Ununterscheidbare Partikel unterscheidbar machen?

Grundsätzlich gilt, dass man zwei identische Teilchen nicht unterscheiden kann. Wenn jedoch die Überlappung zwischen den Wellenfunktionen der beiden Teilchen nahe ist$0$, können Sie die Partikel oft als unterscheidbar behandeln. Es gibt hauptsächlich zwei Fälle, in denen dies geschieht:

1. Partikel, die durch eine „hoch genug“ Potentialbarriere getrennt sind

Wenn zwei identische Teilchen durch eine „hoch genug“ Potentialbarriere getrennt sind (zum Beispiel ein „kleines Kästchen“, aber auch ein einem Gitterplatz entsprechender Potentialtopf), ist die Überlappung zwischen den jeweiligen Wellenfunktionen sehr gering (im Idealfall von eine unendliche Potentialbarriere, die Überlappung ist rigoros$0$). Das bedeutet, dass wir immer mit hoher Genauigkeit sagen können, welches Teilchen wo ist, dh wir können es mit hoher Genauigkeit als unterscheidbar behandeln.

Siehe auch diese Antwort von Arnold Neumaier.

2. „Weit entfernte“ Teilchen

Wenn zwei identische Teilchen "weit entfernt" voneinander sind, können wir sie als unterscheidbar behandeln.

Nehmen Sie zum Beispiel zwei weit entfernte Elektronen: Da sie nicht unterscheidbare Fermionen sind, ist ihre Wellenfunktion

$$\Psi(\mathbf r_1, \mathbf r_2)=\frac 1 {\sqrt 2} [\psi_1(\mathbf r_1)\psi_2(\mathbf r_2)-\psi_1(\mathbf r_2)\psi_2(\mathbf r_1)]$$

Betrachten Sie nun den erwarteten Wert einer beobachtbaren Größe$\mathcal O$:

$$\langle \mathcal O \rangle = \int \int d\mathbf{r}_1 d \mathbf{r}_2 [\Psi^*(\mathbf r_1, \mathbf r_2) \ \mathcal O \ \Psi(\mathbf r_1, \mathbf r_2)]=\\ \int \int d\mathbf{r}_1 d \mathbf{r}_2 [\psi_1^*(\mathbf r_1)\psi_2^*(\mathbf r_2) \ \mathcal O \ \psi_1(\mathbf r_1)\psi_2(\mathbf r_2)] - \int \int d\mathbf{r}_1 d \mathbf{r}_2 [\psi_1^*(\mathbf r_1)\psi_2^*(\mathbf r_2) \ \mathcal O \ \psi_1(\mathbf r_2)\psi_2(\mathbf r_1)]$$

Nehmen wir das an$\psi_1$Und$\psi_2$ausreichend lokalisiert sind, dh$\psi_1$unterscheidet sich deutlich von$0$nur in einer Domäne$D_1 \in \mathbb R^3$und das$\psi_2$unterscheidet sich deutlich von nur$0$in einer Domäne$D_2 \in \mathbb R^3$, und das$D_1$Und$D_2$nicht überlappen. Wir haben dann für die zweite Amtszeit

$$\int \int d\mathbf{r}_1 d \mathbf{r}_2 [\psi_1^*(\mathbf r_1)\psi_2^*(\mathbf r_2) \ \mathcal O \ \psi_1(\mathbf r_2)\psi_2(\mathbf r_1)] \\ \approx \int_{D_1} \int_{D_2} d\mathbf{r}_1 d \mathbf{r}_2 [\psi_1^*(\mathbf r_1)\psi_2^*(\mathbf r_2) \ \mathcal O \ \psi_1(\mathbf r_2)\psi_2(\mathbf r_1)] \approx 0$$

seit$\psi_1 \approx 0$In$D_2$Und$\psi_2 \approx 0$In$D_1$. Es folgt dem

$$\langle \mathcal O \rangle \approx \int \int d\mathbf{r}_1 d \mathbf{r}_2 [\psi_1^*(\mathbf r_1)\psi_2^*(\mathbf r_2) \ \mathcal O \ \psi_1(\mathbf r_1)\psi_2(\mathbf r_2)]$$

Das bedeutet, dass die Wellenfunktion

$$\tilde \Psi(\mathbf r_1, \mathbf r_2) = \psi_1(\mathbf r_1)\psi_2(\mathbf r_2)$$

was eine Wellenfunktion für unterscheidbare Teilchen ist, hätte uns ungefähr das gleiche Ergebnis geliefert! Daher können wir weit entfernte Teilchen als unterscheidbar betrachten.

