Bose-Verbesserungsfaktor

Ich fange ziemlich weit weg an, komme aber irgendwann auf den Punkt. Natürlich ist es möglich, kinetische Gleichungen rigoros abzuleiten oder eine statistische Feldtheorie in Betracht zu ziehen (wie in einigen Antworten auf diese Frage vorgeschlagen ), aber ich möchte einen einfacheren Ansatz wählen. Ich werde (effektiv) nicht wechselwirkende Teilchen diskutieren. Meine Antwort ist teilweise von dem Zeug inspiriert, das ich dort gesehen habe .

Im klassischen Fall die Wahrscheinlichkeit zu finden$n$Teilchen in einem Zustand hängt nicht von der Anzahl der Teilchen ab$n$in diesem Zustand. Die Wahrscheinlichkeit ist also einfach ein Produkt von (unabhängig!)$n$Einzelteilchen-Übergangswahrscheinlichkeiten$P_1$, so dass

$$P_n^\text{Classic}=(P_1)^n.$$

Offensichtlich ist dies bei Fermionen nicht der Fall, denn wenn ein einzelnes Fermion bereits einen Zustand einnimmt, ist ein Übergang in diesen Zustand verboten. Auf raffinierte Weise lässt sich diese Tatsache auch aus einer Antisymmetrisierungsforderung für zwei Fermionen ablesen. Wenn es zwei Fermionen gibt, können sie auf zwei Zustände zugreifen$\alpha$Und$\beta$, die Wellenfunktion ist

$$\psi_A=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\psi_\alpha(1)\psi_\beta(2)-\psi_\alpha(2)\psi_\beta(1)\Big).$$ Wenn wir jedoch beide in einen einzigen Zustand versetzen wollen, müssen wir setzen $\alpha = \beta$in der vorhergehenden Gleichung, und die Wellenfunktion wird Null. Zusammenfassend können zwei Fermionen nicht denselben Zustand einnehmen. Es stellt sich heraus, dass diese Tatsache in eine kinetische Gleichung gebracht werden kann, indem man das sagt $$P_n^\text{Fermi} \sim (1-n),$$ was für Integer trivial aussieht $n$, aber stellt sich auch als richtig für die Situationen heraus, in denen $n$ist die durchschnittliche Beschäftigung (nicht ganzzahlig zwischen 0 und 1).

Betrachten Sie schließlich zwei Bosonen. Sie sind auch nicht zu unterscheiden (genau wie Fermionen), aber ihr Austausch ergibt ein Plus anstelle eines Minus, sodass die Wellenfunktion symmetrisch ist:

$$\psi_S=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\psi_\alpha(1)\psi_\beta(2)+\psi_\alpha(2)\psi_\beta(1)\Big).$$ Wir setzen das gleiche Spiel fort und versetzen beide in den gleichen Zustand, indem wir sie einstellen $\alpha = \beta$. Statt Null haben wir $$\psi_S={\sqrt{2}}\psi_\alpha(1)\psi_\alpha(2).$$ Wir wollen nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung wissen, beide Bosonen in diesem einen Zustand zu finden. Damit berechnen wir den absoluten Wert zum Quadrat dieser Vielteilchen-Wellenfunktion: $$|\psi_S|^2=2|\psi_\alpha(1)|^2|\psi_\alpha(2)|^2.$$ Hätten wir mit einer (quasiklassischen) Situation unterscheidbarer Teilchen begonnen, wäre die Gesamtwellenfunktion gewesen $\psi_\alpha(1)\psi_\beta(2)$oder gleichwertig $\psi_\alpha(2)\psi_\beta(1)$. In diesem Fall wäre nach der Identifizierung der beiden Zustände die Wahrscheinlichkeitsverteilung lediglich gewesen $|\psi_\alpha(1)|^2|\psi_\alpha(2)|^2$, also gibt es eine zweifache Verstärkung. Beim Herumspielen mit der Symmetrierung von mehr Partikeln stellt sich heraus, dass der Faktor (der ist $2$hier) verallgemeinert zu $n!$. Das bedeutet, dass $$P_{n+1}^\text{Bose} = (n+1)! P^\text{Classic}_{n+1} = (1+n) n! P_1 P^\text{Classic}_{n} = (1+n) P_1 P_n^\text{Bose}.$$ Das $1+n$ist der Bose Enhancement Factor, nach dem wir gesucht haben.

Eine einfache Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, die Tatsache zu berücksichtigen, dass die Wahrscheinlichkeit für den Übergang von einem bestimmten Anfangszustand in einen bestimmten Endzustand dieselbe ist wie für den umgekehrten Prozess, bei dem man den Übergang vom Endzustand in den Anfangszustand betrachtet. Dies liegt daran, dass das Quadrat des Moduls des Matrixelements für beide Fälle gleich ist.

Das bedeutet, dass wir anstatt den Übergang in einen Zustand zu betrachten, in dem bereits n Bosonen vorhanden sind und eines hinzugefügt wird, genauso gut die Übergangsrate vom Endzustand mit n+1 Bosonen in den Anfangszustand mit einem dieser Bosonen betrachten können Bosonen gehen woanders hin. Offensichtlich muss dies proportional zur Anzahl der Bosonen im Endzustand sein, also ist die Rate proportional zu n+1.

Beachten Sie, dass Sie in einer klassischen Umgebung auch zu diesem Ergebnis kommen können, aber "klassisch" bezieht sich dann auf die klassische Behandlung des Feldes der Bosonen (nehmen Sie z. B. das elektromagnetische Feld, in diesem Fall können Sie die Formel für stimulierte Emission ableiten, bei einer vollständigen quantenmechanischen Behandlung erhalten Sie das klassische Ergebnis, indem Sie bestimmte Kommutatoren ignorieren, was dann einen Faktor von n anstelle von n + 1 ergibt).

Wenn stattdessen die klassische Grenze genommen wird, bei der das Volumen des Systems effektiv ins Unendliche geschickt wird, so dass die Zustandsdichte auf Null geht, dann gehen auch die Besetzungszahlen auf Null und dann wird n + 1 zu 1.