Warum ist das Pauli-Ausschlussprinzip notwendig?

Lassen$\psi(x_1,\,x_2)$bezeichnen die gegenseitige Wellenfunktion zweier identischer Teilchen, wobei die Vektoren$x_i$die Quantenzahlen eines Teilchenzustands bündeln. Durch den Austausch der Partikel ändert sich die Amplitude zu$\psi(x_2,\,x_1)$. Der lineare Operator, der sich ändert$\psi$auf diese Weise im Quadrat zur Identität (da ein zweiter Austausch wiederhergestellt wird$\psi(x_1,\,x_2)$), also sind seine Eigenwerte$\pm 1$. Bosonen erreichen einen Eigenwert von$+1$, mit etwas von der Form$\psi(x_1,\,x_2)=(\phi(x_1,\,x_2)+\phi(x_2,\,x_1))/\sqrt{2}$. Für Fermionen ist der Eigenwert$-1$und das$+$zwischen den$\phi$s wird zu a$-$. Aber dann$\psi(x_1,\,x_1)=0$, und es besteht keine Möglichkeit, dass beide Fermionen denselben Zustand haben.

Eine schöne Frage, die sich jeder Student der Quantenmechanik irgendwann stellt. Schön, dass du es auch getan hast.

Um es kurz zu machen, die Antwort auf Ihre Frage ist nicht ganz einfach. Die Lösung liegt tief im Herzen der Quantenfeldtheorie (QED) in einem Theorem, das als Spin-Statistics Theorem (SST) bekannt ist und erstmals von Pauli explizit und schlüssig bewiesen wurde. Ich werde versuchen, den vollständigen Beweis dafür zu liefern, warum Fermionen und Bosonen so handeln, wie sie es tun, damit Sie sich auf das eigentliche Argument beziehen und die Schönheit darin schätzen können.

Denken Sie in der gesamten Antwort daran, dass Fermionen als solche Teilchen "definiert" werden, deren Wellenfunktionen antikommutieren, und Bosonen als Teilchen "definiert" werden, die pendeln .

Aus QFT : Relativistische Kausalität erfordert Quantenfelder an zwei Raumzeitpunkten$x$Und$y$durch ein raumartiges Intervall getrennt$(x-y)^2<0$miteinander zu pendeln oder zu antipendeln.

Aussage von SST : Felder ganzzahliger Spins (Bosonen) pendeln, während Felder halbzahliger Spins (Fermionen) antikommutieren.

Wir werden die obige Aussage für die Dimension beweisen$d=4$denn für$d\ne4$es ist übermäßig komplex (exotische Spin-Zustände treten auf, aber darauf gehen wir nicht ein).

Annahmen :

1. Die Felder sind Lorentz-invariant.
2. Die Anregungen der Felder (Teilchen) haben positive Energien.
3. Alle Zustände haben eine positive Norm (Vermeidung von Geisterteilchen mit falschen Spinstatistiken).

Beweis :

Wir betrachten ein generisches Lorentz-Multiplett von Quantenfeldern$\hat{\phi}_A$deren Quanten Spin haben$j$und Masse$M$. Freie Felder erfüllen eine Art von linearen Bewegungsgleichungen, die ebene Wellenlösungen mit haben$p^2=M^2$. Lassen$p^0=+\sqrt{\textbf{p}^2+M^2}$und lass$e^{-ipx}f_A\left(\textbf{p},s\right)$Und$e^{+ipx}f_A\left(\textbf{p},s\right)$seien jeweils die positiven Frequenz- und negativen Frequenzlösungen The$s$Hier werden unterschiedliche Wellenpolarisationen für dieselben bezeichnet$p^\mu$: Spinzustände für$M>0$oder Helicitäten für$M=0$.

Der Hauptausblick für uns sind die folgenden zwei Definitionen und die zwei sie betreffenden Lemmata.

(Bitte nehmen Sie diese Lemmata vorerst als wahr an, diese Antwort wird übermäßig groß, wenn wir diese Beweise auch zeigen. Aber ich versichere Ihnen, dass es sich um gut bewiesene Tatsachen handelt und nur die ersten drei Grundannahmen erfordern.)

