Systeme von Teilchen, die nicht symmetrisch oder antisymmetrisch sind; Helium 4

Angenommen, ich habe ein Elektron und ein Proton, und das Elektron befindet sich im Spin-up-Zustand und das Proton im Spin-down-Zustand. Die Teilchen sind unterscheidbar, also sollte ich die Wellenfunktion einfach so schreiben können

| Ψ 1 ⟩ = | ↑ ⟩ e | ↓ ⟩ P
Offensichtlich ist diese Wellenfunktion weder symmetrisch noch antisymmetrisch, da | Ψ 1 ⟩ ist überhaupt nicht proportional zu
| Ψ 2 ⟩ = | ↑ ⟩ P | ↓ ⟩ e
Von diesem Standpunkt aus scheint dies also weder ein Fermion noch ein Boson zu sein. Das Teilchen wäre aber auch keine Drehimpuls-/Spin-Eigenfunktion; es würde sich in einer gleichmäßigen Überlagerung eines der Triplett-Zustände von Spin-1 und des Singulett-Zustands von Spin-0 befinden. Wenn Sie also seinen Gesamtspin messen würden, wäre er integral, was darauf hinzudeuten scheint, dass es immer noch ein Boson wäre, obwohl die Wellenfunktion unter Teilchenaustausch nicht symmetrisch ist. Welches ist es? Gibt es einen anderen Namen dafür? Welcher Art von Statistik würden solche Teilchen dann folgen?

Entlang dieser Denkweise erscheint es mir seltsam, dass ein größeres System von Teilchen, wie Helium 4 oder schwerere Elemente, die große Kombinationen von Protonen, Neutronen und Fermionen sind, sich verschwören sollte, um eine perfekt symmetrische oder antisymmetrische Wellenfunktion zu erzeugen wie es für das Verhalten solcher Teilchen erforderlich ist, da solche Kombinationen von Wellenfunktionen einen so unendlich kleinen Bruchteil aller anderen Möglichkeiten bilden, wie Sie die Wellenfunktion kombinieren können.

Kann mir jemand helfen?

Sie behandeln die Kombination als ein einzelnes Teilchen. Wenn Sie also über seine Symmetrie unter dem Austauschoperator nachdenken, sollten Sie nicht wie oben Elektron und Proton vertauschen, sondern die Wellenfunktion für Zustände betrachten, die zwei verschiedene Instanzen enthalten dieser Kombination.
Danke für den Kommentar. Könnten Sie genauer sein, wenn Sie sagen, dass ich "die Wellenfunktion nach Zuständen untersuchen sollte, die zwei verschiedene Instanzen dieser Kombination enthalten"? Wollen Sie damit sagen, dass die von mir angegebene Wellenfunktion eigentlich keine gültige Wellenfunktion ist? Ich verstehe, dass Sie für identische Partikel Kombinationen wie |up>|down>+-|down>|up> in Betracht ziehen müssten, aber es scheint, als sollte ich für unterscheidbare Partikel nicht so eingeschränkt sein.
Eigentlich glaube ich, ich habe es jetzt verstanden. Ob zB ein Elektron ein Fermion oder ein Boson ist, erkennt man daran, ob es unter Teilchenaustausch zweier identischer Elektronen symmetrisch oder antisymmetrisch ist. Ich sollte daher den Austausch von ZWEI identischen Wasserstoffatomen betrachten, nicht den Austausch von Teilchen innerhalb des Wasserstoffatoms.
Ja, das meinte ich. @Sebastian erklärt es ausführlich in seiner Antwort.

Antworten (1)

Die Frage, die Sie sich stellen müssen, ist, was passiert, wenn Sie die gesamten Koordinatensätze von zwei der zusammengesetzten Teilchen vertauschen! An Spinaddition und Spin-Statistik-Theorem braucht man nicht zu denken (zumal Spin und Bahndrehimpuls bei Kompositteilchen wegen der Spin-Bahn-Kopplung nicht unbedingt auseinander gehalten werden können!).

Anhand Ihres Wasserstoffbeispiels hat die Wellenfunktion zweier Wasserstoffatome eine Positions- und Spinabhängigkeit für jedes Elektron:

Ψ ( R → e 1 , σ e 1 , R → P 1 , σ P 1 , R → e 2 , σ e 2 , R → P 2 , σ P 2 ) = − Ψ ( R → e 2 , σ e 2 , R → P 1 , σ P 1 , R → e 1 , σ e 1 , R → P 2 , σ P 2 ) = Ψ ( R → e 2 , σ e 2 , R → P 2 , σ P 2 , R → e 1 , σ e 1 , R → P 1 , σ P 1 )
Wobei das Vorzeichen bei jedem Schritt umkehrt, da das Elektron und die Protonen beide Fermionen sind. Das Ergebnis dieses Verfahrens ist die Wellenfunktion, bei der die Positionen der beiden gesamten Wasserstoffatome vertauscht wurden. Da es keinen Vorzeichenwechsel gibt, ist die Wellenfunktion in den Koordinatensätzen für Wasserstoff symmetrisch, was bedeutet, dass Wasserstoff ein Boson ist.

Wenn Sie diesem Verfahren folgen, können Sie leicht erkennen, dass ein System, das aus einer geraden Anzahl von Fermionen besteht, ein Boson ist, und ein System, das aus einer ungeraden Anzahl von Fermionen besteht, ein Fermion sein muss.

Ich glaube, ich habe es jetzt verstanden. Ich habe versucht, den Austausch von Teilchen innerhalb des Wasserstoffatoms zu berücksichtigen, während ich wirklich darüber nachdachte, ob das Wasserstoffatom ein Fermion oder ein Boson ist, wenn ich eigentlich die Symmetrie unter Austausch zweier Wasserstoffatome hätte berücksichtigen sollen. Danke!
Ich bekomme immer noch keine Antwort auf die Frage: die H 2 Molekül ist ein Boson, aber ist ein Wasserstoffatom ein Boson oder ein Fermion?
Was ich zeige, ist das H Atom ist ein Boson. Die beiden Wasserstoffatome in dieser Vielteilchen-Wellenfunktion sind gut getrennt (also bilden sie kein a H 2 Wasserstoffmolekül).
@ user31748, du zeigst, dass die H Atom ist ein Boson, wenn man den Austausch zweier identischer betrachtet H Atome. Sie würden zeigen, dass die H 2 Molekül ist ein Boson, wenn man den Austausch zweier identischer betrachtet H 2 Moleküle.
Systeme von Teilchen, die nicht symmetrisch oder antisymmetrisch sind; Helium 4
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v