Was ist der Sinn von Paulis Ausschlussprinzip, wenn Zeit und Raum kontinuierlich sind?

Reale Teilchen sind aufgrund der Unschärferelation nie vollständig im Raum lokalisiert (außer vielleicht im Grenzfall eines völlig undefinierten Impulses). Vielmehr befinden sie sich notwendigerweise in einer Überlagerung eines Kontinuums von Orts- und Impuls-Eigenzuständen.

Das Ausschlussprinzip von Pauli besagt, dass sie sich nicht im exakt gleichen Quantenzustand befinden können, aber eine direkte Folge davon ist, dass sie dazu neigen , sich auch nicht in ähnlichen Zuständen zu befinden. Dies läuft auf einen effektiven Abstoßungseffekt zwischen Partikeln hinaus.

Sie können dies sehen, indem Sie sich daran erinnern, dass Sie eine physikalische Zwei-Fermion-Wellenfunktion antisymmetrisieren müssen, um sie zu erhalten. Dies bedeutet, dass, wenn die beiden einzelnen Wellenfunktionen in einem Bereich ähnlich sind, die gesamte Zwei-Fermion-Wellenfunktion in diesem Bereich eine Wahrscheinlichkeitsamplitude von nahezu null aufweist, was zu einem effektiven Abstoßungseffekt führt.

Um dies klarer zu sehen, betrachten Sie den einfachen eindimensionalen Fall mit zwei fermionischen Teilchen mit teilweise überlappenden Wellenfunktionen. Nennen wir die Wellenfunktionen des ersten und zweiten Teilchens$\psi_A(x)$und$\psi_B(x)$, und nehmen wir an, dass ihre Wahrscheinlichkeitsverteilungen die Form haben:

Die richtig antisymmetrisierte Wellenfunktion der beiden Fermionen ist gegeben durch:

Wie man auf dem Bild gut erkennen kann, z$x_1=x_2$die Wahrscheinlichkeit verschwindet. Dies ist eine unmittelbare Folge des Ausschlussprinzips von Pauli: Sie können die beiden identischen Fermionen nicht im selben Positionszustand finden. Aber das sieht man auch umso mehr$x_1$liegt in der Nähe$x_2$, desto kleiner ist die Wahrscheinlichkeit, da dies auf die Stetigkeit der Wellenfunktion zurückzuführen sein muss.

Nachtrag: Lässt sich die Wirkung von Paulis Ausschlussprinzip als Kraft im Konventionellen denken?$F=ma$Sinn?

Die QM-Version dessen, was in der klassischen Umgebung mit Kraft gemeint ist , ist eine Wechselwirkung, die durch irgendein Potential vermittelt wird, wie die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen Elektronen. Dies entspricht zusätzlichen Termen im Hamiltonian, der besagt, dass bestimmte Zustände (z. B. gleiche Ladungen sehr nahe beieinander) hochenergetischen Zuständen entsprechen und daher schwerer zu erreichen sind, und umgekehrt für niederenergetische Zustände.

Paulis Ausschlussprinzip ist konzeptionell völlig anders: Es ist nicht auf eine Energiezunahme zurückzuführen, die mit identischen Fermionen verbunden ist, die nahe beieinander liegen, und es gibt keinen Begriff im Hamiltonian, der eine solche "Wechselwirkung" vermittelt ( wichtiger Vorbehalt hier: diese " Austauschkräfte " können bis zu einem gewissen Grad als "reguläre" Kräfte angenähert werden).

Vielmehr kommt es von der inhärent unterschiedlichen Statistik von Viel-Fermionen-Zuständen: Es ist nicht so, dass identische Fermionen nicht im selben Zustand/in derselben Position sein können, weil es eine abstoßende Kraft gibt, die dies verhindert, sondern dass es keine physikalischen (Vielteilchen-) Zustände gibt. Zustand, der damit verbunden ist, dass sie sich in demselben Zustand/in derselben Position befinden . Es gibt einfach nicht: Es ist nicht kompatibel mit der physikalischen Realität, die von der Quantenmechanik beschrieben wird. Wir denken naiv an solche Zustände, weil wir es gewohnt sind, klassisch zu argumentieren, und uns nicht darüber im Klaren sind, was das Konzept „identischer Teilchen“ wirklich bedeutet.

Ok, aber was ist dann mit Dingen wie Entartungsdruck ? Unter bestimmten Umständen, wie bei sterbenden Sternen, scheint sich Paulis Ausschlussprinzip tatsächlich wie eine Kraft im herkömmlichen Sinne zu verhalten, die der Gravitationskraft entgegenwirkt und verhindert, dass weiße Zwerge zu einem Punkt zusammenbrechen. Wie bringen wir den oben beschriebenen „statistischen Effekt“ damit in Einklang?

