Fermionische und bosonische physikalische Hilbert-Räume - sind sie eigentlich Hilbert-Räume?

Betrachten Sie zwei identische Teilchen A Und B . Der kombinierte Hilbertraum H A ⊗ H B ein gültiger Hilbertraum ist. Aber was ist mit den physikalischen Hilbert-Räumen:

(Bosonen) H A ⊙ H B = Spanne { | ich ⟩ ⊗ | J ⟩ + | J ⟩ ⊗ | ich ⟩ }
(Fermionen) H A ∧ H B = Spanne { | ich ⟩ ⊗ | J ⟩ − | J ⟩ ⊗ | ich ⟩ }
Wie gehen wir vor, um zu zeigen, dass es sich um gültige Hilbert-Räume handelt (falls sie es tatsächlich sind)?

Es ist trivial zu zeigen, dass es sich um innere Produkträume handelt, aber ich wüsste nicht, wo ich anfangen soll, um die Vollständigkeit zu zeigen.

Antworten (1)

Die (anti-)symmetrisierten Räume sind der Quotient des vollen Tensorproduktraums H ⊗ H (da die Teilchen identisch sind, lasse ich den Index auf den Räumen weg) durch einen abgeschlossenen Teilraum, und der Quotient eines Hilbert-Raums durch einen abgeschlossenen Teilraum ist wieder ein Hilbert-Raum, vgl. zB diese math.SE Frage .

Was übrig bleibt, ist die Behauptung zu rechtfertigen, dass wir tatsächlich durch einen abgeschlossenen (oder "vollständigen") Unterraum quotieren. Im Fall des antisymmetrischen Raums quotieren wir nach dem Ideal ICH von Elementen des Formulars generiert v ⊗ v für alle v ∈ H . Elemente dieses Ideals haben die Form ∑ ich ( v ich ⊗ v ich ) , und wenn überhaupt eine Grenze davon existiert, wird sie von der Form sein v ⊗ v für v = lim ich → ∞ v ich , was wiederum eindeutig ein Element des Ideals ist, also ist das Ideal geschlossen. Eine sehr ähnliche Überlegung funktioniert für das Ideal, das wir im symmetrischen Fall aufteilen müssen.

Hmm, was ist mit der anfänglichen Begründung, dass das Tensorprodukt von Hilbert-Räumen tatsächlich ein Hilbert-Raum ist?
@MoziburUllah Das Tensorprodukt von Hilbert-Räumen ist definiert als die Vervollständigung des inneren Produktraums, den Sie aus dem gewöhnlichen Tensorprodukt von Vektorräumen erhalten, vgl. en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product_of_Hilbert_spaces , dh es ist per Definition ein Hilbert-Raum.
Fermionische und bosonische physikalische Hilbert-Räume - sind sie eigentlich Hilbert-Räume?
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