Siehe auch diese Antwort von tparker.

Da alle fermionischen Erzeugungsoperatoren antikommutieren, muss die Wellenfunktion zweier beliebiger Fermionen immer antisymmetrisiert sein. Das gilt auch dann, wenn die Fermionen unterschiedliche Spins haben, unterschiedliche Farben haben oder sogar völlig unterschiedliche Teilchen sind, wie etwa ein Down-Quark und ein Tau-Neutrino.

Dies kann jedoch in vielen Fällen vernachlässigt werden. Generell gilt, dass ein Fermion von der Antisymmetrisierung ausgeschlossen werden kann, wenn es eine Eigenschaft besitzt, die kein anderes Fermion teilt.

Stellen Sie sich zum Beispiel ein Atom vor, bei dem alle Elektronen so fixiert sind, dass sie einen Spin nach oben haben, mit Ausnahme eines, das so fixiert ist, dass es einen Spin nach unten hat. Dann legt das Pauli-Ausschlussprinzip keine Einschränkungen für den räumlichen Zustand des Elektrons mit Spin-Down fest, sodass nichts schief geht, wenn wir dieses Elektron als vom Rest unterscheidbar behandeln; Sie erhalten keine illegalen Konfigurationen. Konzeptionell ist das Teilchen durch seinen Spin unterscheidbar. (Dies hat nichts damit zu tun, ob ein bestimmter Versuchsaufbau die Unterscheidung leisten kann. Dies ist eine mathematische Tatsache, die bereits in der Steinzeit galt.)

Ebenso können die Quarks in einem Meson unterschieden werden, weil nur eines ein Antiquark ist, die Quarks in einem Baryon jedoch nicht, siehe hier . Im Fall von Spins, deren Positionen auf einem Gitter fixiert sind, hat jeder Spin eine einzigartige Position, sodass sie alle durch ihre Positionen unterscheidbar sind.

Eine subtilere Version dieses Tricks wird für das klassische ideale Gas gezogen. Die Wellenfunktion jedes Teilchens hat die Form$\psi_{\text{spatial}} \psi_{\text{spin}}$. Wir gehen davon aus, dass jedes Teilchen einen bestimmten räumlichen Zustand hat; Sobald dies berücksichtigt ist, sind die Teilchen aufgrund ihrer Positionen zum Zwecke der Spinzuordnung unterscheidbar. Aber das ist natürlich falsch: Zwei Teilchen können denselben räumlichen Zustand und entgegengesetzte Spins haben. Die für das klassische ideale Gas gemachte Annäherung ist, dass das Gas spärlich genug ist, dass diese Konfiguration vernachlässigbar ist. Wenn dies nicht der Fall ist, müssen Sie die vollständige Fermi-Dirac-Statistik verwenden.

Also, wenn das ununterscheidbare Teilchen unterscheidbar ist? Wird die Fixierung ihrer Standorte sie unterscheidbar machen?

Teilchen sind unterscheidbar, wenn sie sich in unterschiedlichen Eigenzuständen befinden: Ein angeregtes Wasserstoffatom, das ein Photon absorbiert hat, kann von einem Wasserstoffatom mit dem Elektron im Grundzustand unterschieden werden.

Auch der Spin kann ein Teilchen von einem anderen unterscheiden. Ein pi0 zerfällt in zwei Gammas: Wenn ein Gamma Spin+1 hat, muss das andere Spin -1 haben und ist daher vom ersten unterscheidbar.

Standorte sind ein Kontinuum. In einem Gitter wiederum können Energie (angeregt oder in Bodennähe) und Spin Teilchen je nach Experiment unterscheiden.

Teilchen können unterschieden werden, wenn sie für einige Observablen unterschiedliche Eigenwerte haben, ansonsten sind sie nicht unterscheidbar.