Warum haben wir keine Teilchen, deren Wellenfunktionen symmetrisch zu einem Austauschoperator und antisymmetrisch zu einem anderen Austauschoperator sind?

Es ist nicht möglich, einen Zustand mit vier ununterscheidbaren Teilchen zu haben, so dass$P_{12} \psi = -\psi$Und$P_{34} \psi =\psi$, aus algebraischen Gründen. Die Austauschbetreiber müssen nämlich eine Darstellung der Permutationsgruppe bilden$S_4$. Es ist ziemlich bekannt, dass es genau zwei Darstellungen von gibt$S_n$: die triviale Darstellung, in der sich alle Austauschoperatoren befinden$1$, und die Paritätsdarstellung, in der alle einzelnen Transpositionen dargestellt werden$-1$und diese wird durch das Gruppengesetz erweitert.

Also entweder alle$P_{nm} = 1$oder alle$P_{nm} = -1$. Alles andere ist einfach nicht mit der Algebra der Permutationen vereinbar.

Eine Wellenfunktion ist ein normalisierter Vektor (oder ein Strahl) im Hilbert-Raum der Vektorzustände (ich gehe von endlichen Freiheitsgraden aus, also kann die C*-Algebra des Systems angenommen werden$B(H)$, mit$H$ein$L^2(\mathbb R^n)$Raum). Spin ergibt eine Superauswahlregel, und daher muss es Superauswahlsektoren geben. Aus der allgemeinen Theorie folgt, dass Vektorzustände aus verschiedenen Sektoren nicht zu einem anderen Vektorzustand kombiniert werden können, sondern nur eine statistische Mischung. Eine Wellenfunktion ist also entweder bosonisch oder fermionisch. Um einen Zustand mit gemischten Teilchen zu beschreiben, benötigt man allgemeinere lineare Funktionale, die sich als konvexe Kombination von Zuständen aus den Superselektionssektoren kombinieren.