Welche Reichweite hat das Ausschlussprinzip von Pauli?

Alle Elektronen (und alle Elementarteilchen) im Universum sollen nach dem Standardmodell exakt identische Eigenschaften haben. Das heißt für Elektronen lautet das Pauli-Ausschlussprinzip „Keine 2 Elektronen im Universum können den gleichen Zustand einnehmen“.

Aber aufgrund der Formulierung Ihrer Frage haben Sie möglicherweise auch eine falsche Vorstellung davon, was genau einen "gleichen Zustand" ausmacht. Wenn Sie beispielsweise zwei Wasserstoffatome in einem Abstand von 1 km haben, könnten beide ein Elektron im "gleichen"$1s$Zustand. Dies liegt einfach daran, dass diese beiden Zustände unterschiedlich sind. Während sie beide sind$1s$Zustände sind sie verschiedenen Atomen zugeordnet.

Bei einem Kristall sieht das etwas anders aus, da die Eigenzustände streng genommen Bloch-Zustände sind, die über den While-Kristall delokalisiert sind. Aber für die tiefsten Ebenen (die weit unter der Leitungsebene) ist das Bild der lokalisierten Zustände, die um jedes Atom lokalisiert sind, nicht so falsch. In diesem Fall haben alle Atome im Kristall typischerweise diese Zustände besetzt, aber auch dies widerspricht nicht dem Pauli-Prinzip, da die Zustände aufgrund der Zuordnung zu verschiedenen Atomen unterscheidbar sind.

Im Prinzip deckt es alle Fermionen im Universum ab. Nicht zwei Fermionen teilen die gleichen Quantenzahlen. In einem Material mit vielen Mol Elektronen hat jedes von ihnen unterschiedliche Werte des Energieniveaus usw. Natürlich muss man zum Beispiel berücksichtigen, dass zwei Elektronen mit denselben n, l, m und Spinzahlen zwei identische Kerne umkreisen . Sie haben jedoch unterschiedliche Quantenzahlen, da sie sich bei einem Bezugssystem und der Beschreibung des Systems durch einen ziemlich komplizierten Quantenzustandsvektor in ihren Quantenzahlen unterscheiden würden. Gleiches gilt für kompliziertere Systeme. Letztes Beispiel: Fermionen in einem kollabierenden Stern widerstehen dem Kollaps aufgrund des Pauli-Ausschlussprinzips, obwohl sie sich in einem riesigen System mit einem nicht sehr gut definierten Quantenzustandsvektor befinden.

Die gebräuchlichste Art, die Reichweite des Ausschlussprinzips zu visualisieren, ergibt sich aus der Untersuchung ultradichter Objekte wie weißer Zwergsterne und Neutronensterne. In einem Weißen Zwerg drückt die Gravitation die darin enthaltene Materie so stark zusammen, dass sich die Wellenfunktionen der darin enthaltenen Elektronen zu überlappen beginnen – und hier greift das Ausschlussprinzip und wehrt sich gegen die Gravitation, um den Weißen Zwerg zu unterstützen und zu verhindern, dass er existiert mehr runtergedrückt. Dieser Effekt wird Entartungsdruck genannt und eine vollständige Beschreibung davon würde mehrere Kapitel in einem astrophysikalischen Text umfassen.

Der Entartungsdruck setzt erst ein, wenn die Atome so stark zusammengedrückt werden, dass der größte Teil des leeren Raums innerhalb der Atome weggedrückt wurde. In der Tat bedeutet dies, dass der Entfernungsbereich, über den der Entartungsdruck wichtig wird, viel kleiner ist als die Abmessungen eines typischen Atoms in seinem nicht gequetschten Zustand.

Es kommt darauf an, zu welchem ​​System die Fermionen gehören. Das Ausschlussprinzip besagt, dass keine zwei Fermionen den gleichen Quantenzustand haben können. Der Quantenzustand umfasst das System, zu dem das Fermion gehört. Wenn Sie sich beispielsweise Elektronen in Atomen ansehen, ist das Atom das System, und das Ausschlussprinzip gilt nur für Elektronen innerhalb eines bestimmten Atoms. Wenn Sie sich ein Fermigas ansehen, dann ist die Reichweite das Volumen des Gases. Wenn Sie einen Weißen Zwerg betrachten, dann ist es die Größe des Weißen Zwergs.

In der Quantenmechanik kann es zwei Arten von Teilchenwechselwirkungen geben, Streuwechselwirkungen und gebundene Zustände.

Welchen Anwendungsbereich hat das Ausschlussprinzip?

Das Pauli-Ausschlussprinzip gilt für Bindungszustände von Elektronen in den Lösungen von Potentialgleichungen für Atome/Moleküle/Gitter. Es gilt für Fermionen im Allgemeinen, zum Beispiel können keine zwei Myonen das gleiche Energieniveau von myonischem Wasserstoff einnehmen.

Können es alle Elektronen in einem Atom sein,

Alle Elektronen eines Atoms müssen unterschiedliche Energieniveaus einnehmen. Energieniveaus können entartet sein, müssen sich jedoch in einer Quantenzahl unterscheiden (z. B. Spinorientierung).

oder können es Elektronen in einem ganzen Leiter sein,

Die Elektronen in einem ganzen Leiter sind sehr leicht gebunden, was bedeutet, dass die Energieniveaus, die sie einnehmen, sehr nahe am Kontinuum liegen, dh es wird immer ein verfügbares Energieniveau mit unterschiedlichen Quantenzahlen geben, das es zu besetzen gilt, was eine allgemeinere Quantenmechanik ermöglicht Modelle für Festkörper wie die Bandtheorie der Festkörper .

oder kann es eine größere Reichweite sein?

