Symmetrisierung eines (fermionischen) Zwei-Teilchen-Systems ohne vs. mit Spin in Wellenfunktion

Ich verwende das Lehrbuch Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.) von DJ Griffiths für meinen einführenden Universitätskurs zu diesem Thema. In Kapitel 5 (ab Abschnitt 5.1.1) geht er auf das Verhalten identischer Teilchen ein.

Zunächst führt er eine elementare räumliche Wellenfunktion für ein System aus zwei nicht wechselwirkenden Teilchen ein, von denen sich eines im Zustand befindet ψ A und der andere ist im Zustand ψ B :

ψ ( R 1 , R 2 ) = ψ A ( R 1 ) ψ B ( R 2 )

Kurz darauf führt er ein, wie identische Teilchen nicht auseinandergehalten werden können, und weil „eines von ihnen“ und „das andere“ physikalisch mehrdeutig sind, schreiben wir die räumliche Wellenfunktion eines solchen Zwei-Teilchen-Systems als Überlagerung:

ψ ± ( R 1 , R 2 ) = A ( ψ ( R 1 , R 2 ) ± ψ ( R 2 , R 1 ) )

Das setzt er voraus ψ + ist die maßgebende Wellenfunktion für Bosonen, und ψ − für Fermionen − die jeweils eine symmetrische räumliche Wellenfunktion ergeben ψ + ( R 1 , R 2 ) = ψ + ( R 2 , R 1 ) , und eine antisymmetrische räumliche Wellenfunktion ψ − ( R 1 , R 2 ) = − ψ − ( R 2 , R 1 ) . Dadurch ergibt es Sinn, wann ψ A = ψ B , haben fermionische Systeme keine sinnvolle räumliche Wellenfunktion (Paulis Ausschlussprinzip).

Nun, wie Griffiths es gerne tut, um Erklärungen zu vereinfachen, lässt er den Spin aus Wellenfunktionen heraus. Einen Absatz später zeigt er, wie erwartet wird, dass Fermionen weiter voneinander entfernt sind als unterscheidbare Teilchen, und das Gegenteil für Bosonen ("Austauschwechselwirkung"): Dies verwendet nur Integrale über den Raum, daher gehe ich davon aus, dass es in Ordnung ist, das Ergebnis zu verallgemeinern Wellenfunktionen einschließlich Spin. Wenn ich seinen Text später in diesem Kapitel richtig interpretiert habe, können wir auf ein solches Verhalten lediglich basierend auf räumlichen Wellenfunktionen schließen, also werde ich Teilchen nennen, die sich wie Fermionen abstoßen und denen äquivalent eine kombinierte räumliche Wellenfunktion gegeben werden kann ψ − , "räumlich fermionisch" .

Hier ist das Problem. Er fügt Spin als Spinorfaktor in die Diskussion von Zwei-Elektronen-Systemen ein χ ( 1 , 2 ) , und behauptet:

Es ist das ganze [ ψ ( R 1 , R 2 ) χ ( 1 , 2 ) ], nicht nur der räumliche Teil, der in Bezug auf den Austausch antisymmetrisch sein muss. (...) Das Pauli-Prinzip erlaubt also zwei Elektronen in einem bestimmten Ortszustand, solange ihre Spins in der Singulett-Konfiguration sind.

Diese Aussage verwirrt mich.

  • Zum einen: Bedeutet „nicht nur“, dass Fermionen noch räumlich fermionisch sein müssen, wie behauptet wurde, als der Spin noch nicht in die Diskussion einbezogen wurde, oder nur das ψ ( R 1 , R 2 ) χ ( 1 , 2 ) muss antisymmetrisch sein?

  • Zweitens: ist " ψ ( R 1 , R 2 ) „Eine elementare Funktion ψ ( R 1 , R 2 ) = ψ A ( R 1 ) ψ B ( R 2 ) , oder ist es eine künstlich (anti)symmetrisierte Wellenfunktion wie ψ + ( R 1 , R 2 ) Und ψ − ( R 1 , R 2 ) ? Wenn es ersteres ist, würde das bedeuten, dass der räumliche Faktor ψ ( R 1 , R 2 ) in der kombinierten Wellenfunktion für unser Zwei-Fermion-System ψ ( R 1 , R 2 ) χ ( 1 , 2 ) kann den künstlich (anti-)symmetrisierten keineswegs gleichgestellt werden ψ ± ( R 1 , R 2 ) . Also, wenn wir das nicht können, und wenn wir annehmen, dass die Antwort auf Frage 1 ist, dass das System auch räumlich fermionisch sein muss, wie werden wir (oder die Natur) das dann jemals sicherstellen ψ richtig (anti-)symmetrisch ist?

