Bedeutung des Symmetrisierungspostulats in Ermangelung eines geeigneten Modells

Meine Frage bezieht sich auf die Verwendung des Konzepts der ununterscheidbaren Teilchen (in der Quantenmechanik) in einem sehr allgemeinen Kontext und insbesondere in der statistischen Mechanik. Ich habe einige meiner Meinungen zu diesem Thema in einer kürzlich erschienenen Arbeit deutlich gemacht , aber wenn ich noch mehr darüber nachdenke, kann ich anscheinend nicht verstehen, warum dieses Merkmal der Ununterscheidbarkeit so universell verwendet wird und wie es gerechtfertigt ist.

Ich kenne die hier und da gestellten Fragen und die darin enthaltenen Antworten, aber ich denke, sie gehen nicht genau auf meine Frage ein.

Ich bin überrascht von der spezifischen und intrinsischen Rolle, die der Permutationsoperator zu spielen scheint (sagen wir Π ^ 12 zum Vertauschen der Teilchen 1 und 2) im Vergleich zu anderen Symmetrieoperatoren.

Insbesondere sind in den meisten Fällen, die mir einfallen (Rotation, Translation, Zeitumkehr, Parität usw.), die Symmetrien des Systems im Lagrange- oder Hamilton-Operator des Systems enthalten. Wenn beispielsweise in der einfachen Quantenmechanik ein System eine bestimmte Symmetrie hat, dann kommutiert seine Hamilton-Funktion mit der entsprechenden Darstellung dieser Symmetriegruppe. Es ist dann Standard, dass wir, wenn wir eine vollständige Beschreibung des Zustands haben wollen, nach einem vollständigen Satz von kommutierenden Observablen suchen, die dem Quantenzustand eine bestimmte Struktur verleihen.

Um das Beispiel von zwei Teilchen zu nehmen, die in vielen Fällen betrachtet werden, wenn der Hamiltonoperator mit dem Permutationsoperator pendelt, ist es natürlich, eine Lösung für die Schrödinger-Gleichung zu suchen, die ein Eigenvektor von ist Π ^ 12 mit beiden Eigenwerten + 1 oder − 1 .

Nun, ich verstehe vollkommen, dass die obige Argumentation nicht ausreicht, um zum Symmetrisierungspostulat zu gelangen (wie es in den anderen oben zitierten Fragen gut beantwortet wurde), aber mein Punkt ist, dass, während die Tendenz normalerweise vom Hamiltonian (der Ich setze konzeptionell die Modellierung des Problems) mit den Symmetrien und der Struktur des Quantenzustands gleich, ich bin überrascht, dass im Fall "identischer" Teilchen die Fermion/Boson-Argumentation immer der Hamilton-Argumentation vorangeht (mit Ausnahme des Standard Modell der Teilchenphysik). Mit anderen Worten, es wird (glaube ich) im Wesentlichen übersehen, dass die scheinbare Ununterscheidbarkeit eines Bündels von Partikeln durch die (vielleicht vereinfachte oder zumindest effektive) Modellierung des Problems induziert werden könnte.

Meine Sorge gilt eher allgemeinen Teilchen wie zusammengesetzten Teilchen wie Atomen, Molekülen usw. ... wo manchmal (wenn nicht oft) angenommen wird, dass sie im quantenmechanischen Sinne nicht unterscheidbar sind, während ich denken würde, dass sie fast nie wirklich nicht unterscheidbar sind.

Wenn ich zum Beispiel ein Gas aus Molekülen nehme, frage ich mich ernsthaft, was es bedeutet, sie im Quantensinn als ununterscheidbar zu betrachten, da sie bei jeder endlichen Temperatur unterschiedliche Konformationen oder elektronische Zustände haben können (Spektroskopiker wissen das sehr gut).