Die Reichweite hat also nur dann eine Bedeutung für das Pauli-Ausschlussprinzip, wenn man von gebundenen Zuständen spricht , deren Energieniveaus durch Quantenzahlen gekennzeichnet sind und zur Besetzung zur Verfügung stehen.

Wie Sie bereits erwähnt haben, besagt das Pauli-Ausschlussprinzip Folgendes:

zwei identische Fermionen können nicht im selben Quantenzustand sein

Aus Ihrer Frage ist es schwierig zu wissen, wie viel Quantenmechanik Sie wissen, aber ein Zustand ist im Grunde alles, was Sie wissen, um ein System zu verstehen. In einer Darstellung der Quantenmechanik wird ein Zustand als komplexe Zahlenfunktion der Position im Raum dargestellt, oft bezeichnet$\psi(x)$, mit$x$mit so vielen Dimensionen wie nötig, um Ihr System darzustellen.$x$kann also ein Skalar oder ein Vektor sein. Also, warum haben wir Quantenzahlen in Atomen? Der Trick besteht darin, dass gebundene Teilchen nur in bestimmten Zuständen oder linearen Kombinationen dieser Zustände sein können. Das ist,$\psi(x)$kann für gebundene Teilchen nicht beliebig sein, sie muss eine ganz bestimmte Form haben. Dies ist analog zu der Aussage in der klassischen Mechanik, dass ein Teilchen zwangsläufig um einen Punkt in einer Ebene rotieren muss. Von einem 3D-Problem sind Sie nun zurück zu einem 1D-Problem. Der Unterschied besteht darin, dass Sie jetzt von einer unzählbaren Menge ausgehen (all die$\psi(x)$) zu einer abzählbaren oder sogar endlichen Menge. Also anstatt zu schreiben$\psi(x)$, schreiben wir es als lineare Kombination der fundamentalen oder reinen Zustände, die den Quantenzahlen entsprechen, und bezeichnen diese Zustände nach der Art, wie wir sie zählen, mit Quantenzahlen, anstatt die ganzen Funktionen mit uns zu tragen. Beachten Sie, dass$\psi(x)$kann mehr als 3 Dimensionen haben, wenn Sie mehr als 1 Partikel haben, da Sie dann mehr als 3 Zahlen benötigen, um Ihr System darzustellen. Es ist wie in der klassischen Mechanik: Zwei Teilchen in einer Dimension werden durch ihre jeweiligen Positionen dargestellt,$x_1$Und$x_2$.

Vor diesem Hintergrund geben die anderen Antworten eine sehr gute Vorstellung von der Reichweite des Ausschlussprinzips: Es ist im Prinzip unendlich. Beachten Sie, dass, wenn sich zwei Teilchen nicht im selben Potentialtopf befinden, die Wellenfunktion durch die Quantenzahlen des ersten Potentialtopfs und die Quantenzahlen des zweiten Potentialtopfs definiert ist. Es gibt die gleichen "Zahlen" mit den gleichen Werten, aber mathematisch entsprechen sie unterschiedlichen Wellenfunktionen, da die Funktionen um einen anderen Ursprung zentriert sind, sodass Sie zwei Heliumatome im Grundzustand nebeneinander haben können.

Eine genauere Formulierung des Pauli-Ausschlussprinzips ist, dass die Wellenfunktion, die ein System aus mehr als einem Teilchen darstellt, bezüglich des Austauschs der beiden Teilchen antisymmetrisch sein muss. Das heißt, wenn Sie die Position der beiden Teilchen vertauschen, ändert die Wellenfunktion das Vorzeichen. Da Fermionen eines bestimmten Typs, z. B. Elektronen, alle nicht voneinander zu unterscheiden sind, wenn sie den gleichen Spin haben, kann dies für Elektronen im gleichen Potentialtopf nur passieren, wenn zwei Elektronen einen unterschiedlichen Spin haben. Mit dem gleichen Spin, den Sie brauchen$\psi(x) = -\psi(x)$, also 0: keine Elektronen.

Als letzte Anmerkung: Wenn Partikel in breiten Potentialmulden interagieren, was sich auf Ihre "Reichweite" bezieht, kommen die Energieniveaus in der Praxis bei Energien, die einer großen Muldenbreite entsprechen, sehr nahe aneinander. Dann können Sie viele Teilchen haben, die bei ausreichend hohen Energien die "gleiche" Energie haben, aber die Energie unterscheidet sich immer noch zwischen zwei Elektronen, wenn sie den gleichen Spin haben. Es unterscheidet sich nur geringfügig. Natürlich haben die Elektronen mit niedrigerer Energie (näher an der Mitte des Potentialtopfs gebunden) Energien, die durch größere Schritte voneinander beabstandet sind. Um den Einfluss des Pauli-Ausschlussprinzips bei höheren Energien in solchen Systemen zu sehen, müssen Sie bei diesen Energien viele Elektronen haben.