Ununterscheidbarkeit in der statistischen Mechanik

Ich habe zwei Fragen zur Verwendung des Konzepts der Ununterscheidbarkeit zur Bestimmung der Zustandssumme in der statistischen Mechanik, wie zum Beispiel bei der Bestimmung der Zustandssumme eines idealen Gases.

1: Warum nehmen wir an, dass die Teilchen im Gas nicht unterscheidbar sind? In der QM ist eine Menge von N Teilchen nur dann ununterscheidbar, wenn ihre kombinierte Wellenfunktion entweder symmetrisch (Bosonen) oder antisymmetrisch (Fermionen) unter Austausch zweier Teilchen ist. Warum treffen wir diese Annahme für die kombinierte Wellenfunktion der Teilchen im Gas (deren Einzelteilchen-Wellenfunktionen wie üblich durch die Lösungen des Teilchen-in-einem-3D-Box-Problems gegeben sind)?

2: Es wurde festgestellt, dass, wenn die Anzahl möglicher Einzelteilchenzustände bei niedriger Energie viel höher ist als die Anzahl der Teilchen, die Zustandssumme angenähert werden kann, indem ein Faktor von 1/(N!) eingeführt wird (wobei N die Anzahl von ist Partikel), um die Ununterscheidbarkeit der Partikel zu berücksichtigen. Dies liegt daran, dass die meisten Zustände des Systems so sein werden, dass alle Teilchen in unterschiedlichen Energieniveaus gefunden werden. Aber wenn wir davon ausgehen, dass es sich bei den Teilchen um Fermionen handelt, MÜSSEN sich die Teilchen dann doch in unterschiedlichen Zuständen befinden (aufgrund des Pauli-Prinzips), was bedeutet, dass die Einführung des Faktors 1/(N!) exakt (und nicht nur eine Annäherung) ist?

Hallo, ich habe versucht, Ihre erste Frage zu beantworten. Ich denke, Sie sollten eine separate Frage für den zweiten Teil stellen, ich bin mir nicht sicher, in welchem ​​​​Kontext Sie diese Annäherung gesehen haben, und Sie sollten weitere Details hinzufügen, vielleicht eine Referenz, wo Sie sie gesehen haben :)
@ user2723984 Ich spreche darüber, wie die Partitionsfunktion für ein ideales Gas berechnet wird. Im klassischen Modell mit unterscheidbaren Teilchen kann die Zustandssumme des Systems durch Multiplikation der Zustandssummen der einzelnen Teilchen gefunden werden. Im Fall der Ununterscheidbarkeit führt man einen zusätzlichen Faktor von 1/(N!) in die klassische Zustandssumme ein (diejenige, die durch das Produkt der Ein-Teilchen-Zustandsfunktionen gegeben ist).
@ user2723984 Ich verwende meine Statistik-Mech-Bücher als Referenz, aber wenn Sie in diesem Wikipeida-Artikel zu den "Partitionsfunktionen von Subsystemen" gehen, dann sprechen sie über dasselbe: en.wikipedia.org/wiki/…

Antworten (2)

1: Warum nehmen wir an, dass die Teilchen im Gas nicht unterscheidbar sind?

Denn wenn wir das nicht tun, stellen wir fest, dass die Entropie des Systems nicht extensiv ist (siehe das Gibbs-Paradoxon ), was zu offensichtlichen Verletzungen des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik führt. Die von Josiah Gibbs vorgeschlagene Lösung besteht darin, die Partikel als nicht unterscheidbar zu behandeln, indem ein zusätzlicher Faktor eingeführt wird 1 / N ! in der Multiplizitätsfunktion. Dies ist eine der Möglichkeiten, wie sich eine grundlegende quantenmechanische Eigenschaft in einem scheinbar klassischen System manifestiert.

2: [..]Aber wenn wir davon ausgehen, dass die Teilchen Fermionen sind, dann MÜSSEN die Teilchen sicherlich in verschiedenen Zuständen sein (aufgrund des Pauli-Prinzips), was bedeutet, dass die Einführung des Faktors 1/(N!) exakt ist (und nicht nur eine Annäherung)?