  • Drittens: seit ψ ( R 1 , R 2 ) χ ( 1 , 2 ) muss nur antisymmetrisch sein, warum können wir nicht die Triplettkonfiguration der beiden Elektronen nehmen (was eine symmetrische ergibt χ ( 1 , 2 ) ) und haben eine antisymmetrische räumliche Wellenfunktion ψ ( R 1 , R 2 ) ? ( Dieser Thread versucht zu antworten, aber ich glaube nicht, dass er einen angemessenen Abschluss bietet.)

Hinweis für zukünftige Leser zur dritten Frage:

Nach einigen Diskussionen in den Kommentaren der akzeptierten Antwort und wiederholtem erneutem Studium des obigen Zitats im Kontext des Kapitels kam ich zu der richtigen Interpretation dessen, was Griffiths beim Schreiben „das Pauli-Prinzip erlaubt zwei Elektronen in a gegebenen Positionszustand , solange ihre Spins in der Singulett-Konfiguration sind" .

Seine Forderung lässt sich wie folgt formulieren:

Wenn Ψ = ψ ( R 1 , R 2 ) χ ( 1 , 2 ) , dann gibt es keine mathematische Funktion ψ ( R 1 , R 2 ) das ist antisymmetrisch bzgl. Austausch von R 1 Und R 2 und verwendet nur einen Zustand ψ A anstelle einer ψ A und ein ψ B (wenn du möchtest, ψ A = ψ B ).

In der akzeptierten Antwort von ZeroTheHero finden Sie die Erklärung, warum dies wahr ist − Das Wesentliche ist, dass die Antisymmetrisierung durch Determinanten in der Permutationsgruppentheorie erfolgt und dass diese zu 0 werden, wenn überhaupt ψ A = ψ B .

Die Hauptkonsequenz ist letztlich, wie eingangs gesagt: Zwei identische Fermionen, zB Elektronen, können nicht dasselbe besetzen ψ A = ψ B es sei denn und nur, es sei denn , sie befinden sich in einer antisymmetrischen, dh Singulett-, Spinkonfiguration, genau weil es keine trennbare antisymmetrische räumliche Wellenfunktion gibt, die eine symmetrische, dh Triplett-, Spinkonfiguration ermöglichen würde.

Nachdem ich das Kapitel noch einmal mit dieser Behauptung im Hinterkopf durchgegangen war, wurde außerdem deutlich, dass mein Konzept der „räumlichen Fermionizität“ tatsächlich eine separate Eigenschaft ist, die zwei Teilchen haben können. In der akzeptierten Antwort wird festgestellt, dass zwei Fermionen (z. B. Elektronen) nicht räumlich fermionisch sein müssen, damit sie Fermionen sind. Das System kann jedoch immer noch diese Eigenschaft haben oder sogar das genaue Gegenteil: In Abschnitt 5.2.1 zu angeregten Heliumzuständen wird diskutiert, dass die Elektronen im Parahelium spezifisch "räumlich bosonisch" sind (ihr erwarteter Abstand ist kleiner als für unterscheidbar Teilchen), wodurch sie im Durchschnitt in einem engeren Bereich interagieren, was in der höheren Energie für solche Zustände messbar ist.

