Eine Frage zu Quarks und Quantenchromodynamik

Lassen$|0\rangle$der Vakuumzustand sein, und lassen$q_C(f)$bezeichnen den Operator, der bei Anwendung auf einen beliebigen Zustand ein weiteres Quark mit Farbe hinzufügt$C$und "Ortswellenfunktion"$f$. Die Aussage, dass Quarks Fermionen sind, bedeutet, dass diese Operatoren miteinander antikommutieren.

Betrachten Sie nun den Drei-Quark-Zustand

$$|f,g,h\rangle := \sum_{\pi}(-1)^\pi q_{\pi(R)}(f)q_{\pi(G)}(g)q_{\pi(B)}(h)|0\rangle, \tag{1}$$ wobei die Summe über alle Permutationen geht$\pi$der Farbindizes, mit negativem Vorzeichen für ungerade Permutationen. Diese antisymmetrisierte Summe über Permutationen macht den Zustand zu einem Farb-Singlet, vorausgesetzt, dass die Farbgruppe dies ist$SU(3)$. Spin-Indizes werden weggelassen, weil wir davon ausgegangen sind, dass sie alle gleich sind, also ist der Gesamtspin gleich$3/2$. Es wird angenommen, dass alle drei Quarks den gleichen Flavour haben.

Die Tatsache, dass die Quark-Erzeugungsoperatoren$q_C(f)$miteinander antikommutieren (weil Quarks Fermionen sind) impliziert, dass der Zustand$|f,g,h\rangle$ist symmetrisch in Bezug auf Permutationen von$f,g,h$, wie in

$$|g,f,h\rangle = |f,g,h\rangle. \tag{2}$$ Im Detail: $$\begin{align} |g,f,h\rangle &:= \sum_{\pi}(-1)^\pi q_{\pi(R)}(g)q_{\pi(G)}(f)q_{\pi(B)}(h)|0\rangle \\ &= -\sum_{\pi}(-1)^\pi q_{\pi(G)}(f)q_{\pi(R)}(g)q_{\pi(B)}(h)|0\rangle \\ &= \sum_{\pi}(-1)^\pi q_{\pi(R)}(f)q_{\pi(G)}(g)q_{\pi(B)}(h)|0\rangle \\ &=: |f,g,h\rangle. \tag{3} \end{align}$$ Erzählung:

• Das insgesamt negative Vorzeichen in der zweiten Zeile ergibt sich aus der Änderung der Reihenfolge der Operatoren$q_{\pi(R)}(g)$Und$q_{\pi(G)}(f)$. Dieser Vorzeichenwechsel drückt aus, dass Quarks Fermionen sind.

• Das gesamte negative Vorzeichen verschwindet in der dritten Zeile, weil wir die Farbindizes permutiert haben$G$Und$R$. Dieser Vorzeichenwechsel drückt aus, dass der Zustand ein Farbsingulett ist (invariant unter einem Farb-$SU(3)$Transformation).

Die Schlussfolgerung ist, dass der Staat$|f,g,h\rangle$ist farbantisymmetrisch, aber räumlich symmetrisch, wie in dem im OP gezeigten Auszug behauptet.

Qualifikationen:

• Um es kurz zu machen, habe ich die Worte „räumliche Wellenfunktion“ verwendet. Das ist zweideutig, aber genau das meine ich damit, ist hier nicht wichtig. Die allgemeine Idee ist ausreichend.

• Das hier verwendete "Valenzquark" -Bild ist gut genug, um die Frage zu beantworten, aber seien Sie vorsichtig$|f,g,h\rangle$ist nicht wirklich ein Ein-Baryonen-Staat. Echte Baryonen beinhalten auch Gluonen, und sie beinhalten tatsächlich eine unbestimmte Anzahl von Quarks/Antiquarks.