Wie trägt die Fermi-Dirac-Statistik zu Fermionen im Pauli-Ausschlussprinzip bei?

Keine zwei Fermionen können die gleichen Quantenzahlen haben, was angeblich dasselbe ist wie zu sagen, dass keine zwei Fermionen im gleichen Quantenzustand sein können (sagen diese effektiv dasselbe)?

Ja, sie meinen dasselbe. Ein Quantenzustand wird eindeutig durch eine Menge von Quantenzahlen bestimmt.

Die Fermionen, von denen ich spreche, sind Quarks, keine Elektronen

Ist egal. Elektronen und Quarks sind beides Fermionen. Das Pauli-Ausschlussprinzip gilt für zwei identische Elektronen oder für zwei identische Quarks. Es gilt nicht zwischen einem Elektron und einem Quark, da es sich um unterschiedliche Teilchen handelt (unterschiedliche Masse).

Und Fermionen sind Teilchen mit halbzahligen Spins, die der Fermi-Dirac-Statistik gehorchen. Bitte erklären Sie, was Fermi-Dirac-Statistiken sind,

Es gibt also drei Ebenen:

1. Bosonen vs. Fermionen.

Wenn Sie zwei Teilchen haben ($1$Und$2$) mit Wellenfunktionen$\phi$Und$\psi$, müssen Sie das System als Überlagerung von [Fall wo Teilchen$1$hat Wellenfunktion$\phi$UND Teilchen$2$hat Wellenfunktion$\psi$] Und umgekehrt.

Physikalisch liegt dies daran, dass die Markierung von uns Experimentatoren vorgenommen wird und daher keine Auswirkungen auf das System selbst und seine Entwicklung haben sollte. Elementarteilchen sind nicht zu unterscheiden, also können wir sie nicht einmal etikettieren und erwarten, dass sie ihre Etikette „behalten“.

Also die totale Wellenfunktion$\Psi(1,2)$wird sein:

$$\Psi(1,2) = \phi(1)\psi(2) \pm \phi(2)\psi(1).$$ Für identische Teilchen$\psi = \phi$und damit die$\pm$bestimmt, ob die beiden Teilchen koexistieren können oder nicht. Das Pluszeichen bedeutet, dass sie koexistieren können und sie werden Bosonen genannt , während das Minuszeichen Ihnen eine Null gibt und sie daher nicht koexistieren können und Fermionen genannt werden .

Ein hübsches Beispiel ist die Betrachtung von zwei Elektronen in zwei Zuständen eines quadratischen Wells, und Sie können das für den sehen$-$Zeichen ("antisymmetrisch", weil$\Psi$nimmt beim Teilchenaustausch insgesamt ein Minuszeichen auf$1\leftrightarrow$2) die Wahrscheinlichkeit, die Teilchen an derselben Position zu finden$x=y$ist immer genau null:

Das obige Argument ist ein wenig verdummt, kann aber rigoros aus der Topologie des Teilchenaustauschs abgeleitet werden .

Die obigen Anforderungen werden üblicherweise als Kommutierungs- und Antikommutierungsbeziehungen zusammengefasst:

$$\begin{equation} \begin{gathered} \text{bosons} \Leftrightarrow \left [ a,a^\dagger \right ] = 0, \\ \text{fermions} \Leftrightarrow \left \{ a,a^\dagger \right \} = 0. \end{gathered} \end{equation}$$

2. Spin-Statistik-Theorem.

Das Spin-Statistik-Theorem beinhaltet im Wesentlichen (nach viel Mathematik und Beweisen und so) diese Beziehungen für die Erstellung ($a^\dagger$) und Vernichtung ($a$) Operatoren von Teilchen (richtiger Felder ) mit Drehimpuls$j$:

$$\begin{equation} \begin{gathered} \text{for bosons: } \quad \left [ a, a^\dagger \right ] \propto 1 - (-1)^{2j} , \\ \text{for fermions: } \quad \left \{ a, a^\dagger\right \} \propto 1 - (-1)^{2j}, \end{gathered} \end{equation}$$

und um diese den obigen Beziehungen zuzuordnen, erhalten Sie, dass Fermionen genügen müssen$2j \in \mathbb{Z} \implies j \in \mathbb{Z}/2$. Daher haben Fermionen halbzahligen Spin , weil$j$, in Abwesenheit eines anderen (Bahn-) Drehimpulses, ist nur der Spin.

