Klassische und halbklassische Behandlungen des idealen Gases

Question

Klassische und halbklassische Behandlungen des idealen Gases

Entropie
Physik
ideales Gas
Partitionsfunktion
identische Teilchen
Statistische Mechanik

CAF

In der halbklassischen Behandlung des idealen Gases schreiben wir die Zustandssumme für das System als

Z = \frac{Z (1)^{N}}{N!}

$Z = \frac{Z(1)^N}{N!}$ Wo

Z (1)

$Z(1)$ ist die einzelne Teilchenverteilungsfunktion und

N

$N$ ist die Anzahl der Teilchen. Es ist halbklassisch in dem Sinne, dass wir die Ununterscheidbarkeit der Teilchen berücksichtigen, also dividieren wir durch

N!

$N!$ .

Der resultierende Ausdruck für die Entropie des Systems ist

S = N k (\ln [(\frac{v}{N}) {(\frac{2 π M k T}{H^{2}})}^{3 / 2}] + \frac{5}{2})

$S = Nk \left(\ln \left[\left(\frac{V}{N}\right) \left(\frac{2\pi mkT}{h^2}\right)^{3/2} \right] + \frac{5}{2}\right)$

Betrachten Sie nun eine vollständig klassische Analyse. Dort $Z(1) = \sum_{E} \exp (-\frac{E}{kT})$ , Wo $E = p^2/2m$ (unter der Annahme, dass keine Wechselwirkungspotentiale vorhanden sind). Das Problem lässt sich auf ein Integral über den Phasenraum des Hamiltonoperators abbilden

Z (1) \to \int \exp (- \frac{1}{2 M k T} (P_{X}^{2} + P_{j}^{2} + P_{z}^{2})) D^{3} \underline{P} D^{3} \underline{X}

$Z(1) \rightarrow \int \exp \left(-\frac{1}{2mkT} (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) \right)\text{d}^3 \underline{p} \,\text{d}^3 \underline{x}$ Diese kann dann gerne umgeschrieben werden

\int \exp (- \frac{P_{X}^{2}}{2 M k T}) D P_{X} \int \exp (- \frac{P_{j}^{2}}{2 M k T}) D P_{j} \int \exp (- \frac{P_{z}^{2}}{2 M k T}) D P_{z} \cdot v

$\int \exp \left(-\frac{p_x^2}{2mkT}\right) \text{d}p_x \int \exp \left(-\frac{p_y^2}{2mkT}\right) \text{d}p_y \int \exp \left(-\frac{p_z^2}{2mkT} \right) \text{d}p_z \cdot V$ Wo

V

$V$ ist das Volumen des Behälters. Das sind Gaußsche Integrale und daher erfolgt die Auswertung sofort. Das Ergebnis ist das

Z (1) = (2 π m k T)^{3 / 2} V

$Z(1) = (2\pi mkT)^{3/2} V$ Die entsprechende Entropie kann berechnet werden und das Ergebnis ist das

S = N k (\frac{3}{2} + \ln (\frac{(2 π M k T)^{3 / 2}}{v}))

$S = Nk \left(\frac{3}{2} + \ln\left(\frac{(2\pi mkT)^{3/2}}{V}\right)\right)$ .

Meine Frage ist: Welche Bedeutung haben die Faktoren $5/2$ in der halbklassischen Behandlung und dem Faktor $3/2$ in der klassischen Behandlung und warum unterscheiden sie sich? Sie sehen aus wie die Anzahl der Freiheitsgrade, die ein einatomiges und zweiatomiges Molekül bei Raumtemperatur haben würde, aber ich denke, das ist ein Zufall.

JamalS

Nur zu Ihrer Information, die erste Formel für die Entropie ist eigentlich eine Näherung, sogar klassisch, weil sie Stirlings Näherung der Gammafunktion verwendet.

CAF

Hallo JamalS. Ja, das ist mir bewusst - auch dividieren durch

N!

$N!$ allein ist eine Annäherung. Die Korrektur berücksichtigt nur den Fall, in dem sich die Teilchen alle in unterschiedlichen Zuständen befinden.

JoshPhysik

Warum haben Sie den Faktor ausgeschlossen

1 / N!

$1/N!$ in der "klassischen" Behandlung? Identische Teilchen können (und sollten) in der klassischen statistischen Mechanik auf diese Weise immer noch als identische Teilchen behandelt werden.

Ján Lalinský

@joshphysics, die Tatsache, dass die Teilchen identisch sind, bedeutet, dass sie dieselben physikalischen Eigenschaften wie Masse oder Ladung haben. Die Identität von Teilchen an sich impliziert nicht, dass das Maß der Zustände im Phasenraum um die entsprechende Anzahl ihrer Permutationen reduziert werden sollte. Die Reduktion kann aufgrund der Verknüpfung der statistischen Formel mit der konventionellen thermodynamischen Entropie erfolgen, ist jedoch nicht erforderlich. arxiv.org/abs/1012.4111

JoshPhysik

@JánLalinský Interessant. Ich schaue mir mal die Referenz an. Danke.