Nein, es ist immer noch eine Annäherung. Stellen Sie sich vor, Ihr System hat drei Energieniveaus E = { 0 , ϵ , 2 ϵ } und drei Teilchen mit einer Gesamtenergie von 3 ϵ .

  • Für klassische unterscheidbare Teilchen könnten wir jedes Teilchen auf einem anderen Energieniveau haben oder alle drei Teilchen auf dem zweiten Energieniveau. Es gibt sechs Möglichkeiten, ersteres anzuordnen, und eine Möglichkeit, letzteres anzuordnen, für eine Gesamtmultiplizität von 7. Dividieren durch 3 ! = 6 ergibt eine korrigierte Multiplizität von 7 / 6 .
  • Für nicht unterscheidbare Bosonen entsprechen die oben erwähnten sechs möglichen Anordnungen eines Teilchens pro Energieniveau alle demselben Mikrozustand. Daher ist die Gesamtmultiplizität 2 .
  • Für nicht unterscheidbare Fermionen gilt zusätzlich, dass der Mikrozustand mit allen Teilchen im zweiten Energieniveau verboten ist, also die gesamte Multiplizität 1 .

Als Randnotiz ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle drei Teilchen die gleiche Energie haben 1 / 7 wie klassisch berechnet, 1 / 2 für ununterscheidbare Bosonen und 0 für ununterscheidbare Fermionen. Dies informiert die Faustregel, dass Bosonen mit größerer Wahrscheinlichkeit denselben Zustand einnehmen, als eine klassische Analyse vermuten lässt, wobei für Fermionen die entgegengesetzte Regel gilt.

Warum nehmen wir an, dass die Teilchen im Gas nicht unterscheidbar sind? In der QM ist eine Menge von N Teilchen nur dann ununterscheidbar, wenn ihre kombinierte Wellenfunktion entweder symmetrisch (Bosonen) oder antisymmetrisch (Fermionen) unter Austausch zweier Teilchen ist. Warum treffen wir diese Annahme für die kombinierte Wellenfunktion der Teilchen im Gas (deren Einzelteilchen-Wellenfunktionen wie üblich durch die Lösungen des Teilchen-in-einem-3D-Box-Problems gegeben sind)?

Ich denke, Sie haben das rückwärts. Wir erhalten das Ergebnis, dass Teilchen entweder Fermionen oder Bosonen sind, gerade weil wir davon ausgehen, dass sie nicht unterscheidbar sind. Wenn Sie davon ausgehen, dass Teilchen in der statistischen Mechanik nicht unterscheidbar sind, erhalten Sie entweder fermionische oder bosonische Modelle.

Warum nehmen wir an, dass Teilchen nicht unterscheidbar sind? Denn „nicht unterscheidbar“ ist nur eine Art zu sagen, dass wir alle Eigenschaften der Partikel in unserem Modell berücksichtigen, das heißt, es gibt nichts, was ich messen kann, das ich nicht bereits als Variable in Betracht ziehe, die es mir erlauben würde zwei Teilchen zu unterscheiden.

Beispiel: Angenommen, ich habe zwei Teilchen gleicher Masse und ohne Ladung. Sie haben 2 einzigartige Eigenschaften, die sie identifizieren: ihre Position und ihr Momentum. Sie sind "ununterscheidbar" in dem Sinne, dass, wenn ich Partikel nehme 1 und ändere es so, dass seine Position und sein Impuls denen des Teilchens entsprechen 2 , und umgekehrt, dann effektiv im Modellpartikel 1 ist Teilchen geworden 2 , und umgekehrt, und nichts an der Physik hat sich geändert. Das System verhält sich genau so, als ob ich nichts getan hätte. Wenn die Teilchen bis auf Position und Impuls in allem identisch sind, wie wollen Sie sie sonst bezeichnen, wenn nicht "das Teilchen, das hier ist und langsam ist, und das Teilchen, das dort ist und schnell ist"? Daher macht es keinen Sinn, Labels wie "particle 1 und Teilchen 2 ", aber alle Labels, die wir brauchen, sind in den Staaten.