Meine Frage ist dann folgende:

Reicht es für eine Ansammlung konzeptionell identischer zusammengesetzter Systeme (dh identischer Zusammensetzung) aus, einen effektiven Hamiltonoperator bereitzustellen, der mit dem Permutationsoperator kommutiert, um zu dem Schluss zu kommen, dass die so beschriebenen Teilchen im quantenmechanischen Sinne nicht unterscheidbar sind? Wenn nicht, was ist die Begründung, um die Verwendung fermionischer und bosonischer Statistiken für zusammengesetzte Systeme zu rechtfertigen?

EDIT: Ich werde versuchen, etwas genauer zu sein

Betrachten wir zunächst ein 2-Teilchen-System mit dem effektiven Hamiltonoperator

H ^ ≡ P ^ 1 2 2 M + P ^ 2 2 2 M + v ( X ^ 1 ) + v ( X ^ 2 )

wo das externe Feld v wirkt in gleicher Weise auf die beiden Teilchen an einem gegebenen Ort.

Soweit es mich betrifft, pendelt dieser Hamiltonianer mit dem Betreiber Π ^ 12 die Etiketten tauscht 1 ↔ 2 .

Stellen wir uns nun vor, dass die untersuchten Teilchen ein weiteres beobachtbares Merkmal aufweisen F ^ (Farbe, Größe, Spinprojektion etc...) damit [ H ^ , F ^ ] = 0 und dass die beiden Partikel, die wir betrachten, möglicherweise einen unterschiedlichen Eigenwert für das Merkmal haben F ^ .

Lassen Sie uns nun bezeichnen { | ϕ N ⟩ } N = 1 , 2.. die Eigenzustände der einzelnen Hamiltonianer für jedes Teilchen und { | F a ⟩ } a = 1 , 2.. die Eigenvektoren des Merkmals F ^ .

Reichen diese Zutaten aus, um zu verlangen, dass der vollständige Zustand symmetrisch oder antisymmetrisch ist? z.B

| Ψ ⟩ = 1 2 ( | ϕ N 1 , F a 1 ; ϕ N 2 , F a 2 ⟩ ± | ϕ N 2 , F a 2 ; ϕ N 1 , F a 1 ⟩ )

Ich würde es annehmen und Hectors Antwort scheint darauf hinzudeuten, dass dies auch für zwei Teilchen der Fall ist und dass es "natürlich" erscheint, die gewählte symmetrische oder antisymmetrische Eigenschaft auf den N-Teilchen-Fall auszudehnen (um schließlich gegen Experimente getestet zu werden ).

Was bedeutet „nicht unterscheidbar im quantenmechanischen Sinne“, wenn nicht „Hamiltonsch, der mit dem Permutationsoperator pendelt“ ?
Für mich bedeutet es " Ich muss das Symmetrisierungs-/Anti-Symmetrisierungs-Postulat verwenden ", was meines Wissens nicht unbedingt daraus folgt, dass der Permutationsoperator mit dem Hamiltonian pendelt. Darüber hinaus reicht es nicht aus, den Permutationsoperator einfach mit dem Hamiltonian kommutieren zu lassen, um die übliche (und umstrittene?) Unterscheidung zwischen unterscheidbaren identischen Teilchen und nicht unterscheidbaren identischen Teilchen zu treffen.
Ist Ihnen bewusst, dass das „(Anti-)Symmetrisierungspostulat“ (wenn Sie die Annahme meinen, dass ganzzahlige Spinteilchen immer Bosonen etc. sind) nur ein Postulat für die nichtrelativistische Quantenmechanik ist? Das Spin-Statistik-Theorem der QFT beweist, dass Spin und Boson/Fermion-Natur tatsächlich verwandt sind.
Das ist nicht das was ich meine. Es gibt eine klare übliche Unterscheidung zwischen unterscheidbaren identischen Teilchen (für die wir die Quantenzustände nicht symmetrisieren oder antisymmetrisieren müssen) und nicht unterscheidbaren identischen Teilchen (für die wir die Zustände vollständig symmetrisieren oder antisymmetrisieren sollten). In den Augen vieler Menschen klärt diese Unterscheidung viele Rätsel auf, die das Gibbs-Paradoxon in der statistischen Mechanik umgeben. Meine Frage ist, wie man eine vollständige Symmetrisierung oder Antisymmetrisierung der Zustände von beispielsweise Heliumatomen in einem Gas bei einer endlichen Temperatur rechtfertigt (falls dies gerechtfertigt ist).

