Nahezu identische Fermionen kämpfen um denselben Zustand

Kurze Antwort: "Fast identische" Teilchen sind für die Zwecke der Quantenstatistik entweder wirklich identisch oder nicht identisch. Der Quantenstatistik ist es egal, ob Ihr Teilchen bis auf eine Masse dieselben Eigenschaften wie ein Elektron hat$1.000000000000001 m_e$: das zählt als unterscheidbares Teilchen von jedem Elektron. Sie könnten sich darüber beschweren, dass dies uns eine Möglichkeit gibt, Massen usw. mit beliebiger Genauigkeit experimentell zu unterscheiden, und Sie hätten Recht: Es erlaubt dies. Die Ausnahme ist, wenn die Natur sich verschworen hat, uns das Leben maximal schwer zu machen, indem sie Teilchen und ihre Doppelgänger immer so verschränkt, dass Übergänge in den Grundzustand fast ausgeschlossen sind. Es gibt keinen Grund, dies zu glauben, und nichts Vergleichbares wurde gesehen. Die generische Situation, selbst für sehr ähnliche Teilchen, umfasst schnelle Übergänge ohne Pauli-Blockierung.

Lange Antwort:

Die Quantenstatistik ist eine besondere Art von Verschränkungs- und "Superselection"-Regeln, die Folgendes besagen: Die einzigen Zustände, die Teil des Hilbert-Raums eines Systems sind, sind diejenigen, die unter dem Austausch zweier identischer Teilchen vollständig (anti-)symmetrisch sind. Damit dies eine Kraft hat, müssen die Teilchen wirklich identisch sein, nicht nur "fast" identisch, was auch immer das bedeutet.

Dies ist eigentlich eine automatische Folge des Formalismus der Quantenfeldtheorie, die grundlegender ist und bei der die erforderliche Austausch-(Anti-)Symmetrie vollständig manifest und offensichtlich ist. Aber um die Möglichkeit anzusprechen, dass die Natur anders sein könnte, werde ich in einem Formalismus arbeiten, bei dem die richtige Antwort nicht offensichtlich und offensichtlich ist: die übliche Vielkörper-Quantenmechanik. Hier haben wir eine Vielkörperwellenfunktion$\psi(r_1, r_2, r_3,\cdots,r_N)$die eine feste Anzahl von Teilchen eines bestimmten Typs beschreiben und die irgendwelchen Symmetrieeigenschaften gehorchen können oder nicht.

Stellen wir uns nun vor, das System besteht aus zwei Elektronen mit Wellenfunktion$\psi(r_1, r_2)$. Das sagt uns die Fermi-Statistik$\psi(r_1, r_2)=-\psi(r_2,r_1)$. Eine beliebige Funktion zweier Koordinaten reicht jedoch für keine aus$f(r_1,r_2)$wir können einen gültigen Zustand durch machen$\psi \sim f(r_1,r_2)-f(r_2,r_1)$. Der symmetrische Teil$f(r_1,r_2)+f(r_2,r_1)$ist kein gültiger Zustand. Wir zerlegen also den Hilbert-Raum aller zwei Teilchenwellenfunktionen in zwei Teile:$\mathcal{H}_2=\mathcal{H}_- \oplus \mathcal{H}_+$und Abschneiden des symmetrischen Teils$\mathcal{H}_+$, wobei der physische Hilbert-Raum als identifiziert wird$\mathcal{H}_{phys}=\mathcal{H}_-$. Für$\geq 3$Teilchensysteme schneiden wir auch alle Zustände mit gemischten Symmetrien ab und behalten nur den vollständig antisymmetrischen Unterraum. Wichtig besagt wie$\psi(r_1,r_2)=\chi(r_1)\chi(r_2)$existieren nicht, weil sie nicht antisymmetrisch sind und nicht antisymmetrisch gemacht werden können. Es ist nicht so, dass solche Staaten einfach unzugänglich sind, sie existieren einfach nicht.