Wo die Ununterscheidbarkeitsannahmen interessant werden, ist, dass wir normalerweise diese Bezeichnungen für Teilchen haben : Sie sind die Bezeichnungen der entsprechenden Hilbert-Räume, die den kombinierten Raum bilden H 1 ⊗ H 2 . Der Prozess, Bosonen und Fermionen aus unterscheidbaren Teilchen zu erhalten, ist der Prozess der Auswahl der Teile von H 1 ⊗ H 2 das ist unveränderlich unter dem Austausch dieser Bezeichnungen, was eine mathematische Art zu sagen ist "wenn ich Teilchen zuweise 1 alle Eigenschaften von Partikeln 2 und umgekehrt ändert sich nichts".

Das ändert sich drastisch, wenn man die Partikel künstlich unterscheidbar macht, man ihnen zB eine feste Position zuweist, zB "das Partikel links und das Partikel rechts", und man das Verhalten einer anderen Variablen modellieren will, sagen wir ihr dreht sich. Dann ist das System unter dem Austausch der Teilchen nicht invariant, dh Sie möchten, dass "oben unten" ein physikalisch unterschiedlicher Zustand von "unten oben" ist, und daher haben Sie keine Fermionen oder Bosonen mehr. Dies ist beispielsweise bei Gitterspinsystemen der Fall.