Antworten (1)

Ich denke, Ihre Sorge ist, warum Sie das grundlegende "Symmetrisierungspostulat" und nicht nur die Hamilton-Symmetrie verwenden sollten. Die Sache ist, dass es keine Rolle spielt, angenommen, ich versuche, zwei Teilchen (z. B. Fermionen) mit dem Hilbert-Raum zu beschreiben H 1 Und H 2 , ist der Hilbert-Raum der beiden Teilchen

H = H 1 ⊗ H 2
Nehmen wir nun an, Sie haben einen Hamiltonian in diesem Raum
H : H → H
Und der Permutationsoperator P das wirkt ein H von
P ( u ⊗ v ) = v ⊗ u
und wenn der Identitätsoperator ICH D : H → H fungieren als
ICH D ( u ⊗ v ) = u ⊗ v
Sie können einen Quotienten-Hilbert-Raum nehmen, indem Sie den Bereich von verwenden P + ICH D . Jetzt haben wir also H / ∼ wo wir uns identifiziert haben
u ⊗ v + v ⊗ u ∼ 0 ⟹ u ⊗ v ∼ − v ⊗ u
Dies ist der übliche antisymmetrische Raum, in dem Sie mit dem "Symmetrisierungspostulat", der Äquivalenzklasse, arbeiten u ⊗ v wird normalerweise geschrieben als u ∧ v , um sich an das Antisymmetrisierungspostulat zu erinnern (und in einer Matrixeinstellung setzen Sie einen Repräsentanten mit Schieferdeterminanten, aber das ist wirklich unnötig, wenn man weiß, wo gearbeitet wird). In dieser Einstellung arbeiten Sie jetzt in einem anderen Hilbert-Raum, um Ihr System zu modellieren. Nun, eine gültige Frage ist: Wann ist mein Hamiltonian H : H → H im kognitiven Raum eindeutig definiert werden kann H / ∼ ? das heißt, wenn π : H → H / ∼ ist die natürliche Projektion π ( u ⊗ v ) = u ∧ v , Wenn H ~ = π ∘ H ist gut definiert? Die Antwort ist nur wann H konvergiert mit dem Permutationsoperator P , also nur wann P ist eine Symmetrie des ursprünglichen Hamiltonian. Sie erhalten also genau die gleichen Ergebnisse, wenn Sie das "Symmetrisierungspostulat" verwenden (in einem kleineren Hilbert-Raum arbeiten) oder wenn Sie einen Hamiltonian mit Permutationssymmetrie verwenden. Warum machen wir uns also die Mühe, dieses Symmetrisierungspostulat zu verwenden? da die einzigen "guten" Hamiltonianer, die in diese Umgebung übersetzt werden können, diejenigen sind, mit denen sie sich unterhalten P , was ich eigentlich physikalisch sage, ist "Jeder physikalische Hamiltonian für ein Elektronenpaar konmutiert mit dem Permutationsoperator". Diese Symmetrie ist also eine grundlegende Eigenschaft von Teilchen, keine Folge der Dynamik, also übertrage ich diese Eigenschaft auf den Hilbert-Raum selbst, nicht auf den Hamilton-Raum. Aber formal sind sie gleichwertig, das Symmetrisierungspostulat ist eine Art "Bestätigung über die grundlegende Natur der Dinge", nicht über eine bestimmte Dynamik.

