Spiegelsymmetrie der Spin-1/2-Wellenfunktion: Definition des Reflexionsoperators

Question

Spiegelsymmetrie der Spin-1/2-Wellenfunktion: Definition des Reflexionsoperators

Matthiasho

Ich würde von einem Reflexionsoperator erwarten $\hat{M}$ eine Wellenfunktion unverändert zu lassen, wenn sie zweimal angewendet wird, also $\hat{M}^2=1$ . Für ein Spin-1/2-Teilchen ist dies jedoch nicht der Fall, wenn man der Standarddefinition von folgt $\hat{M}$ . Gibt es einen Spielraum, den Reflexionsoperator anders zu definieren? Woher kommt die Standarddefinition?

Mit Standarddefinition meine ich: Die Wirkung einer Spiegelung an der yz-Ebene (mit Normale in x-Richtung) $\hat{M}_x$ auf den Spinanteil drückt sich durch eine Inversion (die keinen Einfluss auf den Spin hat) und eine 180° Drehung um die x-Achse aus. Drehungen $\hat{R}_{\alpha}(\vec{n})$ eines Winkels $\alpha$ um den Vektor $\vec{n}$ kann ausgedrückt werden über:

{\hat{R}}_{a} (\vec{N}) = e X P (- ich \frac{a}{2} \vec{σ} \cdot \vec{N}) = \cos (\frac{a}{2}) - ich \vec{σ} \cdot \vec{N} Sünde (\frac{a}{2})

$\begin{equation} \hat{R}_{\alpha}(\vec{n}) =exp\left(-i\frac{\alpha}{2}\vec{\sigma}\cdot\vec{n}\right) = \cos \left(\frac{\alpha}{2} \right) - i \vec{\sigma}\cdot\vec{n} \sin \left(\frac{\alpha}{2} \right) \end{equation}$ mit den Pauli-Matrizen

\vec{σ}

$\vec{\sigma}$ . Für eine 180°-Drehung um zB die

x

$x$ -Achse bekommen wir

{\hat{R}}_{π} ({\vec{N}}_{X}) = - ich σ_{X} = - ich (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

$\begin{equation} \hat{R}_{\pi}(\vec{n}_x) = - i \sigma_x = -i \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\, . \end{equation}$ Offensichtlich,

{\hat{M}}_{x}^{2} = {\hat{R}}_{π}^{2} ({\vec{n}}_{x}) = - 1

$\hat{M}_x^2=\hat{R}^2_{\pi}(\vec{n}_x)=-1$ .

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Spiegelsymmetrie der Spin-1/2-Wellenfunktion: Definition des Reflexionsoperators

Hari · Answer 1

Eine 360°-Drehung einer Spin-1/2-Wellenfunktion erzeugt tatsächlich ein '-'-Zeichen. Weitere Details finden Sie im Kapitel über den Drehimpuls in Sakurais Modern Quantum Mechanics.

Dieses Minuszeichen wirkt sich natürlich nicht auf Observables aus, denn wir berechnen Wahrscheinlichkeiten bzw. Erwartungswerte, bei denen sich die - Zeichen auf BH und Ket gegenseitig aufheben. Es kann jedoch experimentell durch Interferometrie-Experimente verifiziert werden - Wir verwenden einen Strahlteiler an einem monoenergetischen Neutronenstrahl, um zwei Pfade zu erzeugen. Führen Sie eine Phasenänderung (= Drehung des Kets, beispielsweise unter Verwendung eines Magnetfelds) in einen Pfad ein und prüfen Sie, ob die Max/Min-Interferenzbedingung für eine Phasenänderung wiederholt wird, die einer Drehung von 360° oder 720° entspricht. Es stellt sich heraus, dass die quantenmechanische Vorhersage richtig ist!

Die Literatur und das Experiment waren hilfreich und halfen mir, meine Frage zu klären: Eine Spiegelung für Spin-1/2-Teilchen kann durch eine +180°- oder eine -180°-Drehung ausgedrückt werden, was zu einem Spiegelungsoperator führt $\hat{M}_x = \mp i \sigma_x$ . Ich denke, beide sind gleichermaßen gültig und sehen keine Notwendigkeit, sich auf einen dieser Operatoren zu beschränken. Wenn ich zwei Reflexionen anwende, könnte ich zweimal denselben Operator nehmen und bekomme immer ein "-"-Zeichen als Ergebnis, aber wenn ich einen Operator für die erste Reflexion und den anderen für die zweite nehme, bekomme ich nicht das " -".
Wenn Sie zweimal den gleichen Operator nehmen, ist es effektiv eine 360°-Drehung, die Ihnen ein Minuszeichen gibt. Wenn Sie einen Operator für die erste Rotation und den anderen für die zweite nehmen, kehren Sie im Wesentlichen zu dem Zustand zurück, mit dem Sie begonnen haben, sodass Sie kein Minuszeichen erhalten würden.

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