Grundzustand zusammengesetzter und nicht wechselwirkender Bosonen auf einem Gitter

Hintergrund

Betrachten Sie ein durch den Hamilton-Operator beschriebenes Gittersystem

H = − J ∑ ⟨ ich J ⟩ ( Δ ich † Δ J + H . C . )
Wo Δ ich , Δ ich † zerstören und ein Partikel vor Ort erstellen ich bzw. und J ist die Sprungamplitude, die hier nur die nächsten Nachbarn betrifft. Wenn jetzt Δ ich , Δ ich † sind elementare bosonische Operatoren, dieser Hamiltonoperator beschreibt das Bose-Hubbard-Modell in der nicht-wechselwirkenden Grenze, und der Grundzustand, wenn es keine Suprafluid-Symmetriebrechung gibt, ist ein Bose-Einstein-Kondensat, das durch Schreiben der Energieniveaus der einzelnen Teilchen in den Impulsraum erhalten wird ε k = − 2 J C Ö S ( k ) und durch die massive Besetzung des niedrigsten Zustands bei k = 0 mit allen N Partikel: | G . S . ⟩ = ( Δ k = 0 † ) N | 0 ⟩ , Wo | 0 ⟩ ist das Vakuum. Um den Grundzustand in Form von Fock-Zuständen im realen Raum zu schreiben, können wir die Tatsache verwenden, dass Δ k = 0 † = ∑ ich Δ ich † , und wir erhalten eine Linearkombination mit vielen Zuständen, einschließlich Fock-Zuständen, bei denen mehr als ein Teilchen pro Ort vorhanden ist.

Erste Frage

Sie können hier nur eine sehr schnelle Antwort geben: Stimmt es, dass die Symmetrie nicht gebrochen ist, oder ist sie es?

Zweite Frage

Das ist die eigentliche Frage: Unabhängig davon, ob die Symmetrie gebrochen ist oder nicht, wird der Grundzustand immer Fock-Zustände mit mehr als einem Teilchen auf jedem Gitterplatz enthalten. Was also, wenn die Teilchen jetzt zusammengesetzte Bosonen sind, die aus zwei Fermionen in einem Singulett-Spin-Zustand bestehen? Konkreter, wenn Δ ich † = C ich ↑ † C ich ↓ † , Wo C ich σ † Erfüllen Sie die fermionischen Antikommutierungsregeln, Sie können nicht mehr als ein Boson pro Standort haben, aufgrund des Pauli-Ausschlusses bei den Fermionen! Können Sie den Grundzustand in diesem Fall also explizit schreiben?

Meine Gedanken

Ich denke, dass das Pauli-Prinzip eine Einschränkung für den Hilbert-Raum einführt: Der eingeschränkte Hilbert-Raum enthält nur Fock-Zustände mit 0 oder 1 Boson pro Standort. Aber ich bin immer noch verwirrt darüber, dass diese zusammengesetzten Partikel im Wesentlichen überhaupt nicht kondensieren ...

Es gibt einige frühere Fragen zur BEC von zusammengesetzten Bosonen, siehe z . und Links darin

Antworten (1)

Erste Frage Ist die Symmetrie in einem BEC-Zustand gebrochen?

Dies ist ein subtiler Punkt und wahrscheinlich nicht wirklich das, was Sie wissen wollen. Die Sache ist, dass die Phasen- und Zahlenoperatoren kanonisch konjugiert sind. Im üblichen Sinne wird die Symmetrie gebrochen, wenn ein bestimmter Erwartungswert der Phase (bezogen auf eine Standard-Referenzphase) vorliegt, dh die Phase ist der Ordnungsparameter. Wenn wir jedoch genau wissen, wie viele Bosonen es im System gibt, befindet sich das System in einem Eigenzustand des Zahlenoperators, was bedeutet, dass die Phase maximal unbestimmt ist.

Eine nützlichere Frage ist: Gibt es im BEC-Zustand eine Fernordnung? Und die Antwort ist ja. (In diesem Zusammenhang wird es normalerweise als nichtdiagonale Fernordnung bezeichnet.)

Diese Abwesenheit von gebrochener Symmetrie im engeren Sinne wurde und wird besonders von Leggett betont, siehe etwa https://doi.org/10.1007/BF01883640 . Eine weitere gute Behandlung findet sich in dem kürzlich erschienenen Buch von Tasaki https://doi.org/10.1007/978-3-030-41265-4 .

Zweite Frage Was ist der BEC-Zustand zusammengesetzter Fermionen?

Dies ist die BCS-Wellenfunktion

| B C S ⟩ = ∏ k ( u k + v k C ^ k † C ^ − k † ) | ⟩

Wo u k Und v k sind komplexe Koeffizienten befriedigend | u k | 2 + | v k | 2 = 1 für jede k .