Antworten (3)

Die Gesamtwellenfunktion muss antisymmetrisch sein. So können Sie haben:

  1. symmetrisch im Raum, antisymmetrisch im Spin; Zum Beispiel

    ∼ ( ψ A ( X 1 ) ψ B ( X 2 ) + ψ A ( X 2 ) ψ B ( X 1 ) ) ( | + ⟩ 1 | − ⟩ 2 − | − ⟩ 1 | + ⟩ 2 )

  2. Antisymmetrisch im Raum, aber symmetrisch im Spin; Zum Beispiel

    (1) ∼ ( ψ A ( X 1 ) ψ B ( X 2 ) − ψ A ( X 2 ) ψ B ( X 1 ) ) ( | + ⟩ 1 | − ⟩ 2 + | − ⟩ 1 | + ⟩ 2 )

Es gibt nur Beispiele. Zum Beispiel

ψ A ( X 1 ) ψ A ( X 2 ) ( | + ⟩ 1 | − ⟩ 2 − | − ⟩ 1 | + ⟩ 2 )
oder
( ψ A ( X 1 ) ψ B ( X 2 ) − ψ A ( X 2 ) ψ B ( X 1 ) ) | + ⟩ 1 | + ⟩ 2
sind ebenfalls total antisymmetrisch. Beachten Sie, dass in diesem letzten Beispiel der Spin-Zustand | + ⟩ 1 | + ⟩ 2 ist ein Zustand des Tripletts und eindeutig symmetrisch. Der Spinteil von (1) ist eine weitere Komponente des Tripletts und des Spinzustands | − ⟩ 1 | − ⟩ 2 ist die letzte Komponente. Somit sind alle Mitglieder des Triplettzustands unter Permutation symmetrisch, was in diesem Fall impliziert, dass der räumliche Teil antisymmetrisch sein muss.

In Verbindung mit einem Kommentar:

Um eine vollständig antisymmetrische Wellenfunktion für zu erhalten N Teilchen braucht man mindestens N unterschiedliche Funktionen. Der Grund dafür liegt in der Theorie der Permutationsgruppe; Auf der praktischen Ebene werden diese antisymmetrischen Wellenfunktionen als Determinanten konstruiert, da diese Funktion im Sprachgebrauch der Gruppentheorie die vollständig antisymmetrische Darstellung der Permutationsgruppe trägt. Im 3 -Partikelfall hätten wir

ψ ( X 1 , X 2 , X 3 ) = | F A ( X 1 ) F A ( X 2 ) F A ( X 3 ) F B ( X 1 ) F B ( X 2 ) F B ( X 3 ) F C ( X 1 ) F C ( X 2 ) F C ( X 3 ) | .
Durch elementare Eigenschaften der Determinanten das Vertauschen zweier Spalten - das läuft auf eine Permutation hinaus X ich ↔ X J führt ein Minuszeichen ein und garantiert so Antisymmetrie. Wenn zwei Funktionen gleich sind - sagen wir F B = F A - dann sind zwei Zeilen identisch und die Determinante ist automatisch 0 .

Um eine vollständig symmetrische Funktion zu erhalten, muss man die Dauer verwenden , die im Grunde als Determinante berechnet wird, aber überall mit positiven Vorzeichen. Man kann solche bleibenden Karten mit einer beliebigen Anzahl von Funktionen konstruieren.

Es gibt auch Funktionen gemischter Symmetrie (weitgehend verwandt mit Immananten ), die nützlich sind, wenn Spin und räumliche Freiheitsgrade kombiniert werden, damit das Ergebnis eine eindeutige Symmetrie aufweist. Diese muss man dann mit den Werkzeugen aus der symmetrischen Gruppe konstruieren, wie z. B. den Young-Symmetrisierern .

Wie man diese teilsymmetrischen Funktionen kombiniert, wird in Lehrbüchern mit Kapiteln zur symmetrischen Gruppe erklärt.

Beachten Sie, dass teilweise symmetrische Zustände nur für auftreten 3 oder mehr Teilchen, im Grunde wegen der Permutationsgruppe S 2 hat nur 1 -dimensionale irreduzible Darstellungen, wohingegen S N für N ≥ 3 hat irreps der Dimension größer als 1 .

Beachten Sie schließlich, dass die auf diese Weise konstruierten teilsymmetrischen Funktionen nicht die gleichen sind wie die Laughlin-Wellenfunktionen, die in anyonischen Theorien verwendet werden.

