Wie gilt Paulis Ausschlussprinzip für Elektronen zweier Wasserstoffatome im Grundzustand mit gleichem Spin?

Angenommen, wir haben zwei Wasserstoffatome im Grundzustand, wobei der Spin beider Elektronen nach oben zeigt. Dann befinden sich die beiden Elektronen im gleichen Zustand. Dies sollte gegen das Ausschlussprinzip verstoßen. Nehmen wir nun an, wir haben 1 Mol Wasserstoffatome in einer Kammer. Sicherlich befinden sich die meisten von ihnen im Grundzustand (bei ausreichend niedriger Temperatur), und von drei beliebigen im Grundzustand haben mindestens zwei einen Spin in die gleiche Richtung, daher befinden sich die beiden Elektronen im gleichen Zustand. Wie gilt das Ausschlussprinzip für diese beiden Elektronen?

Meine Zweifel beziehen sich hauptsächlich darauf, welche Parameter einen "Zustand" bestimmen. Angenommen, zwei verschiedene Wasserstoffatome mit denselben Quantenzahlen befinden sich an verschiedenen Punkten im Raum. Sind die beiden Elektronen im gleichen Zustand?

Ich habe die Frage bearbeitet, da sie als "zu breit" markiert wurde.

Antworten (4)

Ein Quantenzustand beinhaltet die Information über die Position eines Teilchens. Zwei Teilchen mit gleichen Quantenzahlen an unterschiedlichen Orten befinden sich in unterschiedlichen Zuständen, was das Ausschlussprinzip erlaubt.