Ich bin mir nicht sicher, wie dies erklärt, warum die Partikel im Gas nicht zu unterscheiden sind. Wenn Ununterscheidbarkeit die Begriffe Bosonen und Fermionen definiert, warum dann den Teilchen im Gas nicht einfach andere Namen/Eigenschaften zuweisen? Im klassischen Modell sind die Teilchen im Gas unterscheidbar. Sie können sie anhand ihrer jeweiligen Flugbahnen unterscheiden. Nach meinem Verständnis sind Teilchen in QM nur dann ununterscheidbar, wenn sich ihre "Trajektorien" gemischt haben, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass Teilchen 1 bei x_1 und 2 bei x_2 ist, gleich der Wahrscheinlichkeit ist, dass Teilchen 1 bei x_2 und 2 bei x_1 ist.
Und sicher müssen zwei Fermionen nicht ununterscheidbar sein. Wenn Sie ein unverschränktes System aus einem Elektronenpaar haben, können Sie die Teilchen anhand ihrer Einzelteilchen-Wellenfunktionen unterscheiden (aufgrund des Pauli-Prinzips müssen diese Wellenfunktionen unterschiedlich sein, und daher können Sie die Teilchen unterscheiden).
Nicht ganz, Partikel sind in QM nicht unterscheidbar, wenn der Austausch die Physik nicht ändern soll, dh | X ⟩ 1 ⊗ | j ⟩ 2 sollte gleich sein | j ⟩ 1 ⊗ | X ⟩ 2 . Das einzige, was zählt, ist "es gibt ein Teilchen an Position X und ein Teilchen an Position j ", nicht welches der beiden Teilchen sich an welcher Position befindet, da die Teilchen in jeder anderen Hinsicht außer der Position identisch sind, ist ihre Position die einzige Möglichkeit, sie zu unterscheiden. "Es gibt ein Teilchen an Position X und ein Teilchen an Position j " wird mathematisch in Fock-Raum übersetzt.
Daraus ergibt sich die Tatsache, dass eine richtige Wellenfunktion immer so aussehen wird | X ⟩ | j ⟩ + | j ⟩ | X ⟩ oder ähnliches, da dies die einzigen zulässigen Überlagerungen sind. Klassische Teilchen sind auch nicht zu unterscheiden, wenn sie nur durch ihre Flugbahn gekennzeichnet sind, aber das hat meines Wissens keine sehr tiefgreifenden Auswirkungen.
Beispiel mit klassischen Partikeln: Sie haben zwei Kugeln: Kugel 1 und Kugel 2 . Sie sind vollkommen identisch, außer dass einer in meiner rechten und der andere in meiner linken Hand ist. Jetzt bitte ich Sie, die Augen zu schließen, ein paar Mal zu vertauschen und zu fragen: Welches ist Ball 1 und welches ist Ball 2? Sie werden es nicht erkennen können, weil es überhaupt keinen Ball 1 oder Ball 2 gab, sondern nur einen in der rechten und einen in der linken Hand. Die Kugeln unterscheiden sich nur durch den Punkt, den sie im Phasenraum einnehmen, dh nur durch ihre Position.
Wenn die Kugeln Elektronen wären und Sie sagen: "Ihr Zustand ist | X ⟩ | j ⟩ ", müssen Sie etwas falsch machen, denn in diesem Fall könnten Sie ein Experiment machen, das Ihnen sagt, ob die Partikel vertauscht wurden oder nicht, was bedeutet, dass die Partikel doch nicht identisch waren.
Ja, aber ich spreche natürlich von der Quantenununterscheidbarkeit, nicht von der klassischen, auf die Sie sich in Ihrem letzten Kommentar bezogen haben. Wie Sie sagten, wird die kombinierte Wellenfunktion als Überlagerung aller Permutationen der Teilchen im System gegeben, wenn wir von Quantenununterscheidbarkeit sprechen. Meine Frage ist, warum wir davon ausgehen, dass die Teilchen im Gas auf diese Weise nicht unterscheidbar sind, wenn es andere mögliche Zustände für das kombinierte System gibt.
Ich bin mir nicht sicher, was Sie mit "wenn es andere mögliche Zustände für das System gibt" meinen. Wir gehen davon aus, dass Teilchen in einem Gas nicht unterscheidbar sind, weil es intuitiv sinnvoll ist und korrekte experimentelle Vorhersagen liefert. Wie sonst werden Sie die Teilchen in einem Gas kennzeichnen, wenn nicht durch ihre Position und ihren Impuls? Die Teilchen im Gas sind wie die Kugeln in den klassischen Beispielen, sie sind nur durch ihren Zustand gekennzeichnet, es sei denn, man benennt sie explizit. Es wird davon ausgegangen, dass Teilchen in einem Gas identisch sind, mit Ausnahme ihrer Position, ihres Impulses, ihres Spins oder anderer Eigenschaften, die Sie modellieren.
Nun, wenn Sie ein gemischtes Gas aus beispielsweise Sauerstoff und Stickstoff hätten, dann sind diese unterscheidbar. Man könnte tatsächlich sagen „das Sauerstoffatom ist hier und das Stickstoffatom ist dort“, und wenn man sie vertauscht, hat man jetzt „das Stickstoffatom ist hier und das Sauerstoffatom ist dort“, aber das liegt daran, dass Stickstoff und Sauerstoff durch unterschieden werden können andere Eigenschaften, die keine Position sind. Mit anderen Worten, Sie würden es bemerken, wenn sie ausgetauscht würden.
"sie sind nur durch ihren Zustand gekennzeichnet, es sei denn, Sie kennzeichnen sie ausdrücklich". Exakt. Wenn sie nicht völlig ununterscheidbar sind, dann ist es prinzipiell möglich, sie anhand ihrer Quantenzustände (oder im klassischen Fall ihres Ortes und Impulses) zu unterscheiden. Aber vollständige Ununterscheidbarkeit ist gegeben, wenn es in diesem Fall keine Möglichkeit gibt, zu unterscheiden, da die Wahrscheinlichkeit, dass sich Teilchen 1 und 2 im Zustand 1 bzw. 2 befinden, gleich der Wahrscheinlichkeit ist, dass sich Teilchen 1 und 2 im Zustand 2 bzw. 1 befinden.
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