Für zukünftige Referenzen fasse ich zusammen: 1. Das System muss nicht unbedingt "räumlich fermionisch" sein (siehe erstes Beispiel), aber es muss vollständig fermionisch sein; 2. nach den Beispielen, ψ kann beliebig sein (sowohl eine Überlagerung als auch ein einzelnes Produkt sind zulässig), solange die Summe antisymmetrisiert ist; 3. Ja, der Triplett-Zustand ist möglich. Wenn Sie mir erlauben, nachzufassen: 1. Halten die Austauschkräfte (im Buch nur ohne Spin nachgewiesen) auch dann noch, wenn das System nicht "räumlich fermionisch" ist? 2. Warum scheint Griffiths den Triplett-Zustand abzulehnen (sicher meint er etwas )?
@Mew Ich habe dieses Buch nicht, also kann ich es nicht sagen.
Okay, um es anders zu formulieren, ohne auf das Buch zu verweisen (es ist sowieso nicht aufschlussreich): 1. Wird angesichts dessen, was wir festgestellt haben, immer noch erwartet, dass Elektronen weiter voneinander entfernt sind als unterscheidbare Teilchen? Das kann ich nur belegen ψ − wenn ich so tue, als gäbe es in Wellenfunktionen keinen Spin. 2. Gibt es etwas "Gespenstisches" mit der Triplett-Konfiguration, das jemanden vorsichtig machen würde, zu erwähnen, dass Elektronen in einem solchen Zustand sein könnten?
@Mew, das würde vom Staat und dem Hamiltonian abhängen. Plus, in welchem ​​​​Sinne sagen Sie "weiter auseinander"? Durchschnittlicher Sinn? Wenn ja, Durchschnitt von was?
Ja, "erwartet" wie im 1-dimensionalen ⟨ ( X 1 − X 2 ) 2 ⟩ , wofür ⟨ ( X 1 − X 2 ) 2 ⟩ F e R M ich Ö N S = ⟨ ( X 1 − X 2 ) 2 ⟩ D ich S T ich N G u ich S H − 2 | ∫ − ∞ ∞ X ψ A ( X ) ∗ ψ B ( X ) D X | 2 (Der Effekt wird "Austauschwechselwirkung" genannt).
Nach ein paar Wochen denke ich, dass ich in der Lage war, die Behauptung von Griffiths richtig zu interpretieren, was uns die Möglichkeit gibt, sie zu widerlegen/zu bestätigen. Wenn beides der Fall ist, kann ich Ihre Antwort akzeptieren. Er behauptet, umformuliert: „Wenn Ψ = ψ ( R 1 , R 2 ) χ ( 1 , 2 ) , dann gibt es keine mathematische Funktion ψ ( R 1 , R 2 ) das ist antisymmetrisch bzgl. Austausch und Verwendung Ö N l j ein Staat ψ A anstelle einer ψ A und ein ψ B (wenn du möchtest, ψ A = ψ B )." Seine Behauptung ist wahr für ψ ± oben, aber ich bin nicht vom allgemeinen Fall überzeugt. Gibt es ein Gegenbeispiel?
@Mew Das ist richtig. Es ist nicht möglich, eine zu konstruieren N Partikel-antisymmetrische räumliche (oder Spin-) Wellenfunktion mit weniger als N unterschiedliche Funktionen ψ A , ψ B … ψ N .
Nicht einmal Formen mit komplexeren mathematischen Operationen (z. B. das Nehmen von a Sünde ⁡ ( ) , so weit ich weiss)? Gibt es da einen Beweis? Ich werde das, was ich im Kommentar hier oben geschrieben habe, als Bearbeitung am Ende meines ursprünglichen Beitrags hinzufügen - weil es für meine Frage und vielleicht den Kern davon äußerst relevant ist -, wenn Sie also näher auf das Problem eingehen könnten , das wäre großartig, und ich werde den zukünftigen Leser auf Ihre Antwort verweisen!
@Mew hat zusätzliche Informationen hinzugefügt, um die Konstruktion von vollständig symmetrischen, antisymmetrischen oder teilsymmetrischen Wellenfunktionen zu erweitern.
Wie versprochen, sind meine Ergänzungen auch fertig. Danke für die tollen Nachmeldungen!

Wenn Sie diesen Bereich der Physik diskutieren, denken Sie daran, dass es die Etiketten auf den identischen Teilchen sind , die während einer Austauschoperation ausgetauscht werden. Halten Sie dies zum Beispiel von der Vorstellung des Ortes eines Teilchens ab.