3. Partikelverteilung.

Jedes (nicht wechselwirkende) Einzelteilchensystem wird durch die folgende Wärmedichtematrix beschrieben, die Boltzmann-verteilt ist :

$$\begin{equation} \mathrm{e}^{-\beta (H-\mu N)} = \sum_i\mathrm{e}^{-\beta (E_i-\mu n_i)}\,|n_i\rangle\langle n_i|, \end{equation}$$

weil es ein Einzelteilchen ist, der Zahlenoperator$\hat N$gibt Ihnen$n_i|n_i\rangle$und der Energieoperator (Hamiltonian)$\hat H|n_i\rangle$gibt Ihnen$E_i |n_i\rangle$.

Nun möchte ich die durchschnittliche Besetzung eines Zustands definieren , also (Teilchen)/(Zustände),$f(E)$:

$$\begin{equation} f = \bar{n} = \frac{1}{\text{total}}\sum_j n_j P(n_j) = \frac{1}{{\sum_j \mathrm{e}^{-n_j(E_j - \mu)/ k_B T}}}\sum_j \langle n_j| \,\mathrm{e}^{-(H - \mu N)/k_B T} n |n_j \rangle = \\ \frac{1}{Z}\sum_j n_j P(n_j), \end{equation}$$ Wo $$\begin{equation} P(n) = \frac{1}{Z}\, \mathrm{e}^{-n(E-\mu)/k_B T} \quad \text{with} \quad Z = \sum_n \mathrm{e}^{-n(E-\mu)/k_BT} = \sum_n \left ( \mathrm{e}^{-r} \right )^{n}, \end{equation}$$ $P$ist die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen bei Energie zu finden$E$(entspricht Zahl$n$), Und$Z$die Partitionsfunktion.

Wir sagten, dass Fermionen nicht koexistieren können, also muss die Summe über die Zustände beendet sein$0$oder$1$, weil alles$\geq 2$gibt Ihnen eine Null-Netto-Wellenfunktion (siehe erster Aufzählungspunkt). Das schränkt die Summe ein$Z= \sum_{n=0}^1 r^n = 1 + r$und ergibt:

$$\begin{equation} \begin{gathered} \bar{n} = \sum_{n=0}^1 n\,P(n) = \frac{1}{Z}\,\mathrm{e}^{-(E-\mu)/k_BT} = \frac{r}{1+r} \\ \Rightarrow \bar{n} = f_{\text{FD}} = \frac{1}{\mathrm{e}^{(E-\mu)/k_B T} + 1}. \end{gathered} \end{equation}$$

Hier kommt also die Fermi-Dirac (FD)-Verteilungsfunktion her.

Sie leitet sich aus dem Pauli-Ausschlussprinzip ab und ist damit kompatibel. Wenn Sie es darstellen (unten, für eine Temperatur ungleich Null), sehen Sie das$f$ist höchstens eins für Fermionen: Sie können maximal haben$1$Teilchen pro Quantenzustand.

Ich denke, die Fermi-Dirac-Statistik bezieht sich auf die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion:

$$f(E) = \frac{1}{1+\exp\left(\frac{E-\mu}{kT} \right)},$$

und diese Funktion überschreitet nicht eins, was bedeutet, dass Sie nie mehr als ein Teilchen in einem bestimmten Quantenzustand haben, anders als im Fall der Bose-Einstein-Verteilungsfunktion.

Der Quantenzustand wird immer durch Quantenzahlen definiert, und der Spin ist immer eine der wohldefinierten Quantenzahlen.

Möchten Sie wissen, wie es dazu kommt, dass halbzahliger Spin mit einer solchen Verteilungsfunktion zusammenhängt?

Im Allgemeinen halbzahliger Spin -> Pauli-Ausschlussprinzip -> Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion .