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Klassische und halbklassische Behandlungen des idealen Gases

Nur zu Ihrer Information, die erste Formel für die Entropie ist eigentlich eine Näherung, sogar klassisch, weil sie Stirlings Näherung der Gammafunktion verwendet.
Hallo JamalS. Ja, das ist mir bewusst - auch dividieren durch $N!$ allein ist eine Annäherung. Die Korrektur berücksichtigt nur den Fall, in dem sich die Teilchen alle in unterschiedlichen Zuständen befinden.
Warum haben Sie den Faktor ausgeschlossen $1/N!$ in der "klassischen" Behandlung? Identische Teilchen können (und sollten) in der klassischen statistischen Mechanik auf diese Weise immer noch als identische Teilchen behandelt werden.
@joshphysics, die Tatsache, dass die Teilchen identisch sind, bedeutet, dass sie dieselben physikalischen Eigenschaften wie Masse oder Ladung haben. Die Identität von Teilchen an sich impliziert nicht, dass das Maß der Zustände im Phasenraum um die entsprechende Anzahl ihrer Permutationen reduziert werden sollte. Die Reduktion kann aufgrund der Verknüpfung der statistischen Formel mit der konventionellen thermodynamischen Entropie erfolgen, ist jedoch nicht erforderlich. arxiv.org/abs/1012.4111
@JánLalinský Interessant. Ich schaue mir mal die Referenz an. Danke.

Benutzer47505 · Answer 1

Warum zum Teufel machst du dir Gedanken über den Unterschied zwischen 3/2 und 5/2? Ihre Formeln unterscheiden sich nicht nur durch 3/2 und 5/2, sondern auch durch $\ln(N)$ . Für den thermodynamischen Grenzwert gilt $\ln(N)$ ist unendlich, also viel größer als 1.

Die Zahl 3/2 hat in diesem Zusammenhang keine Bedeutung, außer dass es 5/2-1 ist. Die Zahl 5/2 gibt die korrekte Entropie für das ideale, nicht relativistische Gas an, das aus nicht unterscheidbaren Teilchen mit einem einzigen Spinzustand und keinen anderen Freiheitsgraden als Position und Impuls besteht. Sie sollten jedoch verstehen, dass die Entropie bis auf eine Konstante nur durch den dritten Hauptsatz der Thermodynamik definiert ist. Dieser dritte Hauptsatz wiederum wäre nicht gültig, wenn es nicht eine zugrunde liegende Quantenmechanik gäbe. Dies ist also ein intrinsischer QUANTEN-Begriff und kann ohne Quantenmechanik nicht wirklich verstanden werden.

Kunst Braun · Answer 2

Halbklassisch, von Zemansky:

S = k \ln Ω, Ω = \prod_{ich} (\frac{G_{ich}^{N_{ich}}}{N_{ich}!}), N_{ich} = \frac{N}{Z} G_{ich} e^{- ϵ_{ich} / k T}

$S = k \ln \Omega \quad , \quad \Omega = \prod_i \left( \frac{g_i^{N_i}}{N_i!} \right) \quad , \quad N_i = \frac{N}{Z} g_i e^{-\epsilon_i / kT}$

findet man unter Anwendung der Näherung von Stirling: $\ln(x!) \approx x \ln x - x$ :

\ln Ω = \sum_{ich} N_{ich} \ln \frac{G_{ich}}{N_{ich}} + N = \sum_{ich} N_{ich} (\ln \frac{Z}{N} + \frac{ϵ_{ich}}{k T}) + N = N (\ln \frac{Z}{N} + \frac{U}{N k T} + 1)

$\ln \Omega = \sum_i N_i \ln \frac{g_i}{N_i} + N = \sum_i N_i \left( \ln \frac{Z}{N} + \frac{\epsilon_i}{kT} \right) + N = N \left(\ln \frac{Z}{N} + \frac{U}{NkT} + 1 \right)$

S = N k (\ln \frac{Z}{N} + \frac{U}{N k T} + 1)

$S = Nk \left( \ln \frac{Z}{N} + \frac{U}{NkT} + 1 \right)$

Der $U$ Begriff für ein einatomiges Gas beiträgt $3/2$ .

[Übrigens dein Klassiker $Z$ braucht eine Art Konstante mit den Dimensionen Impuls x Weg im Nenner, um das Ergebnis einheitenlos zu machen. Huang nennt es "h"... ]

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Ján Lalinský

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Benutzer47505

Kunst Braun

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