Warum sagen wir, dass Gluonen eine Farbladung tragen?

Die Aussage, dass Gluonen mit Ladung verbunden sind$SU(3)$Symmetriegruppe kann folgendermaßen verstanden werden. Angenommen, Sie haben minimale Lagrangian von Fermionen in der fundamentalen Darstellung des Lokalen$SU(3)$Gruppe, die mit den Gluonen in der adjungierten Darstellung wechselwirken (im Ergebnis ist die Gluonenfeldwirkung invariant unter$SU(3)$von Gluonen, als deren welches eine adjungierte Darstellung bildet):

$$\tag 0 L = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}^{a}F^{\mu \nu}_{a} + \bar{\psi}_{i}(i\gamma_{\mu}D^{\mu}_{ij} - m)\psi_{j},$$ Wo $$F_{\mu \nu} = \partial_{[\mu}A_{\nu ]} - ig[A_{\mu}, A_{\nu}] \equiv t_{a}F_{\mu \nu}^{a}$$ ist der Gluon-Feldstärketensor, $a$ist der Generatorindex, $$D_{\mu}^{ij} \equiv \partial_{\mu} - igA_{\mu}^{a}t_{a}^{ij}$$ ist die kovariante Ableitung, $i, j$ist der Index der fundamentalen Repräsentationen.

Eine Aktion ist unter Transformationen invariant

$$\tag 1 \psi \to U\psi , \quad A_{\mu} \to \frac{i}{g}U^{\dagger}D_{\mu}U, \quad U = e^{i\alpha_{a}(x)t_{a}},$$ so für $SU(N)$es gibt $N^{2}-1$konservierte Strömungen $J_{\mu}^{a}$. Sie können durch Linearisierung von Transformationen erhalten werden $(1)$und Einfügen einer linearisierten Transformation in einen Ausdruck für den Noetherstrom: $$A_{\mu}^{a} \to A_{\mu}^{a}- f^{abc}\alpha^{b}(x)A^{c}_{\mu} = A_{\mu}^{a} + \delta A_{\mu}^{a}, \quad \psi_{i} \to \psi_{i} + i\alpha^{a}(x)t^{a}_{ij}\psi_{j} = \psi_{i} + \delta \psi_{i},$$ $$J_{\mu}^{a} \equiv \sum_{\varphi = \psi , \bar{\psi}, A}\frac{\partial L}{\partial (\partial^{\mu} \varphi_{n})}\frac{\partial \delta \varphi_{n}}{\partial \alpha_{a} (x)} = \bar{\psi}_{i}\gamma_{\mu}t^{a}_{ij}\psi_{j} - f_{abc}A^{\nu}_{b}F_{\mu \nu}^{c}$$ Hier $f_{abc}$sind Strukturkonstanten, die definiert sind als $$[t_{a}, t_{b}] = if_{abc}t_{c}$$ Entsprechende Gebühren sind definiert als $$Q^{a} \equiv \int J_{0}^{a}d^{3}\mathbf r$$ Sie sehen, wenn Sie Fermionen deaktivieren, enthält die Ladung einen rein gluonischen Teil. Dies liefert die Aussage, dass Gluonen Ladung tragen. Es ist offensichtlich, da es eine Selbstwechselwirkung von qubic und quartic on gibt $A_{\mu}^{a}$Terme in der Lagrangian, die benötigt wird, um einfach ausgedrückt die invariante Stärke zu messen. Der Hauptunterschied von nonabelian $SU(N)$Theorie aus der abelschen Theorie des Elektromagnetismus, $U(1)$, beruht formal darauf, dass z $U(1)$ $f_{abc} = 0$, also gibt es keine Selbstwechselwirkungen im reinen Photonensektor und daher keine Ladung des Photons.