QCD-Farbstrukturbeziehung [geschlossen]

Ich möchte folgende Beziehung beweisen:

$$\begin{equation} t^a t^b \otimes t^a t^b = \frac{2}{N_C} \delta^{ab} \mathbb{1} \otimes \mathbb{1} - \frac{1}{N_C} t^a \otimes t^a \end{equation}$$

Ich habe gerade den zweiten Term berechnet, habe aber immer noch Probleme, an den Casimir-Operator zu kommen$C_F$des ersten Semesters.

Wissen$t^a = \frac{\lambda^a}{2}$Und$\lambda^a\lambda^b = \frac{2}{N_C}\delta^{ab} + d^{abc}\lambda^c + i f^{abc}\lambda^c$Erträge

$$\begin{equation} t^a t^b \otimes t^a t^b = \frac{1}{16}\lambda^a \lambda^b \otimes \lambda^a \lambda^b \end{equation}$$ $$\begin{equation} = \frac{1}{16} \left[ \frac{2}{N_C}\delta^{ab} + d^{abc}\lambda^c + i f^{abc}\lambda^c \right] \otimes \left[ \frac{2}{N_C}\delta^{ab} + d^{abc}\lambda^c + i f^{abc}\lambda^c \right] \end{equation}$$ Da habe ich hoffentlich Recht $f^{aab} = d^{aab} = 0$, daher $$\begin{equation} = \frac{1}{16} \left[ \frac{4}{N_C^2} \delta^{ab} \mathbb{1} \otimes \mathbb{1} - \frac{4}{N} \lambda^c \otimes \lambda^c + i d^{abc}f^{abc} \lambda^c \otimes \lambda^c + i f^{abc} d^{abc} \lambda^c \otimes \lambda^c \right] \end{equation}$$ wo ich verwendet habe $f^{abc}f^{abc} = N$Und $d^{abc}d^{abc} = \left( N - \frac{4}{N} \right)$.

Der Casimir-Operator ist definiert als

$$\begin{equation} \frac{N_C^2 -1}{2N_C} \equiv C_F \end{equation}$$

Und wie gesagt, ich weiß nicht, wie ich durch Einsetzen des Casimir-Operators zum Ergebnis der ersten Gleichung komme. Ich habe eine starke Vermutung, dass, wenn ich wüsste, wie man mit den Begriffen umgeht$i d^{abc}f^{abc} \lambda^c \otimes \lambda^c$das Ergebnis wird offensichtlich sein, aber bis jetzt bin ich für jede Hilfe dankbar.