Schreiben von Wellenfunktionen mit dem Spin eines Teilchensystems

Question

Schreiben von Wellenfunktionen mit dem Spin eines Teilchensystems

Ana SH

Angenommen, ich habe 2 Fermionen in einem Potential $V(x)$ . Beide Teilchen bewegen sich in einer Dimension: der $x$ Achse. Unter Vernachlässigung der Wechselwirkung zwischen den Teilchen hätte dann die räumliche Wellenfunktion des Systems die Form

ψ_{N_{1}} (X_{1}) ψ_{N_{2}} (X_{2})

$\psi_{n_{1}}(x_{1})\psi_{n_{2}}(x_{2})$

Nun, wenn ich Teilchen mit Spin 1/2 betrachte, die Notation $\alpha(1)$ zeigt an, dass das Teilchen 1 Spin-Up hat, und $\beta(2)$ bezeichnet das Teilchen 2 mit Spin-Down.

Jetzt möchte ich die vollständige Wellenfunktion schreiben, eine Funktion der Form

ψ_{N_{1} N_{2} S_{1} S_{2}} (X_{1}, X_{2}, S_{1}, S_{2}) = ψ_{N_{1}} (X_{1}) ψ_{N_{2}} (X_{2}) F (a, β)

$\psi_{n_{1}n_{2}s_{1}s_{2}}(x_{1},x_{2},s_{1},s_{2})=\psi_{n_{1}}(x_{1})\psi_{n_{2}}(x_{2})F(\alpha,\beta)$ Wo

F (α, β)

$F(\alpha,\beta)$ ist eine Funktion des Spins des Systems.

Dazu habe ich nämlich die nur physikalisch möglichen Funktionen $F(\alpha,\beta)$ Sind:

Symmetrisch: $\chi_{\alpha}:=\alpha(1)\alpha(2),\quad\chi_{\beta}:=\beta(1)\beta(2),\quad\chi_{+}:=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\alpha(1)\beta(2)+\alpha(2)\beta(1)\right]$

Antisymmetrisch: $\chi_{-}:=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\alpha(1)\beta(2)-\alpha(2)\beta(1)\right]$

Um die vollständige Wellenfunktion mit Spin aufzuschreiben, muss ich die Energieniveaus berücksichtigen. Zum Beispiel der Grundzustand: $\psi_{1}(x_{1})\psi_{1}(x_{2})$ .

Wenn $\psi_{1}(x_{1})\psi_{1}(x_{2})$ symmetrisch ist ( so wie ich es verstehe ), dann muss ich diese Funktion mit der antisymmetrischen Funktion multiplizieren $\chi_{-}$ (um eine antisymmetrische Wellenfunktion zu erhalten, für zwei Fermionen).

Wenn $\psi_{1}(x_{1})\psi_{1}(x_{2})$ antisymmetrisch ist (und ich verstehe, dass dies unmöglich ist, da der Grundzustand nicht entartet ist), dann hätte ich 3 Wellenfunktionen, die durch Multiplikation erhalten werden $\psi_{1}(x_{1})\psi_{1}(x_{2})$ mal $\chi_{\alpha}$ , $\chi_{\beta}$ Und $\chi_{+}$ .

Nun, sagen wir für die 1. aufgeregte Ebene $\psi_{2}(x_{1})\psi_{1}(x_{2})$ Meine Frage ist , was passiert, wenn diese Funktion weder symmetrisch noch antisymmetrisch ist?

