmetrische räumliche Wellenfunktion haben, da die Spinwellenfunktion immer symmetrisch sein wird. Habe ich recht
Ich verstehe nicht, warum der Zustand in räumliche Wellenfunktionen zerlegbar sein muss ⊗ Spinzustand (oder warum der Spinteil symmetrisch sein muss).
Besonderheit über ein System von drei Elektronen
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v