Die Beziehung halbzahliger Spin -> Pauli-Ausschlussprinzip ist hier beschrieben: https://en.wikipedia.org/wiki/Spin-statistics_theorem

Der Link Pauli-Ausschlussprinzip -> Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion ist hier beschrieben: https://nanohub.org/resources/5787/download/2009.02.02-ECE606-L9.pdf

Das ist ein wirklich tiefgründiges und interessantes Thema! Ich hoffe, diese Antwort hilft, einige Verwirrungen zu beseitigen.

Um Ihre erste Frage zu beantworten, Quantenzahlen kennzeichnen die verschiedenen Zustände des Systems, wenn also zwei Teilchen die gleichen Quantenzahlen haben, befinden sie sich im gleichen Zustand.

Die Fermi-Dirac-Statistik bezieht sich auf die Phase, die von der Wellenfunktion erfasst wird, wenn zwei Teilchen ausgetauscht werden. Insbesondere wenn Sie zwei Fermionen vertauschen, sollte die Wellenfunktion insgesamt ein Minuszeichen erhalten. Angenommen, wir haben ein System, das durch eine einzelne Quantenzahl beschrieben wird,$n$, und es enthält zwei Fermionen mit Ortsvektoren$\mathbf{x}_1$Und$\mathbf{x}_2$bzw. Diese Fermionen seien in Zuständen$n_1$Und$n_2$. Dann sollte die Wellenfunktion für das kombinierte System sein:

$$\Psi (\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) = \psi_{n_1}(\mathbf{x}_1)\psi_{n_2}(\mathbf{x}_2) - \psi_{n_1}(\mathbf{x}_2)\psi_{n_2}(\mathbf{x}_1)$$ wo die Staaten$\psi_{n_1}(\mathbf{x})$Und$\psi_{n_2}(\mathbf{x})$sind Einteilchenzustände. Das sieht man am Zwei-Teilchen-Zustand$\Psi (\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) = -\Psi (\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_1)$, was die Tatsache codiert, dass das Vertauschen der beiden Fermionen zu einem allgemeinen Vorzeichenwechsel führt. Im Gegensatz dazu gehorchen bosonische Zwei-Teilchen-Zustände$\Psi(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) = \Psi(\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_1)$.

Das Pauli-Ausschlussprinzip besagt, dass keine zwei ununterscheidbaren Fermionen denselben Quantenzustand einnehmen können. Wir können sehen, dass dies gilt, indem wir den Fall betrachten, dass$n_1=n_2$über. In dieser Situation,$\Psi = 0$identisch. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit gleich Null ist, dass sich die Fermionen im gleichen Zustand befinden. Beachten Sie, dass dies bei Bosonen nicht der Fall ist.

Das Spin-Statistik-Theorem sagt uns, dass die Phase, die von der Wellenfunktion erfasst wird, wenn zwei Teilchen ausgetauscht werden, die gleiche ist wie die Phase, die erhalten wird, wenn ein Teilchen einen vollen durchmacht$2\pi$Drehung. Fermionen nehmen also ein Minuszeichen auf, wenn Sie eines von ihnen drehen$2\pi$. Das sagt uns, dass sie einen halbzahligen Spin haben müssen, was überhaupt nicht trivial ist! Ich würde vorschlagen, mehr über Spin zu lesen, wenn Sie an dieser Verbindung interessiert sind.

Wichtig: Die obigen Tatsachen gelten für jede Art von (nicht unterscheidbaren) Fermionen. Elektronen und Quarks gehorchen in diesem Sinne denselben Regeln. Die Fermi-Dirac-Statistik (bezieht sich auf das Minuszeichen, das von der Wellenfunktion beim Teilchenaustausch aufgenommen wird) ist jedoch nicht dasselbe wie die Fermi-Dirac-Verteilung. Der FD-Verteilung folgen nichtwechselwirkende Fermionen, die im thermischen Gleichgewicht mit einem Reservoir stehen, mit dem sie Teilchen austauschen können. Insbesondere Quarks sind sehr stark wechselwirkende Teilchen und würden daher nicht der FD-Verteilung gehorchen. Börsenstatistiken (und das Pauli-Ausschlussprinzip) sind eine allgemeinere, tiefere Tatsache.