Ich meine, ich könnte eine symmetrische bauen

F_{S} = \frac{1}{\sqrt{2}} [ψ_{2} (X_{1}) ψ_{1} (X_{2}) + ψ_{2} (X_{2}) ψ_{1} (X_{1})]

$f_S=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{2}(x_{1})\psi_{1}(x_{2})+\psi_{2}(x_{2})\psi_{1}(x_{1})\right]$

oder antisymmetrisch

F_{A} = \frac{1}{\sqrt{2}} [ψ_{2} (X_{1}) ψ_{1} (X_{2}) - ψ_{2} (X_{2}) ψ_{1} (X_{1})]

$f_A=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{2}(x_{1})\psi_{1}(x_{2})-\psi_{2}(x_{2})\psi_{1}(x_{1})\right]$ Wellenfunktion. Aber welche davon muss ich wählen? Oder muss ich die resultierenden vollständigen Wellenfunktionen mit beiden berechnen? Wenn ich dann die Zustände mit der 1. angeregten Energie zähle, hätte ich 4 statt 1 oder 3.

nervexxx

Ich bin mir nicht sicher, ob Sie die Begriffe "symmetrisch" und "antisymmetrisch" verstehen. die Funktion

Ψ (x_{1}, x_{2}) = ψ_{1} (x_{1}) ψ_{1} (x_{2})

$\Psi(x_1,x_2) = \psi_1(x_1) \psi_1(x_2)$ ist symmetrisch unter Austausch von

x_{1} \leftrightarrow x_{2}

$x_1 \leftrightarrow x_2$ Weil

Ψ (x_{1}, x_{2}) = Ψ (x_{2}, x_{1})

$\Psi(x_1,x_2) = \Psi(x_2,x_1)$ . Es gibt keine Klausel „wenn“.

ψ_{1} (x_{1}) ψ_{1} (x_{2})

$\psi_1(x_1) \psi_1(x_2)$ ist antisymmetrisch' ... weil es per Definition einfach nicht antisymmetrisch ist. Es hat nichts damit zu tun, dass es unmöglich ist, da der Grundzustand nicht entartet ist. Warum gibt es so viele Upvotes zu diesem qn?

Antworten (3)

Schreiben von Wellenfunktionen mit dem Spin eines Teilchensystems

Ich bin mir nicht sicher, ob Sie die Begriffe "symmetrisch" und "antisymmetrisch" verstehen. die Funktion $\Psi(x_1,x_2) = \psi_1(x_1) \psi_1(x_2)$ ist symmetrisch unter Austausch von $x_1 \leftrightarrow x_2$ Weil $\Psi(x_1,x_2) = \Psi(x_2,x_1)$ . Es gibt keine Klausel „wenn“. $\psi_1(x_1) \psi_1(x_2)$ ist antisymmetrisch' ... weil es per Definition einfach nicht antisymmetrisch ist. Es hat nichts damit zu tun, dass es unmöglich ist, da der Grundzustand nicht entartet ist. Warum gibt es so viele Upvotes zu diesem qn?

Benutzer24999 · Answer 1

Wenn $\psi_1(x_1)\psi_1(x_2)$ ist antisymmetrisch (und ich verstehe, dass dies unmöglich ist, da der Grundzustand nicht entartet ist)

Der Grundzustand ist entartet, da beide Teilchen gleich sind $n$ (Haupt-)Quantenzahl und damit die gleiche Energie. Im Allgemeinen z $N$ Teilchen können die symmetrische und die antisymmetrische Wellenfunktion konstruiert werden als

\begin{aligned} ψ_{_{S}} & \equiv \sqrt{\frac{N_{1}! \dots N_{k}!}{N!}} \sum_{P} \hat{P} ϕ_{N_{1}} (ζ_{1}) ϕ_{N_{2}} (ζ_{2}) \dots ϕ_{N_{N}} (ζ_{N}) \\ ψ_{_{A}} & \equiv \sqrt{\frac{N_{1}! \dots N_{k}!}{N!}} | \begin{matrix} ϕ_{N_{1}} (ζ_{1}) & \dots & ϕ_{N_{1}} (ζ_{N}) \\ ⋮ & ⋮ \\ ϕ_{N_{N}} (ζ_{1}) & \dots & ϕ_{N_{N}} (ζ_{N}) \end{matrix} | \end{aligned}