Können wir, da es die Unschärferelation gibt, wirklich jemals sagen, dass sich die beiden Teilchen in der gleichen Position befinden?
Nein, aber man kann auch nicht sagen, dass sie die gleiche Dynamik haben. Der Punkt ist, dass der Quantenzustand alle Informationen über das Teilchen enthält und alle gleich sein müssen, um vom Pauli-Ausschlussprinzip ausgeschlossen zu werden
Denken Sie daran, dass die Wellenfunktion für N identische Fermionen nicht N verschiedene Funktionen definiert auf R 3 - Es ist eine einzelne Funktion, die im Konfigurationsbereich definiert ist R 3 N , nicht im realen Raum. Das Ausschlussprinzip besagt, dass die gemeinsame Wahrscheinlichkeit (Dichte) für zwei Teilchen, beide gleichzeitig an der exakten Position zu sein, Null ist. Wenn jedoch die Wellenfunktion als Slater-Determinante ausgedrückt werden kann N verschiedene Einteilchenwellenfunktionen (was nicht immer der Fall ist), dann können WLOG die Einteilchenzustände orthogonal gewählt werden, aber sie sind ...
... darf sich überschneiden. Grob gesagt können Sie eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null haben, Partikel zu messen A an Stelle X , und auch eine Nicht-Null-Wahrscheinlichkeit zum Messen von Teilchen B an Stelle X , solange die Wahrscheinlichkeit der gleichzeitigen Messung von Partikeln A Und B beide in Position sein X Null ist (bei Vernachlässigung des Spins usw.). @ArchismanPanigrahi
@tparker Ähm, warte eine Sekunde. Statistiker werden Ihnen sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass zwei beliebige fortlaufende Messungen gleich sind, null ist. Sie brauchen eine Art Toleranz für eine Gleichheitswahrscheinlichkeit ungleich Null. Angesichts der Tatsache, dass dies mit Zahlen und nicht mit Physik zu tun hat, was sagt uns das Pauli-Ausschlussprinzip wirklich?
@candied_orange P ( X 1 , X 2 ) ist nicht null, wenn X 1 = X 2 für eine beliebige Wahrscheinlichkeitsdichte P .
@tpaker, also gilt der PEP nur genau um z. X 1 = X 2 ? Aber innerhalb der Maßtheorie sind Wahrscheinlichkeitsdichten an jedem bestimmten Punkt willkürlich, so dass Ihre Aussage über die PEP bedeutungslos ist ...
@candied_orange Deshalb habe ich in meinem Kommentar oben "(Dichte)" in Klammern gesetzt. Denken Sie daran, dass die Wellenfunktion Ihnen Wahrscheinlichkeitsdichten liefert, keine Wahrscheinlichkeiten, und diese können entweder null oder ungleich null sein.
@innisfree Nein, der PEP gilt nicht nur genau um X 1 = X 2 . Es steht dass lim X 2 → X 1 ψ ( X 1 , X 2 ) = 0 für spinlose Fermionen.
Hmm, bevor Sie von Wahrscheinlichkeiten gesprochen haben, jetzt Wellenfunktionen. Würden Sie sagen, PEP sagt lim X 2 → X 1 P ( X 1 , X 2 ) = 0 ? Ich bin mir nicht sicher, ob das aus Sicht der Wahrscheinlichkeitsdichte sinnvoller ist.
@innisfree Sie können sich ansehen Q ( X ) := lim ε → 0 + P ( X ∈ B ε ( X ) ) v ( B ε ( X ) ) Wo v ist das Volumen im Umgebungsmaß und B ε ( X ) ist der Kugelradius ε zentriert bei X . Dies ist der "wahre Wert" des PDFs, wo immer es existiert. Die Punkte wo Q vorhanden sind, werden Lebesgue-Punkte genannt, und wenn das Umgebungsmaß das Lebesgue-Maß ist, dann hat die Menge aller Nicht-Lebesgue-Punkte das Maß Null. PEP erzählt Ihnen davon Q , nicht nur die Wahrscheinlichkeitsdichte P selbst (die streng genommen nicht einmal wohldefiniert ist).
@innisfrei P ist nur das absolute Quadrat von ψ , also ist es äquivalent zu sagen, dass beide auf Null gehen. Die Grenze kann gut definiert werden – Sie nehmen im Grunde einfach die übliche Definition von Grenze und ersetzen jede Aussage des Ausdrucks „für alle“ durch „für fast alle“ (im maßtheoretischen Sinne von „alle außer für eine Reihe von Maßen“) null"). Denken Sie daran, dass die Elemente des Hilbert-Raums L 2 ( R N ) sind keine Funktionen, sondern Äquivalenzklassen von Funktionen. Die obige Grenze kann äquivalent dahingehend interpretiert werden, dass „es einen Vertreter der Äquivalenzklasse gibt ψ solch ...
... dass diese Grenzaussage für diese repräsentative Funktion gilt.“
@tparker wäre es dann fair zu sagen: lim X 2 → X 1 ψ ( X 1 , X 2 ) < lim X 2 → X 1 + 1 ψ ( X 1 , X 2 ) ? Wenn das stimmt, dann sagt PEP wirklich etwas darüber aus, am selben Ort zu sein, und nicht nur die Unwahrscheinlichkeit, an einem bestimmten Ort zu sein.
@candied_orange Ich fürchte, ich verstehe deine Frage nicht. Wie Sie sagen, verbietet die Unschärferelation Elektronenpaaren, sich am selben Ort zu befinden, aber es verbietet keinem einzelnen Elektron, sich an einem bestimmten absoluten Ort zu befinden (ohne Berücksichtigung aller anderen Elektronen).
@tparker Ich teste (oder versuche zu testen), ob Ihr Limit im Vergleich zu einem ebenso bestimmten Ort in beliebiger Entfernung etwas Bedeutendes anzeigt. Mit anderen Worten, erhalten wir Null wegen des anderen Teilchens oder weil es wirklich unwahrscheinlich ist, dass es sich an einem bestimmten Ort befindet? Ich verstehe, dass PEP es verbietet, am selben Ort zu sein. Aber diese Grenze beruhigt mich noch nicht, dass sie das stärker verbietet, als an einem bestimmten Ort zu sein.
@candied_orange Oh, ich verstehe deine Frage. Ja, der PEP bedeutet, dass es "noch unwahrscheinlicher" ist als die "übliche" Nullwahrscheinlichkeit, an einem bestimmten Ort zu sein. Genauer gesagt ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das zweite Elektron in einem infinitesimalen Volumen des ersten Elektrons befindet, so gering, dass es auch nach Division durch das infinitesimale Volumen immer noch Null ist. Es ist, als wäre es "doppelt" infinitesimal, während die übliche Wahrscheinlichkeit, sich an einem generischen Ort zu befinden, nur "einzeln" infinitesimal ist.
tparker @ian danke für deine Erklärungen - sehr klar
  1. Sie können nicht zwei Elektronen mit demselben Impuls erzeugen, weil Sie nicht einmal ein einzelnes Elektron mit einem bestimmten, exakten Impuls erzeugen können. Sie können ein Elektron erzeugen, dessen räumliche Wellenfunktion eine beliebig enge Verteilung von Impulsen enthält, aber dann wird die Verteilung über räumliche Orte sehr breit sein. Unabhängig davon sind ihre räumlichen Zustände unterschiedlich, wenn sie in verschiedenen Raumregionen lokalisiert sind.
  2. Unter der Annahme, dass die Elektronen in verschiedenen H-Atomen an unterschiedliche Kerne gebunden sind, werden ihre Zustände aus diesem Grund unterschiedlich sein. Im Prinzip aber, wenn wir die Kerne ignorieren und einfach viele Elektronen in eine Kiste bei niedriger T stecken, können wir ein entartetes Fermi-Gas erhalten, bei dem das Ausschlussprinzip eine Rolle spielt. Die Situation ist komplizierter, wenn Kerne beteiligt sind.
  3. Der räumliche Zustand jedes Teilchens ist Teil seines Zustands im Hinblick auf das Ausschlussprinzip, also nein, zwei Elektronen in zwei verschiedenen Atomen befinden sich niemals im selben Zustand. Oft konzentrieren wir uns auf ihre atomaren Zustände (Orbital + Spin), und die Leute nennen diese oft einfach die "Zustände", aber im Hinblick auf das Pauli-Ausschlussprinzip spielt definitiv auch der räumliche Zustand eine Rolle.

