Gruppentheoretischer Grund, dass Gluonen Farbladung und Antifarbladung tragen

Nachdem ich die entsprechenden Kapitel in mehreren Büchern durchgelesen habe, denke ich, dass ich jetzt in der Lage bin, eine "halbwegs befriedigende" Antwort auf meine eigene Frage zu geben (und Lubos ersten Kommentar zu verstehen ;) ).

Ich schreibe halbwegs befriedigend, weil ich hoffe, dass jemand mit einem tieferen Verständnis dieser Themen eine bessere Antwort geben wird. Meine Erklärung ist immer noch ein wenig heuristisch, und ich würde gerne eine mathematischere Herleitung dieser merkwürdigen Tatsache der Natur sehen.

Diese Antwort ist ziemlich lang, aber es hat mich einige Zeit gekostet, diese Dinge herauszufinden, weil ich keine angemessene Behandlung dieses Themas finden konnte. Ich bin mir fast sicher, dass es irgendwo eine solche Behandlung gibt, aber nach ungefähr 20 Büchern in der Bibliothek meiner Universität habe ich einfach aufgegeben.

Trotzdem hilft das vielleicht jemandem mit ähnlichen Problemen.

Apropos Isospin$SU(2)$, beschriften wir die Felder mit den Eigenwerten der Cartan-Generatoren, die die Diagonalgeneratoren der Gruppe sind. Für$SU(2)$Es gibt nur einen,$I_3= \frac{\sigma_3}{2}$, mit Eigenwerten$\pm \frac{1}{2}$. Die Eigenvektoren bilden eine Basis für den Vektorraum der Fundamentaldarstellung und folglich können wir die Fermionenfelder (die sich entsprechend der Fundamentaldarstellung transformieren) auf diese Basis schreiben und ihnen Ladungen zuweisen, die den Eigenwerten entsprechen. Deshalb haben wir$\begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix}$und können das Neutrinofeld zuordnen$\begin{pmatrix} v_e \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} v_e$, Wo$v_e$ist der übliche Spin oder die Isospin-Ladung$\frac{1}{2}$, Weil

$$I_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} v_e = \frac{\sigma_3}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} v_e = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} v_e$$

Gleichermaßen$- \frac{1}{2}$, für das Elektronenfeld$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} e$

Für$SU(3)$die Sache ist etwas komplizierter, weil wir zwei Cartan-Generatoren haben$\frac{1}{2} \lambda_3$Und$\frac{1}{2} \lambda_8$(Mit den üblichen Gell-Mann-Matrizen$\lambda_i$). Folglich ist jedes Feld mit zwei Zahlen gekennzeichnet.

Die Eigenwerte von$\frac{1}{2} \lambda^3 = \frac{1}{2} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$Sind$\pm \frac{1}{2}, 0$.

Für$\lambda^8 = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right)$die Eigenwerte sind$\frac{1}{2 \sqrt{3}}, \frac{1}{2 \sqrt{3}} , \frac{-1}{\sqrt{3}}$

Ordnen wir daher die stark wechselwirkenden Fermionen zu Tripletts an, entsprechend der von den Eigenvektoren der Cartan-Generatoren aufgespannten Basis, können wir ihnen die folgenden Bezeichnungen zuweisen:

$$(\frac{1}{2} , \frac{1}{2 \sqrt{3}}) \mathrm{ \ for \ } \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} f$$

wo man normalerweise rot definiert$:=(\frac{1}{2} , \frac{1}{2 \sqrt{3}})$

Analog

$$(-\frac{1}{2} , \frac{1}{2 \sqrt{3}}) \mathrm{ \ for \ } \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} f$$

also blau$:=(\frac{-1}{2} , \frac{1}{2 \sqrt{3}})$und ebenso grün$:=(0 , \frac{-1}{ \sqrt{3}})$. Die Farbidee kommt daher, dass wenn wir die drei Farben addieren, d.h

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} f$$ , erhalten wir einen Zustand mit Ladung Null (einen farblosen Zustand), weil

$$\lambda_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0$$ Und $$\lambda_8 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0$$

das ist analog zum Sonnenlicht, das alle Lichtfarben enthält, aber dennoch farblos ist.

Im Kontrast zu$SU(2)$, für$SU(3)$die Darstellungen sind nicht reell (die konjugierte Darstellung ist nicht äquivalent zur gewöhnlichen Darstellung) und daher können wir von Anti-Ladung, hier Anti-Farbe, sprechen. Die entsprechenden Zustände sind zB

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \end{pmatrix} f$$ für Anti-Rot, mit Eigenwert Anti-Rot $:=(\frac{-1}{2} , \frac{-1}{2 \sqrt{3}})$. Wobei das Minuszeichen aus der komplexen Konjugation der Generatoren stammt und etwas verwirrend sein kann, weil Physiker und Mathematiker Generatoren unterschiedlich definieren. Trotzdem dürfen wir nicht vergessen, dass es eine gibt $i$im Exponenten, den Physiker ausklammern, um mit hermiteschen Generatoren zu arbeiten (um echte Eigenwerte zu bekommen, weil die Generatoren mit den Noether-Ladungen identifiziert werden).

Jetzt die Gluonen. Die Gluonen sind die Eichbosonen von$SU(3)$und die kovariante Ableitung lautet

$$D_\mu = \partial_\mu - i g A_\mu$$ , mit $A_\mu = A_\mu^a \frac{ \lambda^a }{2}$. Auf diese Weise sind die Gluonen Matrizen, die in Bezug auf die Generatoren geschrieben sind, was notwendig ist, um die Lagrange-Funktion lokal zu machen $SU(3)$unveränderlich. Daher transformieren sich die Gluonen gemäß der adjungierten Darstellung. (Die adjungierte Darstellung ist die Darstellung der Gruppe auf ihrem eigenen Tangentialraum an der Identität = die Lie-Algebra. $A_\mu = A_\mu^a \frac{ \lambda^a }{2}$ist eine Erweiterung in Bezug auf die Basis der Lie-Algebra = die Generatoren.)

Was passiert, wenn ein Gluonfeld auf ein Quarkfeld einwirkt? Lassen Sie zum Beispiel das erste Gluonenfeld auf ein rotes Quark einwirken,

$$A_\mu^1 \frac{ \lambda^1 }{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} q = A_\mu^1 \frac{ 1 }{2} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} q = A_\mu^1 \frac{ 1 }{2} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} q$$

Daher verwandelte das Gluonenfeld das rote Quark in ein blaues Quark. Aus dem Satz von Noether wissen wir, dass die Farbe erhalten bleibt, und wir können daraus schließen, dass das erste Gluon$A_\mu^1 \frac{ \lambda^1 }{2}$muss die Farbladung Anti-Rot|Blau tragen