Was ist die Definition von ψ¯ψ¯\bar\psi in QCD?

Dies ist eine zweiteilige Frage.

  1. Was ist die Definition von ψ ¯ im QCD?

Bei QED kenne ich das ψ ¯ = ψ † γ 0 , aber in QCD haben wir auch Geschmacks- und/oder Farbraum. Insbesondere lese ich Klevanskys Rezension des Nambu-Jona-Lasinio-Modells der QCD, in der die Lagrange- und mehrere Symmetrietransformationen die Pauli-Isospin-Matrizen zu beinhalten scheinen τ .

  1. Wie kann ich die folgende Symmetrietransformation beweisen, die in Gl. (2.8) der oben zitierten Quelle?

ψ → e − ich ( τ ⋅ θ ) γ 5 / 2 ψ ⇒ ( ψ ¯ ψ ) → ( ψ ¯ ψ ) cos ⁡ θ − ( ψ ¯ ich γ 5 τ ⋅ θ ^ ) Sünde ⁡ θ .

Offensichtlich ist (1) notwendig, um (2) zu beantworten, aber ich bin auf jeden Fall verwirrt, wie das funktioniert.

Antworten (1)

In einem NJL-Modell mit zwei Geschmacksrichtungen ( u , D ) , das Feld ψ ist definiert als

ψ = ( u D ) ,
Sein u Und D gewöhnliche Dirac-Spinoren. Dies bedeutet, dass in Ihrer Transformation der SU(2)-Teil gilt ψ während γ 5 geht auf die einzelnen Dirac-Spinoren. Daran erinnern γ 5 2 = ICH , du hast
e − ich τ ⋅ θ γ 5 / 2 = cos ⁡ ( | θ | 2 ) − ich τ ⋅ θ | θ | γ 5 Sünde ⁡ ( | θ | 2 )
das ergibt
e − ich τ ⋅ θ γ 5 / 2 ψ = cos ⁡ ( | θ | 2 ) ( u D ) − ich τ ⋅ θ | θ | Sünde ⁡ ( | θ | 2 ) ( γ 5 u γ 5 D ) .

Was meine Frage 1 betrifft, ist ψ ¯ dann die Transponierung von ψ im Geschmacksraum, mit u Und D auch werden u † γ 0 Und D † γ 0 ? Die Multiplikation mit γ 0 denn der Spinor-Teil lässt mich fragen, ob es auch eine Multiplikation mit etwas gibt τ Matrix für den Geschmacksteil.
Sie haben Recht und das ist der interessante Teil γ 5 antipendelt mit γ 0 und dies gibt genau die Transformation, für die Sie bekommen ψ ¯ ψ .
Um darauf zurückzukommen (Wochen später), bin ich immer noch verwirrt darüber, wie die τ ⋅ θ verwandelt sich in | θ | / 2 . Ich habe angenommen τ ⋅ θ = θ 1 τ 1 + θ 2 τ 2 + θ 3 τ 3 für beliebige reelle Parameter θ ich . Ist das wahr? Wenn ja, wie funktioniert die τ ⋅ θ verschwinden aus dem cos Begriff?
Macht nichts, jetzt sehe ich es: Kommutierungsrelationen für Pauli-Matrizen zeigen das ( τ ⋅ θ ) 2 = | θ | 2 , und das macht den Trick.
Was ist die Definition von ψ¯ψ¯\bar\psi in QCD?
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