Zerstören Quantenmessungen die Symmetrisierungsforderung?

Zerstören Quantenmessungen die Symmetrisierungsforderung? Die Symmetrisierungsanforderung erfordert, dass die kombinierte Wellenfunktion eines Teilchensystems entweder symmetrisch unter einem Austausch zweier Teilchen (Bosonen) oder antisymmetrisch (Fermionen) ist. Wenn Sie beispielsweise zwei Spin-1/2-Fermionen in der Singulett-Spin-Konfiguration haben, dann ist (unter der Annahme, dass sich die beiden Teilchen in denselben Orbitalen befinden) die (Gesamt-) Wellenfunktion antisymmetrisch (wie erforderlich). Aber wenn Sie tatsächlich gehen und ihre Spins messen, dann kollabiert die Wellenfunktion in einen Zustand, in dem ein Teilchen Spin nach oben und das andere Spin nach unten hat. Jetzt ist die (Spin-Raum-)Wellenfunktion nicht mehr antisymmetrisch, und daher ist dies auch die totale (Raum- + Spin-)Wellenfunktion nicht. Im Allgemeinen bedeutet die Symmetrisierungsanforderung, dass zwei Teilchen auf irgendeine Weise verschränkt sein müssen (was bedeutet, dass Sie ' Man kann die Gesamtwellenfunktion nicht als einfaches Produkt von Einzelteilchenfunktionen schreiben (solange man nicht von einem Haufen Bosonen im gleichen Zustand spricht), aber diese Verschränkung wird normalerweise bei der Messung zerstört. Also, was ist hier los?

Antworten (1)

Dies ist in der Tat ein subtiler Punkt. Der entscheidende Punkt ist, dass eine Messung Ihnen nicht sagt, welches Elektron einen Spin-up hat, sondern nur, dass eines von ihnen den Spin hat. Eine zweite wichtige Tatsache ist, dass nur der Gesamtzustand antisymmetrisch sein muss.

Nehmen wir ein Beispiel mit zwei Elektronen. Wir werden den Zustand definieren | X ↑ , j ↑ ⟩ Elektron bedeuten 1 ist auf Position X mit Spin nach oben entlang einer Achse und Elektron 2 ist auf Position j mit Aufwärtsdrehung entlang der gleichen Achse. Nehmen wir an, sie befinden sich in einem solchen anti-symmetrisierten Zustand

| Ψ ⟩ = 1 2 ( | X ↑ , j ↑ ⟩ + | X ↓ , j ↓ ⟩ − | j ↑ , X ↑ ⟩ − | j ↓ , X ↓ ⟩ )
In diesem Zustand befindet sich kein Elektron in einem bestimmten Spinzustand.

Jetzt führen wir eine Messung durch und finden ein Elektron an der Position X befindet sich im Spin-up-Zustand. Sie könnten denken, dass dies den Zustand nach der Messung bedeutet

| Ψ ⟩ = | X ↑ , j ↑ ⟩     ( N Ö T   C Ö R R E C T )
Tatsächlich setzt dies voraus, dass wir das erste Elektron an der Position gemessen haben X mit Spin-up, aber da Elektronen nicht unterscheidbar sind, gibt es keine Möglichkeit, sicher zu sein, ob wir das erste oder das zweite Elektron gemessen haben. Daher ist der korrekte Zustand nach der Messung
| Ψ ⟩ = 1 2 ( | X ↑ , j ↑ ⟩ − | j ↑ , X ↑ ⟩ )
die antisymmetrisch ist und in den Unterraum projiziert wurde, in dem sich eines der Elektronen befindet X mit Spin-Up (in Übereinstimmung mit unserer Messung). Diese Logik lässt sich ziemlich direkt auf Systeme mit verallgemeinern N identische Fermionen.

Danke für diese erstaunliche Antwort. Ich schätze also, dass es ein allgemeines Prinzip gibt, dass, egal welche Messung Sie an einer Ansammlung von Partikeln durchführen, sie immer noch in einem (anti)symmetrischen Zustand landen werden, solange sie sich vor der Messung in einem befanden?
@FelisSuper Für identische Fermionen ist jeder Zustand im Hilbert-Raum vollständig antisymmetrisch. (Und für identische Bosonen ist jeder Zustand symmetrisch). Sowohl die einheitliche Zeitentwicklung als auch die Messungen bringen Sie von einem Zustand im Hilbert-Raum zu einem anderen, sodass der Zustand (für identische Fermionen) immer vollständig antisymmetrisch ist.
@FelisSuper Als Analogie (obwohl es nicht allzu weit davon entfernt ist, genau richtig zu sein), können Sie einen Vektorraum haben, der aus general besteht 2 × 2 Matrizen. Aber antisymmetrisch 2 × 2 Matrizen bilden einen Unterraum dieses allgemeinen Raums und sind daher antisymmetrisch 2 × 2 Matrizen bilden auch einen Vektorraum. Mit der Einschränkung, dass Sie diese Aussage wirklich machen sollten, einschließlich einer Karte vom "Vektorraum" zum "Hilbert-Raum" und mehr Dimensionen haben, können Sie grob sagen, dass Fermionen in diesem antisymmetrischen Unterraum leben. (Dies gilt auch für Bosonen, wenn Sie "antisymmetrisch" durch "symmetrisch" ersetzen)
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