Danke für die nette Antwort. Meine Frage war jedoch eher, dass die Verwendung des Symmetrisierungspostulats (sofern durch die Symmetrie des Hamiltonian gerechtfertigt) bis zum Genauigkeitsgrad des Modells selbst genau sein muss. Wenn ich zum Beispiel ein Gas aus Atomen betrachte, wobei der Begriff des Atoms selbst ziemlich vage ist (gebundener Zustand von Elektronen mit einem Kern), kann ich das Symmetrisierungspostulat wirklich absolut auf dieses System anwenden? Beachten Sie, dass meine größte Sorge die Absolutheit ist , die impliziert zu sein scheint, wenn man direkt von Fermionen/Bosonen spricht.
@gatsu Vielleicht war es in meiner Antwort nicht so klar. Aber was ich demonstriere, ist, dass es eine Äquivalenz von "Symmetrisierungspostulat" und "Symmetrie unter Permutationen des Hamiltonian" gibt. Wenn Sie das Heliumgas mit einem Quantenhamiltonian mit Permutationssymmetrie modellieren (nicht die einzige Wahl, da Permutation in diesem Fall, wie Sie sagen, keine grundlegende Symmetrie ist), können Sie das Symmetrisierungspostulat verwenden, um die gleichen Ergebnisse zu erzielen. Normalerweise verwendet man grundsätzlich das "Symmetrisierungspostulat". ⟹ "Symmetrie unter Permutationen des Hamiltonschen", hier verwenden wir die Umkehrung.
Wenn ich Ihre Nachricht noch einmal sorgfältiger lese, habe ich ein Problem mit der Aussage, dass das Symmetrisierungspostulat eine Art "Bestätigung über die grundlegende Natur der Dinge" ist, nicht über eine bestimmte Dynamik . Meine Frage ist also, wie wir a priori entscheiden, was die grundlegende Natur der Dinge sein sollte, wenn es kein geeignetes Modell gibt (ein möglicherweise effektives Lagrange- oder ein Hamilton-Operator)?
wir nicht, die Leute nehmen an, dass etwas "fundamental" ist, wenn jedes physikalische Experiment, das wir durchführen können, diese Symmetrie respektiert. Wir wissen nicht, ob eines Tages jemand mit einem Experiment kommen wird, das Elektronen unterscheiden kann, aber in der Zwischenzeit gehen wir davon aus, dass diese Symmetrie grundlegend ist. Alles, was ich mit dem "Symmetrisierungspostulat" sage, ist "jedes physikalische Experiment, das wir jemals gemacht haben, hat diese Symmetrie, machen Sie sich nicht die Mühe, Dinge ohne sie zu sehen".
Ok, Sie scheinen also zu sagen, dass es in Ordnung ist, das Symmetrisierungspostulat zu verwenden, solange der Hamiltonian Permutationssymmetrie hat, und ich bin mit dieser Erklärung im Wesentlichen einverstanden. Einige Leute haben hier jedoch argumentiert , dass die Permutationssymmetrie nicht ausreichte, um das Symmetrisierungspostulat abzuleiten und zu verwenden, da die allgemeinsten Zustände, die die Permutationssymmetrie erfüllen, Parastatistiken anstelle der üblichen Bose- oder Fermi-Statistiken haben.
Ich weiß, was Sie meinen, Sie können Antisymmetrie und Symmetrie mischen, und in der Natur hat man das nicht (nur vollständig symmetrische und vollständig antisymmetrische Zustände). Dies entspricht aber unterschiedlichen Quotienten, eins mit der Spannweite ICH D + P 1 und andere mit ICH D − P 2 , und mische sie. In diesem Fall haben Sie Parastatistiken, aber wir betrachten dies nicht als grundlegend, weil es Experimente gibt, die sie unterscheiden. Wenn Ihr Hamiltonian jedoch diese seltsame Symmetrie hat, können Sie sie in Ihr spezielles (und handgemachtes) "Teilsymmetrisierungspostulat" einfügen und die gleichen Ergebnisse erzielen (verwenden Sie den Quotienten).
Der einzige Unterschied hier in Parastatistik und vollständig symmetrischen von antisymmetrischen Dingen ist das Experiment. Die ersten können unterschieden werden, die letzten nicht. Wir hören also nichts von einem seltsamen "parastatistischen Antisymmetrisierungspostulat", aber wir können eines machen, wenn wir einen Hamiltonian mit dieser bestimmten Symmetrie haben.
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