Was ich für eine gute Denkweise halte, ist die folgende: Sie versuchen, viele Fermionen an derselben Stelle zu zerquetschen. Das Pauli-Prinzip schreibt jedoch eine verschwindende Wahrscheinlichkeit vor, dass jedes Paar von ihnen dieselbe Position einnimmt.

Die einzige Möglichkeit, diese beiden Dinge in Einklang zu bringen, besteht darin, dass die Positionsverteilung eines beliebigen Fermions (z$i$-ten Fermion) muss an einem Punkt extrem lokalisiert sein (nennen wir es$x_i$), die sich von allen anderen Punkten unterscheidet, die von den anderen Fermionen besetzt sind. Es ist wichtig anzumerken, dass ich hier nur aus Gründen der Klarheit geschummelt habe: Sie können nicht davon sprechen, dass ein Fermion eine individuelle Identität hat: Jedes Fermion wird sehr streng auf alle beschränkt sein$x_i$Positionen, vorausgesetzt , alle anderen Fermionen sind es nicht. Der Nettoeffekt von all dem ist, dass die richtig antisymmetrisierte Wellenfunktion des gesamten Systems eine Überlagerung vieler sehr scharfer Spitzen im hochdimensionalen Positionsraum sein wird. Und an diesem Punkt kommt Heisenbergs Unsicherheit ins Spiel: Eine sehr spitze Verteilung der Position bedeutet eine sehr breite Verteilung des Impulses, was eine sehr hohe Energie bedeutet, was bedeutet, dass Sie umso mehr Energie benötigen, je mehr Sie die Fermionen zusammenquetschen möchten bereitzustellen (das heißt, klassisch gesprochen, desto schwieriger muss man sie "zusammendrücken").

Zusammenfassend: Aufgrund des Pauli-Prinzips versuchen die Fermionen so sehr, nicht die gleichen Positionen einzunehmen, dass die resultierende Viel-Fermionen-Wellenfunktion, die die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten beschreibt, sehr spitz wird, was die kinetische Energie des Zustands stark erhöht und solche Zustände "härter" macht. erreichen.

Hier (und Links darin) ist eine weitere Frage, die diesen Punkt diskutiert.

Die andere Antwort zeigt schön, wie man das Pauli-Ausschlussprinzip für tatsächliche Wellenfunktionen interpretieren kann. Ich möchte jedoch die zugrunde liegende Verwirrung hier ansprechen, die in der Erklärung enthalten ist

Wenn Zeit und Raum kontinuierlich sind, sind identische Quantenzustände von vornherein unmöglich. in der Frage.

Diese Behauptung ist schlichtweg falsch. Ein Quantenzustand ist nicht durch einen Ort in Zeit und Raum gegeben. Die oft verwendeten Kets$\lvert x\rangle$das sind "Ortseigenzustände", sind eigentlich keine zulässigen Quantenzustände, da sie nicht normiert sind - sie gehören nicht zum Hilbert-Zustandsraum. Der Zustandsraum ist im Wesentlichen voraussetzungsgemäß separabel, dh von einer abzählbar unendlichen Orthonormalbasis aufgespannt.

Die Zustände, für die das Pauli-Ausschlussprinzip normalerweise verwendet wird, sind keine Positionszustände, sondern typischerweise gebundene Zustände wie die Zustände in einem wasserstoffähnlichen Atom, die Zustände sind$\lvert n,\ell,m_\ell,s\rangle$gekennzeichnet durch vier diskrete Quantenzahlen . Das Ausschlussprinzip besagt nun, dass zB nur ein Fermion den Zustand besetzen darf$\lvert 1,0,0,+1/2\rangle$, und nur einer darf besetzen$\lvert 1,0,0,-1/2\rangle$. Und dann alle Zustände an$n=1$erschöpft sind und ein drittes Fermion einen Zustand von einnehmen muss$n > 1$, dh es muss einen Zustand höherer Energie einnehmen . Das ist der Punkt des Pauli-Prinzips, das nichts mit der Diskretion oder Undiskretheit des Raums zu tun hat. (Da die Lösung der Schrödinger-Gleichung als Lösung einer Differentialgleichung im kontinuierlichen Raum abgeleitet wird, sehen wir tatsächlich, dass der nicht-diskrete Raum "diskrete" Zustände nicht verbietet.)