Bei Fermionen ist es der Gesamtzustand, der sowohl räumliche als auch Spin-Teile enthält, der das Vorzeichen ändern muss, wenn ein beliebiges Labelpaar vertauscht wird.

Der Gesamtzustand kann manchmal als Produkt von (räumlicher Teil) und (spin-Teil) geschrieben werden, aber dies geschieht nicht immer. Befassen wir uns jedoch zuerst mit diesem Fall, da er der einfachste ist. Angenommen, wir haben einen Fall mit räumlichen Zuständen A Und B für ein Elektronenpaar. Wir vergeben die Labels 1 Und 2 zu den Elektronen. Dann kann man einige oder alle haben

1 2 ( A 1 B 2 + A 2 B 1 ) ( ↑ 1 ↓ 2 − ↑ 2 ↓ 1 ) ,
1 2 ( A 1 B 2 − A 2 B 1 ) ( ↑ 1 ↓ 2 + ↑ 2 ↓ 1 ) ,
1 2 ( A 1 B 2 − A 2 B 1 ) ↑ 1 ↑ 2 ,
1 2 ( A 1 B 2 − A 2 B 1 ) ↓ 1 ↓ 2 ,
und auch
1 2 A 1 A 2 ( ↑ 1 ↓ 2 − ↑ 2 ↓ 1 ) ,
1 2 B 1 B 2 ( ↑ 1 ↓ 2 − ↑ 2 ↓ 1 ) .

Alle oben genannten Fälle sind Fälle, in denen die räumlichen und Spin-Teile separat geschrieben werden können. Es gibt aber auch noch weitere Möglichkeiten, wie zum Beispiel:

1 2 ( A 1 B 2 ↑ 1 ↓ 2 − A 2 B 1 ↑ 2 ↓ 1 ) .
Einführende Behandlungen erwähnen diesen Fall oft nicht. Ich habe gerade ein Beispiel gegeben; es gibt viele andere. Um Ihren eigenen zu schreiben, schreiben Sie einfach einen beliebigen Zustand, ohne auf die Austauschsymmetrie zu achten, setzen Sie dann ein Minuszeichen und schreiben Sie den Zustand erneut, aber mit vertauschten Bezeichnungen. Überprüfen Sie abschließend, ob Sie dann tatsächlich Null haben, weil sich alles ausgelöscht hat, und wenn es nicht Null ist, überprüfen Sie, wie es normalisiert werden muss.

Oben habe ich eine vollkommen logische Notation gewählt, aber wenn Sie es vorziehen, so etwas zu schreiben ψ A ( X 1 ) Und ψ B ( X 1 ) anstatt A 1 Und B 1 dann ist das auch völlig ok. Schließlich ist die Multiplikation (genau genommen Tensorprodukt) von Wellenfunktionen oder Zustandsvektoren kommutativ, also hat man zum Beispiel

1 2 ( A 1 B 2 ↑ 1 ↓ 2 − A 2 B 1 ↑ 2 ↓ 1 ) ≡ 1 2 ( A 1 B 2 ↑ 1 ↓ 2 − B 1 A 2 ↓ 1 ↑ 2 )
Die erste Version macht darauf aufmerksam, dass es sich um die Etiketten handelt 1 Und 2 die getauscht werden, nicht die Zustände A Und B . Aber die zweite Version ist normalerweise einfacher für einen Menschen zu lesen. Beachten Sie, dass es in dieser Art von Zustand (genannt verschränkt, im Gegensatz zu den früheren Beispielen, die Produktzustände sind) möglich ist, zu sagen „das Teilchen im Zustand“. A hat seinen Spin up', ohne sagen zu müssen, ob man sich auf Teilchen bezieht 1 oder 2 .

