Ist die Grundenergie von wechselwirkenden Fermionen immer höher als die von Bosonen?

Meine Intuition sagt mir, dass die Grundzustandsenergie von Bosonen immer niedriger sein sollte als die Grundzustandsenergie von Fermionen – egal, welche Art von Wechselwirkungen oder anderen äußeren Eigenschaften wir gewählt haben.

Ich denke, Ihre Intuition ist normalerweise richtig; aber es ist möglich, Systeme zu definieren, in denen die Fermionen im Grundzustand weniger Energie haben als die Bosonen im Grundzustand. Zuerst eine Anmerkung dazu, warum Fermionen tendenziell höhere Energien haben, als eine Anmerkung dazu, wie man dafür sorgen kann, dass die Bosonen mehr Energie als die Fermionen haben.

(1) Nehmen Sie keine Teilchenwechselwirkungen an.

Unter der Annahme, dass der Hamiltonoperator für Boson und Fermion identisch sind, sind die Energien für einzelne Teilchen (d. h$N=1$) ist ebenfalls identisch. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Schrödinger-Wellengleichung gleichermaßen für ein Boson oder Fermion gilt. Insbesondere sind unter dieser Annahme die Grundzustandsenergien identisch, nennen Sie das Energie$E_1$.

Die einfachste Annahme für Teilchenwechselwirkungen ist, dass es keine gibt. In diesem Fall ist die Grundzustandsenergie für das Boson einfach, es ist einfach$N\; E_1$da alle Bosonen im gleichen Zustand sind.

Der Grundzustand für das Fermion wird eine höhere Energie sein (aufgrund des Pauli-Ausschlussprinzips), außer in dem Fall, dass der Grundzustand dies ist$N$-fach entartet, in diesem Fall haben die Bosonen und Fermionen die gleiche Energie.

Für einige Leute mag das Obige an sich offensichtlich sein. Andere wünschen sich vielleicht etwas weniger Handbewegungen und etwas mehr Mathematik. Also lass die$N$Eigenzustände niedrigster Energie sein$\psi_n(x)$für$n=1,2,3,...,N$ohne Entartung so dass$H\psi_n = E_n\psi_n$. Im Bosonenfall hat der Grundzustand alle Teilchen in diesem Zustand, also ist die Wellenfunktion eine Symmetrisierung von$\psi(x_1,x_2,...,x_n) = \psi_1(x_1)\psi_1(x_2)...\psi_1(x_n)$. Aber egal, wie die Positionen permutiert werden, die Energie dieses Zustands ist$E_1+E_1+...+E_1 = N\;E_1$. Ebenso die Energie für jede Permutation des Fermi-Grundzustands$\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)...\psi_n(x_n)$Ist$E_1+E_2+...E_N > N\;E_1$.

---

(1) Nehmen Sie willkürliche Teilchenwechselwirkungen an.

Mit willkürlichen Teilchenwechselwirkungen ist es einfach, eine Situation zu schaffen, in der Bosonen die gleiche Grundzustandsenergie wie Fermionen haben. Man fügt den Bose-Wellenfunktionen einfach Energie hinzu, ohne den Fermi-Zuständen Energie hinzuzufügen. Lassen Sie uns dies explizit für eine 2-Teilchen-Wellenfunktion tun. Dazu müssen wir die Wellenfunktionen für definieren$\psi_1 \times \psi_2$, das heißt, wir müssen das Tensorprodukt definieren. Verwenden wir möglichst einfache Wellenfunktionen, Spinoren, und definieren die kombinierte Wellenfunktion$\psi_1\otimes \psi_2$von:

$$|1\rangle=\left(\begin{array}{c}a_1\\b_1\end{array}\right)$$
$$|2\rangle=\left(\begin{array}{c}a_2\\b_2\end{array}\right)$$
$$|1\rangle\otimes |2\rangle=\left(\begin{array}{c}a_1a_2\\b_1a_2\\a_1b_2\\b_1b_2\end{array}\right).$$
Jetzt (Ignorieren eines unwichtigen Faktors von $\sqrt{1/2}$ab hier) sieht eine Fermi-Symmetrisierung so aus:
$$|1\rangle\otimes|2\rangle-|2\rangle\otimes|1\rangle=\left(\begin{array}{c}a_1a_2-a_2a_1\\b_1a_2-b_2a_1\\a_1b_2-a_2b_1\\b_1b_2-b_2b_1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}0\\b_1a_2-b_2a_1\\a_1b_2-a_2b_1\\0\end{array}\right),$$
während eine Bose-Symmetrisierung so aussieht: $$|1\rangle\otimes|2\rangle+|2\rangle\otimes|1\rangle=\left(\begin{array}{c}a_1a_2+a_2a_1\\b_1a_2+b_2a_1\\a_1b_2+a_2b_1\\b_1b_2+b_2b_1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}2a_1a_2\\b_1a_2+b_2a_1\\a_1b_2+a_2b_1\\2b_1b_2\end{array}\right).$$
Um also nur dem Fall der Bose-Symmetrie Energie hinzuzufügen, müssen wir nur einen möglichen Term einfügen, der wie folgt aussieht:
$$V = \left(\begin{array}{cccc}E&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&E\end{array}\right).$$

Beachten Sie, dass die obige Matrix Eigenwerte von 0 und hat$E$, aber die$E$Eigenwerte nur einem Boson zugänglich sind, haben die Fermionen automatisch eine Energie 0 für dieses Potential. Damit ein Bose-Zustand die Energiezugabe vermeidet, muss er vorhanden sein$a_1a_2=b_1b_2=0$. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu tun; entweder haben$a_1=0$oder$a_2=0$. Denn beides kann man nicht haben$a_1$Und$a_2$Null oder beides haben$b_1$Und$b_2$Null, ein wenig Algebra wird zeigen, dass es nur einen Bose-Zustand gibt, der die vermeidet$E$:

$$\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\\0\end{array}\right)$$
Das Obige ist die Bose-Symmetrisierung von (1,0) x (0,1). Andererseits ist die Fermisymmetrisierung dieser beiden Zustände: $$\left(\begin{array}{c}0\\+1\\-1\\0\end{array}\right).$$
Um also der Bose-Symmetrisierung, aber nicht der Fermi-Symmetrisierung eine Energie hinzuzufügen, verwenden Sie ein Potential von:
$$V = \left(\begin{array}{cccc}E&0&0&0\\0&E/2&E/2&0\\0&E/2&E/2&0\\0&0&0&E\end{array}\right).$$ Das Obige hat drei Eigenvektoren mit Eigenwert $E$und nur ein einziger Eigenvektor mit Eigenwert 0; dieser Eigenwert ist nur für Fermionen zugänglich.

Die Frage ist in einer nichtrelativistischen Umgebung sinnvoll, in der der Wellenfunktion entweder Symmetrie oder Antisymmetrie auferlegt werden kann.

Der symmetrische Grundzustand hat immer eine niedrigere Energie, da er auch ein Grundzustand des unsymmetrischen Systems ist. (Beweis: Die Symmetrisierung eines beliebigen Grundzustandes ist wieder ein Grundzustand.)