Hier ist der entscheidende Punkt: Dies kann möglicherweise nur für wirklich identische Teilchen funktionieren . Was ich meine ist, dass die Austauschsymmetrie wirklich eine Symmetrie sein muss : Die Teilchenaustauschoperatoren müssen alle mit dem Hamiltonoperator pendeln! Andernfalls würde die Zeitentwicklung ausgehend von einem antisymmetrischen Zustand gemischte Symmetriezustände erzeugen, die unphysikalisch sind. Dies zeigt, dass Fermionen/Bosonen in jeder Hinsicht identische Teilchen sein müssen. Der umgekehrte Beweis, dass identische Teilchen entweder Bosonen oder Fermionen sein müssen, folgt daraus, dass zwei durch eine Austauschoperation unterschiedliche Zustände physikalisch nicht unterscheidbar sind, also demselben Strahl im physikalischen Hilbertraum entsprechen müssen. Vermittlungen nehmen also einen Strahl auf sich, dh ändern den Zustand höchstens um einen Phasenfaktor$\exp(i\phi)$, und die einzigen Darstellungen der Permutationsgruppe als Phasenfaktoren sind die triviale (symmetrische) Darstellung (dh Bosonen) und die$\mathbb{Z}_2$(antisymmetrische) Darstellung (dh Fermionen).

Betrachten wir nun Ihre Situation. Stellen Sie sich vor, wir haben ein System aus einem Elektron und einem Doppelgänger, mit$\psi(r_1; r_2)$wobei sich das erste Argument auf das Elektron und das zweite auf den Doppelgänger bezieht. Nun gibt es für den Staat keinen Grund, irgendeiner Symmetrieeigenschaft zu gehorchen. Natürlich können Sie einen antisymmetrischen Zustand herstellen, aber Sie können auch einen symmetrischen Zustand herstellen, und die Zeitentwicklung behält keine bestimmte Symmetrie bei. Auch wenn Sie sie in Ihrem Detektor praktisch nicht unterscheiden können$\psi(r_1; r_2)$Und$\psi(r_2; r_1)$sind physikalisch unterschiedliche Zustände, daher sind sie orthogonale Strahlen im Hilbert-Raum. Das vorherige Argument fällt also weg. Der Hilbert-Raum bricht immer noch in kleinere Darstellungen der Permutationsgruppe auf, aber der Hamilton-Operator bewahrt die Unterräume nicht: Er erzeugt eine Evolution zwischen ihnen. Wenn die Austauschsymmetrie fast gut ist, wird die Evolution zwischen Unterräumen langsamer sein als die Evolution innerhalb von Unterräumen.

Wichtig sind die Grundzustände$\chi_{e,d}$denn das Elektron und der Doppelgänger lassen dich machen$\chi_e(r_1)\chi_d(r_2)$,$\chi_e(r_2)\chi_d(r_1)$,$\chi_e(r_1)\chi_d(r_2)+\chi_e(r_2)\chi_d(r_1)$und vielleicht sogar$\chi_e(r_1)\chi_d(r_2)-\chi_e(r_2)\chi_d(r_1)$! (Die antisymmetrische Kombination existiert möglicherweise nicht, wenn die Grundzustandswellenfunktionen$\chi_e = \chi_d$, was für den unendlichen Brunnen der Fall ist, aber kein allgemeines Potential. Sie denken vielleicht, dass diese Wellenfunktion numerisch klein ist, wenn die Funktionen$\chi_e \approx \chi_d$, aber Sie normalisieren immer die vielen Körperzustände, sodass dies kein Problem darstellt. Der Punkt ist, dass es nicht immer identisch Null ist.) Es gibt also überhaupt kein Hindernis dafür, dass das System in den Grundzustand fällt. Da die Eigenschaften des Elektrons und des Doppelgängers sehr ähnlich sind, werden außerdem die Übergangsgeschwindigkeiten von den angeregten Zuständen in den Grundzustand für die beiden Teilchen ähnlich sein. Der Übergang erfolgt also schnell. Es gibt keine Pauli-Blockierung. Es kann lange dauern, bis sich der Symmetriecharakter des Zustands signifikant ändert (weil der Massenunterschied gering ist), aber das spielt keine Rolle, da das System in jede Kombination von fallen kann$\chi_e(r_1)\chi_d(r_2)$Und$\chi_e(r_2)\chi_d(r_1)$.

Die einzige Ausnahme ist, wenn die Natur sich verschworen hat, immer Zustände in einem Symmetrie-Unterraum zu erzeugen, der den Grundzustand nicht enthält. In diesem Fall müssen Sie warten, bis sich der Zustand in einen anderen Symmetrie-Unterraum entwickelt, was eine Weile dauern kann. Aber das ist eine Verschwörung, die keinen guten Grund hat. Insbesondere hängt es von der Form der Grundzustands-Wellenfunktionen für das Elektron und den Doppelgänger ab, die so konstruiert werden können, dass sie unterschiedlich sind, sodass man immer ein neues Experiment entwerfen könnte, wenn das von Ihnen ausprobierte nicht schnell genug funktioniert.