Wie schreibt man den antisymmetrisierten Zustand zweier identischer Fermionen richtig?

Ich bin gerade verwirrt:

Wenn ich 2 identische Fermionen habe, von denen sich eine im Zustand A und die andere im Zustand b befindet und sie normalisiert und orthogonal sind, welche Aussage ist richtig:

1) | Ψ ⟩ = 1 2 ( | A 1 ⟩ | B 2 ⟩ − | A 2 ⟩ | B 1 ⟩ )

oder

2) | Ψ ⟩ = 1 2 ( | A 1 ⟩ | B 2 ⟩ − | B 1 ⟩ | A 2 ⟩ )

wenn '1' und '2' die Koordinaten bezeichnen. Ich denke, es sollte 2 sein, aber in meinem Skript ist es anders ...

edit: Okay, ich denke jetzt, dass 1) richtig sein sollte, aber es stellt sich eine andere Frage: Wenn ich rechne ⟨ Ψ | Ψ ⟩ Ich bekomme

1 2 ( ⟨ A 1 | A 1 ⟩ ⟨ B 2 | B 2 ⟩ + ⟨ A 2 | A 2 ⟩ ⟨ B 1 | B 1 ⟩ − ⟨ A 1 | A 2 ⟩ ⟨ B 2 | B 1 ⟩ − ⟨ A 2 | A 1 ⟩ ⟨ B 1 | B 2 ⟩ ) = 1 2 ( 1 + 1 − 1 − 1 ) = 0

Antworten (1)

Ihre zweite Option ist richtig.

Schreiben

| A 1 ⟩ | B 2 ⟩ − | A 2 ⟩ | B 1 ⟩
macht keinen Sinn. Die Notation | ψ 1 ⟩ | ϕ 2 ⟩ ist eine Abkürzung für den Staat | ψ 1 ⟩ ⊗ | ϕ 2 ⟩ im Tensorprodukt H 1 ⊗ H 2 der Hilberträume H 1 Und H 2 der einzelnen Teilchen. Aber | A 2 ⟩ | B 1 ⟩ darin wohnen würden H 2 ⊗ H 1 , was ein anderer (wenn auch isomorpher) Raum ist, und Sie können keine Elemente addieren/subtrahieren, die in verschiedenen Vektorräumen liegen.

Vielen Dank! Eine letzte Frage, um diese Aussage zu untermauern: In meinem Übungsblatt wurde Folgendes festgehalten: Von einem der Teilchen ist bekannt, dass es sich in dem durch beschriebenen Zustand befindet | ϕ > und der andere in dem beschriebenen Zustand durch | χ > . Der Zustand des Systems ist dann für Fermionen: | Ψ >= 1 2 ( | ψ ( 1 ) > | χ ( 2 ) > − | ψ ( 2 ) > | χ ( 1 ) > ) und die Notation dass | ψ ( k ) > bedeutet, dass der Ket eine Funktion aller Variablen des Teilchens k ist (dasselbe gilt für | χ ( k ) > ). Aber anscheinend ist das falsch nach dem, was Sie gesagt haben? Die Aussage auf meinem Blatt ist also falsch?
@Martin: Ja, ich würde diese Notation in der abstrakten Bra-Ket-Notation als falsch bezeichnen . Wenn Sie tatsächlich Wellenfunktionen schreiben , wird es matschiger, weil die Multiplikation von Funktionen kommutativ ist: ψ ( X → 1 ) ⋅ χ ( X → 2 ) = χ ( X → 2 ) ⋅ ψ ( X → 1 )
Nochmals vielen Dank! Das war auch mein Problem, im Wellenfunktionsformalismus hat alles funktioniert, aber als ich diese Braket-Notation aus dem Blatt verwendet habe, hat es nicht funktioniert ... aber jetzt weiß ich, wo ich bin! Noch eine Nebenfrage: Ist es richtig, wenn ich schreibe: < A ( 1 ) | B ( 2 ) >= ∫ D X 1 D X 2 < A ( 1 ) | X 1 >< X 1 | X 2 >< X 2 | B ( 2 ) >== ∫ D X A ∗ ( X ) B ( X ) ? denn das würde auch einige meiner Probleme klären, also genau diese Wellenfunktions-Kommutativität
Wie schreibt man den antisymmetrisierten Zustand zweier identischer Fermionen richtig?
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