Die statistische Interpretation der Entropie

Dann sollte die Anzahl der diesem Makrozustand entsprechenden Mikrozustände 1 sein (da alle Teilchen identisch sind).

Die Partikel können identisch sein (sie haben die gleichen intrinsischen physikalischen Eigenschaften), aber das bedeutet in keiner Weise, dass sie nicht verschieden sind. Es ist am natürlichsten anzunehmen, dass die Partikel verschieden sind (sie können an verschiedenen Orten platziert, beschriftet und verfolgt werden).

Der Mikrozustand des Systems ist nicht durch die Besetzungszahlen der Abteilungen gegeben, sondern durch eine Reihe von Orten für jedes einzelne Teilchen. Äquivalent ist es durch die Menge der Teilchen in der ersten Abteilung gegeben.

Die Anzahl solcher Sätze$\Omega$lässt sich leicht berechnen. Stellen Sie sich einen Prozess vor, bei dem wir durch Platzieren eine bestimmte Menge erstellen$k$Teilchen von Anfang an$N$-Mitglieder in der ersten Abteilung eingestellt. Die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, dies zu tun, ist

$$W = N(N-1)(N-2)...(N-(k-1)) = \frac{N!}{(N-k)!}.$$

Wenn Sie jedoch einen bestimmten Satz erstellen,$k!$Es sind unterschiedliche Wege möglich (die sich in der Reihenfolge unterscheiden, in der die Partikel platziert wurden). Die Anzahl der möglichen Sätze ist also um den Faktor geringer$k!$:

$$\Omega = \frac{N!}{k!(N-k)!}.$$

Es ist ein einfaches Permutationsproblem.

Angenommen, es gibt$N$unterscheidbare Teilchen. Lassen$n_L$sei die Anzahl der links verteilten Teilchen &$n_R$im rechten Fach verteilt.

Zunächst müssen Sie ein Teilchen für den ersten Platz auswählen$N$setzt. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Es kann in gemacht werden$N$Wege; nun kann der zweite Platz mit besetzt werden$(N-1)$Wege. In ähnlicher Weise können wir durch Extrapolation die Anzahl der Möglichkeiten finden$N^\text{th}$Platz besetzt werden kann ist$(N-(N-1))$Wege. Durch die Multiplikationsregel können alle diese gleichzeitig ausgeführt werden$N!$Wege.

Nun, nehmen Sie an, Sie haben$n_L$unterscheidbare Teilchen; dann können sie eingeordnet werden$n_L$Orte durch$n_L!$Wege; ähnlich$n_R$Teilchen können dazwischen angeordnet werden$n_R$Orte durch$n_R!$Wege.

Aber das wissen wir alle$N$Partikel sind nicht zu unterscheiden. Sei die Gesamtzahl der Anordnungen$x$. Für jedes Arrangement könnten wir arrangieren$n_L$Partikel &$n_R$Partikel unter ihnen durch$n_L!$&$n_R!$Wege, wenn sie unterscheidbar wären. Die Gesamtzahl der Arrangements ist also$x\cdot n_L!\cdot n_R!$Wege. Aber das ist gleich$N!$Möglichkeiten, also, indem wir sie gleichsetzen, erhalten wir die Anzahl der Möglichkeiten, wie die nicht unterscheidbaren Teilchen angeordnet werden können, dh$x$nämlich.

$$x= \frac{N!}{n_L!\cdot n_R!}.$$

Anzahl der Mikrozustände sind mögliche Anordnung oder Permutation. Da Partikel identisch sind, aber zwei identische Kästchen haben, die sich durch linke und rechte oder andere Art unterscheiden. Die Anzahl der Anordnungen im ersten Teilchen ist 2. Das nächste Teilchen ist wieder 2. Also für$N$Teilchen, es gibt$2^N$Möglichkeiten. Dies ähnelt der Anzahl der Möglichkeiten, wie eine 4-stellige PIN erstellt werden kann.$10.10.10.10=10^4$.

Dies ist auch ähnlich wie wenn$N$Münzen werden geworfen und die Anzahl ihrer Ergebnisse ist möglich$2^N$. Nun zur Wahrscheinlichkeit, sie kann durch günstige Ergebnisse dividiert durch die Anzahl möglicher Ergebnisse gegeben werden, d.h. eine Kombination, die für den Extremwert kleiner, aber für den Mittelwert maximal ist. Wie nur 1 Partikel in einer der Boxen von 10 ist,$2C_1^{10}=18$, aber für 5 ist 504. Also ist die Wahrscheinlichkeit von 5 in jedem Kästchen von 10$\frac{504}{1024}=0.492$, vorausgesetzt, dass die Box identisch ist, also gleichwahrscheinlich.

Gemäß der in Frage gestellten Methode ist die Anzahl der Partikel$N$. Sie müssen in zwei identische Kästchen platziert werden, dann ist die Anzahl der möglichen Anordnungen oder Mikrozustände gegeben durch,

$$\displaystyle \Omega=\sum_{k=0}^N\frac{N!}{k!(N-k)!}=2^N$$ Wo$k$ist dann die Anzahl der Teilchen in einer Box$(N-k)$sind die Anzahl der Partikel in einem anderen Feld. Die Anzahl der Mikrozustände ist die Summe aller dieser binomialen Erweiterungsterme.