Auf den ersten Blick scheint dies ziemlich anders zu sein, als einfach alle Bosonen (Cooper-Paare) in dasselbe zu setzen k = 0 Zustand. Aber es gibt noch eine andere, nützlichere Sichtweise:

Die freien Bosonen des nicht-wechselwirkenden Bose-Hubbard-Modells sind maximal delokalisiert. Auch für Fermionen, die unter dem Pauli-Ausschlussprinzip leiden, sind die Cooper-Paare im BCS-Zustand so weit wie möglich delokalisiert. Sie alle kuscheln k = 0 so viel wie möglich (was vielleicht nicht so viel ist, die Aktion findet alles auf dem Fermi-Niveau statt, das in der Größenordnung von 1 eV oder 10000 K liegt).

Aber das Besondere k -Werte der besetzten Staaten sind nicht so wichtig. Tatsächlich können wir für viele Berechnungen den BCS-Zustand als einen Eigenzustand des Cooper-Paar-Vernichtungsoperators betrachten, d. h

C ^ k C ^ − k | B C S ⟩ = | B C S ⟩ für alle k .

Dies impliziert, dass man aus dem Kondensat beliebig Paare entfernen (und daher hinzufügen) kann. Wie kann das sein? Denn die Zahl der Zustände mit Momentum genau k wird Maß Null. Dies ist nur eine sehr gute und nützliche Annäherung. In dieser Näherung ist die Anzahl der Paare im BCS-Zustand unbestimmt, während die Phase einen bestimmten Erwartungswert erhält. Dies ist der gebrochene Symmetriezustand. In der Supraleitung (wie auch in Suprafluiden) macht es sehr viel Sinn, da wir im Zwei-Fluid-Modell Bosonen/Paare aus dem Normalzustand ziehen können.

Eine weitere Erkenntnis ist, dass der BCS-Zustand ein BEC-Zustand ist, der makroskopisch von Bosonen besetzt ist B ^ † , Wo

B ^ † = ∑ k ( v k / u k ) C ^ k † C ^ − k †

Diese Bosonen haben also keinen eindeutigen Impuls-Eigenwert, dennoch ist der Zustand gut spezifiziert. Siehe zum Beispiel das Buch von Piers Coleman: https://doi.org/10.1017/CBO9781139020916

Eine weitere gute Referenz für diese Sichtweise ist das Buch von Annett: https://global.oup.com/academic/product/superconductivity-superfluids-and-condensates-9780198507550

Um etwas pingelig zu sein, denke ich, dass die BCS-Wellenfunktion nur für sehr schwache Wechselwirkungen zwischen Fermionen gültig ist, die sie nicht an zusammengesetzte Bosonen binden. Es zeigt aber dennoch die Grundstruktur, wie man etwas Verdichtendes haben kann, ohne die Pauli-Exklusion zu verletzen.
Ich weiß, dass dies ein alter Beitrag ist, aber wo kann ich mehr über diese Annäherung an „den BCS-Zustand als Eigenzustand des Cooper-Paares“ erfahren? Ich habe vor einigen Monaten eine Frage dazu gestellt ( hier ), aber noch keine Antwort erhalten. Ich würde mich freuen, wenn Sie Ihre Chance geben könnten, darauf zu antworten.
@LucasBaldo Hast du die Antworten gelesen, die durch den Kommentar zur obigen Frage verlinkt sind ? Sie können nicht beweisen, dass der BCS-Zustand ein Eigenzustand des Vernichtungsoperators ist, da dies nicht im strengen Sinne der Fall ist. Am Ende läuft es auf die Näherung N ~ N + 1 für sehr große N hinaus. Aber die Näherung des BCS-Zustands als kohärenter Zustand ist sehr gut und gibt Ihnen Zugang zu allen symmetriebrechenden Mechanismen.
Danke. Ja, ich habe diese Antworten gelesen, aber keine von ihnen scheint zu erwähnen, dass BCS ein Eigenzustand ist. Ich verstehe, dass das BCS nur in gewisser Weise ein Eigenzustand ist, nicht im engeren Sinne. Allerdings verstehe ich die Annäherung nicht wirklich, die gemacht werden muss. In Ihrem Kommentar sagen Sie, dass dies damit zusammenhängt, dass N sehr groß ist. Damit der BCS-Zustand jedoch eine gut definierte Phase hat, kann er kein gut definiertes N haben, daher macht es für mich keinen Sinn zu sagen, dass N sehr groß ist. Wenn wir andererseits den BCS-Zustand von wohldefiniertem N betrachten, dann ist die Phase nicht wohldefiniert.
Das heißt, ich würde diese Näherungsgleichung gerne mathematisch herleiten, aber ich kann das momentan nicht. Kennen Sie Quellen, wo ich diese Herleitung finden kann?
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