Warum erzeugt der Austausch von Koordinaten in einer identischen Teilchenwellenfunktion eine Phase von ±1±1\pm 1?

Stellen Sie sich ein System aus zwei identischen Teilchen vor, das durch eine Wellenfunktion beschrieben wird ψ ( X 1 , X 2 ) . Es gibt zwei Arten von Austauschoperatoren, die man definieren kann:

  • Physischer Austausch P , dh die Positionen der Partikel vertauschen, indem sie physikalisch bewegt werden.
  • Der formelle Koordinatenaustausch F , Wo F ψ ( X 1 , X 2 ) = ψ ( X 2 , X 1 ) .

Seit F 2 = 1 , die Eigenwerte von F Sind ± 1 . Einige Bücher sagen fälschlicherweise, dass dies beweist, dass nur Bosonen oder Fermionen existieren können. Das ist falsch, weil das Argument auch in 2D funktioniert, wo Anyons existieren.

Das eigentliche Argument ist, die Eigenwerte von zu betrachten P , welche sind ± 1 aufgrund der Topologie nur in drei Dimensionen. Im 3D-Fall Wellenfunktionen mit P Eigenwert + 1 beschreiben Bosonen, und solche mit P Eigenwert − 1 Fermionen beschreiben.

Alle Behandlungen von Bosonen und Fermionen sagen jedoch, dass Bosonen haben F Eigenwert + 1 , und Fermionen haben F Eigenwert − 1 . Beispielsweise sehen Sie die Gleichung

ψ ( X 1 , X 2 ) = − ψ ( X 2 , X 1 )
für Fermionen. Ich bin mir nicht sicher, woher das kommt; Ich akzeptiere das P Eigenwert ist − 1 , aber soweit ich das beurteilen kann F Und P sind völlig verschieden. Insbesondere müssen ihre Eigenwerte in zwei Dimensionen unterschiedlich sein.

Für identische Partikel in 3D, warum sind die F Und P Eigenwerte gleich?

Haben Sie sich in dieser Frage jemals Klarheit verschafft?
@Craig Yup, beim Nachdenken wurde mir klar, dass die Antwort, die ich unten bekam, absolut richtig ist - und dass deprimierenderweise fast alle Lehrbücher falsch sind.
@Craig Für eine korrekte Darstellung können Sie zB Kapitel 3 dieses Entwurfsbuchs einsehen .
Vielen Dank!
@knzhou Sie verurteilen die meisten Lehrbücher streng; technisch das Argument F 2 = 1 also Eigenwerte sind ± 1 ist richtig, auch in 2d. Das Problem tritt auf, wenn ein Partikel ein anderes umkreist - was äquivalent ist von F 2 - in der durchstochenen Ebene. Sie haben Recht, Lehrbücher sind nicht präzise und übersehen dies oft, aber es macht das Argument nicht falsch: in einigen Fällen der durchstochenen 2D-Ebene nur falsch. Der Link, den Sie gepostet haben, sieht ganz nett aus und ich freue mich darauf, ihn herunterzuladen und zu lesen.

Antworten (1)

Dass das Verhalten unter einem tatsächlichen, physikalischen Schalter dem Verhalten unter dem formalen Austausch entspricht, ist genau der Inhalt des Spin-Statistik-Theorems . Der Spin (Verhalten bei physikalischen Drehungen, insbesondere die Darstellung eines „ 2 π Rotation" auf dem Zustandsraum) bestimmt die Statistik (Verhalten unter formalem Austausch, oder äquivalent das (Anti-)Kommutationsverhalten der Erzeugungsoperatoren).

Dies ist ein grundlegend relativistisches Ergebnis der Quantenfeldtheorie. In einer nicht-relativistischen quantenmechanischen Umgebung gibt es überhaupt keinen Grund, das bosonische/fermionische Verhalten mit dem Verhalten unter physikalischem Austausch in Beziehung zu setzen. Spin-0-Fermionen und Spin-1/2-Bosonen sind in der nicht-relativistischen QM-Einstellung nicht widersprüchlich.

Ich bin nicht ganz überzeugt, denn das Spin-Statistik-Theorem scheint auch in 2D zu funktionieren, wo die F Und P Eigenwerte sind nicht gleich. Wie funktioniert das?
@knzhou: Was meinst du mit "es scheint in 2D zu funktionieren"? Es scheitert, es gibt Anyons. Und der Grund dafür ist nicht, dass irgendjemand nicht-relativistisch ist (was auch eine erlaubte Ausrede wäre), der tiefere Grund ist das S Ö ( 2 ) hat nicht wie alle höherdimensionalen Rotationsgruppen die übliche Doppelhülle als universelle Hülle, sondern eine R als seine Z -Fold Cover, erlaubt für verschiedene (anyonische) projektive Darstellungen. Wenn Sie zB die Ableitung in Weinberg untersuchen, beruht diese darauf, dass es eine gerade/ungerade Spinbezeichnung gibt J , die es so in 2D nicht gibt.
Ich wäre unglaublich dankbar, wenn Sie ein Q&A zu diesem Thema machen würden (auf der Ebene dieses letzten Kommentars) oder wenn Sie Bücher empfehlen könnten, die dieses Thema mit angemessener Sorgfalt behandeln.
@Craig Ich habe versucht, etwas aufzuschreiben, aber festgestellt, dass ich nicht wirklich weiß, worüber Sie wissen möchten. Vielleicht könntest du selbst eine Frage stellen? ;)
Warum erzeugt der Austausch von Koordinaten in einer identischen Teilchenwellenfunktion eine Phase von ±1±1\pm 1?
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