$\begin{align}\psi_{_S}&\equiv\sqrt{\frac{N_1!\cdots{N}_k!}{N!}}\sum_P\hat{P}\,\phi_{n_1}(\zeta_1)\phi_{n_2}(\zeta_2)\ldots\phi_{n_N}(\zeta_N)\\[0.1in]\psi_{_A}&\equiv\sqrt{\frac{N_1!\cdots{N}_k!}{N!}}\begin{vmatrix}\phi_{n_1}(\zeta_1)&\cdots&\phi_{n_1}(\zeta_N)\\\vdots&&\vdots\\\phi_{n_N}(\zeta_1)&\cdots&\phi_{n_N}(\zeta_N)\end{vmatrix}\end{align}$ bzw. wo

ζ_{i}

$\zeta_i$ sind die internen Freiheitsgrade und

N_{i}

$N_i$ ist die Entartung der

i

$i$ -ten Satz entarteter Teilchen (am häufigsten für den antisymmetrischen Teil

N_{1}! \dots N_{k}! = 1

$N_1!\cdots{N}_k!=1$ ). In Ihrem Fall (da Sie die Wellenfunktion immer als Produkt der räumlichen und Spin-Teile schreiben können),

ψ_{_{A}} = | \begin{matrix} ψ_{1} (X_{1}) & ψ_{1} (X_{2}) \\ ψ_{1} (X_{1}) & ψ_{1} (X_{2}) \end{matrix} | = 0

$\psi_{_A}=\begin{vmatrix}\psi_1(x_1)&\psi_1(x_2)\\\psi_1(x_1)&\psi_1(x_2)\end{vmatrix}=0$ weshalb der räumlich antisymmetrische Anteil für den Grundzustand unmöglich ist. Für Fermionen ist dies eine natürliche Folge des Pauli-Ausschlussprinzips, da Sie die Möglichkeit zulassen würden, dass sich zwei Teilchen im selben Zustand befinden, vorausgesetzt, der Spin-Teil wäre symmetrisch.

Nun, für das erste angeregte Niveau gibt es keine Einschränkung, sowohl den symmetrischen als auch den antisymmetrischen Teil zu berücksichtigen, tatsächlich müssen Sie beide berücksichtigen. Genauso wie wenn Sie die drei Möglichkeiten aus dem Triplett-Spin-Zustand berücksichtigen müssen

χ_{_{T}} = {\begin{cases} χ_{a} \\ χ_{β} \\ χ_{+} \end{cases}

$\chi_{_T}=\begin{cases}\chi_\alpha\\\chi_\beta\\\chi_+\end{cases}$ Sie können beide Lösungen in Betracht ziehen (insgesamt 4, wie Sie sagen),

ψ = {\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2}} [ψ_{1} (X_{1}) ψ_{2} (X_{2}) + ψ_{1} (X_{2}) ψ_{2} (X_{1})] χ_{-} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} [ψ_{1} (X_{1}) ψ_{2} (X_{2}) - ψ_{1} (X_{2}) ψ_{2} (X_{1})] χ_{_{T}} \end{cases}

$\psi=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)+\psi_1(x_2)\psi_2(x_1)\right]\chi_-\\\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)-\psi_1(x_2)\psi_2(x_1)\right]\chi_{_T}\end{cases}$ Die Sache ist, dass dies eine Reihe möglicher Lösungen ist, genau wie Sie für den Spin-Teil mit dem Triplett-Zustand herausgefunden haben, dass die Teilchen diesen oder jenen Zustand haben können, normalerweise ist Pauli die einzige Einschränkung, um die Sie sich kümmern müssen, wenn es um Fermionen geht Ausschlussprinzip. Sie können sie also alle berücksichtigen, um die Gesamtwellenfunktion zu konstruieren.

