Mathematisch stimmen die Fermi-Dirac (FD)-Verteilung und die Bose-Einstein (BE)-Verteilung im Grenzfall mit der Maxwell-Boltzmann (MB)-Verteilung überein . Daher muss in dieser Grenze die „Quantennatur“ der Teilchen, dh die Ununterscheidbarkeit, verloren gehen. Was passiert physikalisch innerhalb des Systems an dieser Grenze und außerhalb ?
Ich kann ungefähr verstehen, dass das Zählen von Mikrozuständen klassisch wird, wenn die Ununterscheidbarkeit verloren geht. Der Vergleich der Teilchentrennung und der thermischen De-Broglie-Wellenlänge zeigt, dass die quantenmechanische Natur eines Quantengases bei hoher Temperatur verloren geht. Dies steht jedoch offenbar im Widerspruch zur Begrenzung an dem ein Quantengas klassisch wird, d.h. die BE- und FD-Verteilungen gehen in die MB-Verteilung über. Diese Grenze besagt, dass die Temperatur niedrig sein muss, damit sich ein Quantengas klassisch verhält! Aber das ist das Gegenteil von dem, was normalerweise der Fall ist – ein Gas verhält sich bei niedrigen Temperaturen quantenmechanisch.
Lassen Sie uns zunächst klarstellen, was die Grenze ist bedeutet. Hier ist die Einzelteilchenenergie . Mit anderen Worten, dies betrachtet kein Gas, bei dem "die Energie des Gases viel größer als seine Temperatur ist" (was würde das überhaupt bedeuten?), Wir nehmen ein Quantengas bei einer beliebigen Temperatur und betrachten diese Teilchen mit einem Energie viel größer als , also jene Teilchen mit einer viel größeren Energie als der Durchschnitt . Dies ist eine ganz andere Frage als "Was passiert mit Quantengasen bei hohen Temperaturen?", wo Sie wieder die Maxwell-Boltzmann-Verteilung wiederherstellen.
Als nächstes müssen Sie sich ansehen, was der Unterschied zwischen Bose-, Fermi- und klassischen Gasen ist. Eine handgewellte Antwort ist, dass sie sich bei der Antwort auf die Frage "Was passiert, wenn 2 Teilchen versuchen, denselben Zustand einzunehmen?" nicht einig sind. Dies liegt im Wesentlichen daran, dass Sie diese Zustände unterscheiden können, wenn 2 Partikel unterschiedliche Zustände einnehmen, sodass die Ununterscheidbarkeit der Partikel keine wirkliche Rolle spielt. Das bedeutet, wenn Teilchen nur selten versuchen, denselben Zustand einzunehmen, werden die Verteilungen im Allgemeinen ähnliche Antworten geben.
Warum also stimmen die Verteilungen in der oberen Energiegrenze überein? Nun, die überwiegende Mehrheit der Teilchen hat eine Energie im Bereich der durchschnittlichen Energie. Wenn Sie also Zustände mit einer Energie betrachten, die viel höher als der Durchschnitt ist, dann gibt es nur sehr wenige Teilchen, die um diese Zustände konkurrieren, daher stellt sich die Frage nach dem Versuch, sich zu vermehren ein Zustand tritt selten auf, und alle drei Verteilungen geben im Wesentlichen die gleiche Antwort.
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ProfRob