Die Definitionen:

• $$F_{AB}=\Sigma_s f_A(\textbf{p},s)f^*_B(\textbf{p},s)$$
• $$H_{AB}=\Sigma_s h_A(\textbf{p},s)h^*_B(\textbf{p},s)$$

Und die Beziehungen:

• Beide$F_{AB}\left(p\right)$Und$H_{AB}\left(p\right)$können als Polynome in der Viererkomponente von Off-Shell-Impulsen analytisch fortgesetzt werden$p^\mu$
• Diese Polynome sind wie folgt miteinander verbunden:

Ein freies Quantenfeld ist eine Überlagerung von Lösungen mit Operatorkoeffizienten, also:

Ungeachtet der Statistik sind positive Teilchenenergien erforderlich$\hat a^\dagger \left(p,s\right)$Und$\hat b^\dagger \left(p,s\right)$Erstellung Operatoren während sein$\hat a \left(p,s\right)$Und$\hat b\left(p,s\right)$Vernichtungsoperatoren sein. Daher,

Also in einem Fockraum positiv-definiter Norm:

während alle anderen "Vakuum-Sandwiches" von zwei Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren identisch verschwinden. Daher, unabhängig von Statistiken, Vakuum-Erwartungswerte von zwei Feldern an unterschiedlichen Punkten$x$Und$y$werden gegeben von:

An dieser Stelle nur ein bisschen mehr Algebra, die diese Definitionen verwendet, und das erste Lemma ist alles, was übrig bleibt. Weitere Berechnung:

Wo :

Und$F_{AB}(+i\partial_x)$ist ein Differentialoperator, der als geeignetes Polynom von konstruiert ist$i\partial/\partial x^\mu$anstatt$p_\mu$. Ebenfalls :

Die Relativitätstheorie verlangt dies für ein raumähnliches Intervall$x-y$,$D(y-x)= +D(x-y)$. Gleichzeitig haben wir auch die Beziehung des zweiten Punktes der Lemmas. Daher, unabhängig von der Statistik:

Andererseits erfordert die relativistische Kausalität z$\left(x-y\right)^2<0$:

Und die beiden obigen Gleichungspaare gelten nur dann zusammen, wenn alle Teilchen mit ganzzahligen Spins Bosonen und alle Teilchen mit halbzahligen Spins Fermionen sind.

Und dies vervollständigt unseren Beweis.

Und wenn Sie jetzt die Kommutatoren der Quantenfelder der Teilchen ausrechnen, sehen Sie einen Term der Form$(-1)^{2j}$auftauchen, wo$j$ist der Spin des Teilchens. Und so sehen Sie, warum Bosonen einen Wert von annehmen$+1$und Fermionen nehmen$-1$!

Für den Rest des Arguments verweise ich Sie gerne auf die schöne Antwort von JG

Beifall!!

Die frühere Antwort erklärte, dass das Ausschlussprinzip eine Folge antisymmetrischer Wellenfunktionen ist. Um die intellektuelle Landkarte zu erweitern, möchte ich die Argumente erwähnen, die sich auf drei weitere Konzepte beziehen: Symmetrie oder Antisymmetrie der Wellenfunktion, ganzzahliger oder halbzahliger Spin und Positivität der Energie.

Die Wellengleichung von Dirac beschreibt Teilchen, die zwei Spinzustände und positive oder negative Energie haben,$E=\pm \sqrt{{{p}^{2}}+{{m}^{2}}}$. Die Zustände negativer Energie müssen voll sein, damit es nicht möglich ist, weitere Energie aus dem Vakuum zu extrahieren, was der Zustand minimaler Energie sein sollte. Das fordert Ausgrenzung.

Pauli hatte ein cleveres Argument, das die Antisymmetrie von Wellenfunktionen unter Ortsvertauschung mit halbzahligem Spin in Beziehung setzte. Der Schlüssel liegt in diesem Austausch identischer Teilchen bei$x=+1$Und$x=-1$entspricht einer 180-Grad-Drehung um die z -Achse, und dass eine solche Drehung von Partikeln mit${{S}_{z}}=\tfrac{1}{2}$führt einen Phasenfaktor von ein$i$für einen bzw${{i}^{2}}=-1$für die beiden.

Es gibt auch algebraische Argumente dafür, dass Dirac-Felder mit Anti-Kommutierungsoperatoren und Skalar- oder Vektorfelder mit Kommutierungsoperatoren quantisiert werden müssen, um eine akausale Ausbreitung außerhalb des Lichtkegels zu vermeiden.