Nun, das Ding, das Trimok sagt,

Beachten Sie, dass Sie mathematisch gesehen eine total antisymmetrische Wellenfunktion haben können, ohne eine bestimmte Symmetrie im räumlichen Teil oder im Spin-Teil zu haben, zum Beispiel:
$ψ_{1} (X_{1}) ψ_{2} (X_{2}) a (S_{1}) β (S_{2}) - ψ_{2} (X_{1}) ψ_{1} (X_{2}) β (S_{1}) a (S_{2})$ $\psi_1(x_1)\psi_2(x_2) \alpha(s_1)\beta(s_2) - \psi_2(x_1)\psi_1(x_2) \beta(s_1)\alpha(s_2)$

könnte irreführend sein. Dies sieht man, wenn man den ersten angeregten Zustand aus der Slater-Determinante (dem allgemeinen Ausdruck für $\psi_{_A}$ ), sagen, $n_1=1$ , $n_2=2$ , $\alpha(1)$ , $\beta(2)$ , dh

S_{1} \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} | \begin{matrix} ψ_{1} (X_{1}) a (1) & ψ_{1} (X_{2}) a (2) \\ ψ_{2} (X_{1}) β (1) & ψ_{2} (X_{2}) β (2) \end{matrix} |

$\mathcal{S}_1\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{vmatrix}\psi_1(x_1)\alpha(1)&\psi_1(x_2)\alpha(2)\\\psi_2(x_1)\beta(1)&\psi_2(x_2)\beta(2)\end{vmatrix}$ Dies ist der von Trimok gegebene Ausdruck, aber die Sache ist wieder, dass Sie alle möglichen Lösungen für diesen Zustand berücksichtigen müssen, was bedeutet, dass für

n_{1} = 1

$n_1=1$ ,

n_{2} = 2

$n_2=2$ , du kannst haben

\begin{aligned} a (1), & a (2) \\ β (1), & β (2) \\ β (1), & a (2) \\ a (1), & β (2) \end{aligned}

$\begin{align}\alpha(1),&\,\alpha(2)\\\beta(1),&\,\beta(2)\\\beta(1),&\,\alpha(2)\\\alpha(1),&\,\beta(2)\end{align}$ du kannst dich austauschen

n_{1}, n_{2}

$n_1,\,n_2$ bitte auch (es gibt keine neuen Informationen). Zum ersten zeigt die Slater-Determinante die antisymmetrischen räumlichen Lösungszeiten an

χ_{α}

$\chi_\alpha$ , die zweite, die antisymmetrischen räumlichen Teilzeiten

χ_{β}

$\chi_\beta$ , aber du kannst den dritten nehmen,

S_{2} \equiv \frac{1}{2} | \begin{matrix} ψ_{1} (X_{1}) β (1) & ψ_{1} (X_{2}) β (2) \\ ψ_{2} (X_{1}) a (1) & ψ_{2} (X_{2}) a (2) \end{matrix} |

$\mathcal{S}_2\equiv\frac{1}{2}\begin{vmatrix}\psi_1(x_1)\beta(1)&\psi_1(x_2)\beta(2)\\\psi_2(x_1)\alpha(1)&\psi_2(x_2)\alpha(2)\end{vmatrix}$ und die vierte, um die antisymmetrischen Teilzeiten zu bilden

χ_{+}

$\chi_+$ als

S_{1} + S_{2}

$\mathcal{S}_1+\mathcal{S}_2$ und die symmetrischen Teilzeiten zu bauen

χ_{-}

$\chi_-$ als

S_{1} - S_{2}

$\mathcal{S}_1-\mathcal{S}_2$ . Hier muss wegen der Ununterscheidbarkeit von Partikeln beides berücksichtigt werden

S_{1}

$\mathcal{S}_1$ oder

S_{2}

$\mathcal{S}_2$ allein ist einfach nicht ausreichend . Wie ich zuerst gezeigt habe, ist all dies erledigt, wenn Sie nur die räumlichen und Spin-Teile der Wellenfunktion faktorisieren und jeden einzeln behandeln, wie Sie es getan haben.