Was ist der Vorteil, untrennbare Wellenfunktionen oder trennbare Wellenfunktionen zu schreiben? In den meisten Materialien, die ich gelesen habe, nehmen sie immer lineare Kombinationen untrennbarer Wellenfunktionen, um trennbare Wellenfunktionen wie die oben genannten zu bilden. Gibt es einen bestimmten Grund dafür?
Ist die Produktzustands-Wellenfunktion fundamentaler oder "allgemeiner" als die Wellenfunktionen der Single-Slater-Determinante, die sich oft als untrennbar herausstellen? Sie haben geschrieben, dass diese Einzelschiefer-Determinanten-Wellenfunktionen verschränkte Zustände genannt werden, da die Position und die Spins miteinander verschränkt wurden. Wenn dies vollkommen konsistent ist, warum wandeln dann die meisten Materialien diese zwangsweise in Produktzustände um, indem sie eine Linearkombination verwenden?
Wenn wir von Verschränkung sprechen, sprechen wir von zwei Teilchen, deren Gesamtwellenfunktion nicht in die Wellenfunktionen für jedes Teilchen zerlegt werden kann. Aber hier ist es die räumliche Wellenfunktion, die untrennbar von der Spinwellenfunktion ist. Wie kann dies als verschränkter Zustand bezeichnet werden? Hier ist der räumliche Teil untrennbar mit dem Spin-Teil verbunden. Normalerweise wird uns beigebracht, dass es die beiden Teilchen sind, deren Wellenfunktionen untrennbar sein müssen. Können Sie das näher erläutern?
@NakshatraGangopadhay Die Produktzustände geben einen vollständigen Satz von Zuständen an. Die symmetrischen Zustände (dh symmetrisch und antisymmetrisch) ergeben einen vollständigen Satz von Zuständen. Man erweitert einen gegebenen Zustand auf eine geeignete Basis. Wenn Sie beispielsweise bereits wissen, dass Sie nicht unterscheidbare Fermionen haben, wissen Sie, dass Sie die symmetrischen Zustände nicht benötigen, sodass Sie auch eine Basis aus antisymmetrischen verwenden können. Aber dann kann es für Integrale nützlich sein, sie als Summen von Produktzuständen zu schreiben. ...
@NakshatraGangopadhay In Bezug auf "Verstrickung" ja, ich stimme zu, dass es verschiedene Definitionen für unterschiedliche Grade der Strenge gibt. Beispielsweise könnte man die Überlegung einbringen, ob die betrachteten Freiheitsgrade grundsätzlich raumartig getrennt werden könnten. Ein Teilchen und sein Spin können nicht raumartig getrennt werden, und in diesem Sinne könnte der Begriff „verschränkt“ in Frage gestellt werden. Aber "verschränkt" wird auch häufig als Synonym für "nicht als Produkt ausdrückbar" verwendet, und in diesem Sinne kann es zwischen Ort und Spin eines Teilchens Verschränkung geben.
Zusammenfassend können wir also sagen, dass sowohl der „verschränkte“ Zustand als auch der Produktzustand als Basis-Kets betrachtet werden können, die zum Schreiben eines bestimmten Zustands verwendet werden können. In manchen Situationen ist es sinnvoller, sie in der verschränkten Basis zu schreiben. In manchen Beispielen ist die Produktbasis sinnvoller, stimmt das? Zum Beispiel beim Versuch, den Gesamtspin zu finden S , müssen wir ihn als Produktraum schreiben, da dieser ein Eigenket von von ist S 2 , S z Operator. In anderen Fällen könnte die Slater-Determinante (untrennbare) Zustandsbasis nützlich sein. Darin richtig?

Nur einer ψ ( R 1 , R 2 ) χ ( 1 , 2 ) müssen antisymmetrisch sein.

Zweitens: Weil ψ ( R 1 , R 2 ) χ ( 1 , 2 ) müssen antisymmetrisch sein, wenn χ ist symmetrisch ( χ + ), ψ ( R 1 , R 2 ) ist die antisymmetrisierte Wellenfunktion ψ ( R 1 , R 2 ) , und wenn C H ich ist antisymmetrisch ( χ − ), ist es die symmetrisierte Wellenfunktion ψ + ( R 1 , R 2 ) . Eine allgemeine Wellenfunktion ist eine lineare Kombination beider Arten von Dingen

Drittens: Absolut ja.

Nicht verwandt, aber es gibt einen schönen Satz zur relativistischen Quantenmechanik, nämlich den Spin-Statistik-Satz https://en.wikipedia.org/wiki/Spin%E2%80%93statistics_theorem

Symmetrisierung eines (fermionischen) Zwei-Teilchen-Systems ohne vs. mit Spin in Wellenfunktion
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