Wenn Sie sagen können, dass sie sich in verschiedenen Teilen des Universums befinden, dann bedeutet das, dass Sie Positionsinformationen haben, wenn auch nur eine kleine Menge, was bedeutet, dass es auch weniger Impulsinformationen gibt, auch wenn diese ziemlich umfangreich sein können . Das bedeutet auch, dass ihnen somit nicht derselbe Quantenzustand zugeschrieben werden kann. Pauli verbietet es also nicht.

Zwei Elektronen mit perfekter Impulsinformation hätten in der Tat überhaupt keine Positionsinformation und wären daher völlig unabhängig von einem Ort innerhalb des Universums, was durchweg völlig störend wäre. Und wenn diese Maximalinformationsmomente gleich wären, würde Pauli das tatsächlich ausschließen.

Der räumliche Teil der Wellenfunktion ist Teil des Zustands.

Zwei Elektronen in demselben isolierten Atom haben denselben räumlichen Teil ihres Zustands und können daher dem Ausschlussprinzip unterliegen. Zwei gut getrennte Atome haben nicht die gleiche räumliche Wellenfunktion, können sich also nicht im gleichen Zustand befinden, unterliegen also nicht dem Ausschlussprinzip.

Kompliziert wird es bei sich überschneidenden Fällen, zB bei chemischen Bindungen, und wenn die Elektronen einen historischen Zusammenhang haben, der zur Verschränkung führt. In den fraglichen einfachen Fällen haben getrennte Elektronen jedoch unterschiedliche räumliche Teile ihres Zustands und befinden sich daher nicht im selben Zustand.

Wie gilt Paulis Ausschlussprinzip für Elektronen zweier Wasserstoffatome im Grundzustand mit gleichem Spin?
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