Trimok hat eigentlich Recht. Die Wellenfunktion muss für die Raum-/Spin-Teile der Funktion nicht symmetrisch/antisymmetrisch sein oder umgekehrt. Es muss auch nicht faktorisiert werden. Eigentlich ist dies nur bei 2 Teilchen der Fall, wenn der Spinanteil ein Eigenzustand von sein soll ${\sf S}^2$ Und ${\sf S}_z$ Betreiber. Dies ist jedoch nicht unbedingt immer die beste oder einzigartige Option. Zum Beispiel in Molekülen ${\sf S}^2$ ist nicht konserviert.
Ja, ich habe nicht gesagt, dass er Unrecht hatte; Wie ich zeige, ergibt sich der von Trimok gegebene Ausdruck natürlich aus der Slater-Determinante für eine mögliche Konfiguration des ersten angeregten Zustands $\mathcal{S}_1$ , was nicht zu unterscheiden ist $\mathcal{S}_2$ . Das einzige, was antisymmetrisch sein muss, ist die Gesamtwellenfunktion, aber man muss alle möglichen Lösungen für einen gegebenen Zustand berücksichtigen, das scheint der Kern der Frage zu sein, und wie gesagt, überlegen $\mathcal{S}_1$ oder $\mathcal{S}_2$ allein ist nicht ausreichend .

Trimok · Answer 2

Die Wahl hängt von dem fermionischen physikalischen Problem ab.

Nehmen wir zum Beispiel Ferromagnetismus.

Wir wollen die elektrostatische Energie zwischen zwei benachbarten Elektronen minimieren, und dazu müssen wir ihren mittleren Abstand maximieren.

Man kann zeigen, dass aufgrund des Pauli-Ausschlussprinzips der mittlere Abstand größer ist, wenn der räumliche Teil der Wellenfunktion antisymmetrisch ist (siehe zum Beispiel https://physics.stackexchange.com/a/69267/6316 ).

Aber die gesamte Wellenfunktion muss antisymmetrisch sein, wenn also der räumliche Teil der Wellenfunktion antisymmetrisch ist, ist der Spin-Teil der Wellenfunktion symmetrisch.

Praktisch sind bei diesem Problem die Drehungen alle oben oder alle unten. Und dies ist eine symmetrische Konfiguration für den Spin-Teil der Wellenfunktion. Das ist also stimmig.

Aber für ein anderes physikalisches Problem, mit Fermionen, müssen Sie möglicherweise eine andere Art von Energie minimieren, die möglicherweise einen symmetrischen räumlichen Teil der Wellenfunktion erfordert. Dann müssen Sie für die Wellenfunktion einen antisymmetrischen Spinanteil wählen.

Beachten Sie, dass Sie mathematisch gesehen eine total antisymmetrische Wellenfunktion haben können, ohne eine bestimmte Symmetrie im räumlichen Teil oder im Spin-Teil zu haben, zum Beispiel:

ψ_{1} (X_{1}) ψ_{2} (X_{2}) a (S_{1}) β (S_{2}) - ψ_{2} (X_{1}) ψ_{1} (X_{2}) β (S_{1}) a (S_{2})

$\psi_1(x_1)\psi_2(x_2) \alpha(s_1)\beta(s_2) - \psi_2(x_1)\psi_1(x_2) \beta(s_1)\alpha(s_2)$ .

Eine Trennung in Raum- und Schleuderteil ist möglich, wenn $[H, \textbf{S}^2]=0$ , und in der simultanen Eigenbasis haben Raum- und Spinteil eine bestimmte Symmetrie. Zum Beispiel zwei Elektronen in der 1-D-Box. @ Trimok

M.Vall · Answer 3

M.Vall

Wenn Ihre Teilchen Fermionen sind, sollten Sie eine antisymmetrische Wellenfunktion verwenden, um sie zu beschreiben, wenn sie Bosonen sind, muss die Wellenfunktion symmetrisch sein.

M.Vall

Wenn Ihre Teilchen Fermionen sind, sollten Sie eine antisymmetrische Wellenfunktion verwenden, um sie zu beschreiben, wenn sie Bosonen sind, muss die Wellenfunktion symmetrisch sein.

Ana SH

Ich verstehe das. Meine Frage ist, was passiert, wenn der räumliche Teil der Wellenfunktion weder symmetrisch noch antisymmetrisch ist? Ich kann eine symmetrische oder eine antisymmetrische Wellenfunktion bauen, aber welche der beiden soll ich verwenden?

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Ana SH

nervexxx

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