Ist eine Überlagerung von (anti)symmetrischen Zuständen (anti)symmetrisch?

Hier ist ein eleganter Weg, um zu zeigen, dass jede Linearkombination von (anti)symmetrischen Zuständen immer (anti)symmetrisch ist. Wir verwenden hier die Dirac-Notation für die Zustände und nehmen der Einfachheit halber an, dass wir es mit einem Zweikomponentensystem zu tun haben, sodass Zustände des Systems Linearkombinationen von Produkten sind$|\psi\rangle = |\psi_1\rangle|\psi_2\rangle$.

Zuerst definieren wir den Börsenbetreiber$P$auf Produkten von Zuständen als dem eindeutigen linearen Operator, der Faktoren von Produktzuständen "umdreht";

$$\begin{align} P|\psi_1\rangle|\psi_2\rangle = |\psi_2\rangle|\psi_1\rangle. \end{align}$$ Zweitens sei daran erinnert, dass der Zustand als (anti-)symmetrisch bezeichnet wird , wenn er vom Börsenbetreiber beeinflusst wird $P$, es wird mit a multipliziert $\pm$Vorzeichen (+ für symmetrisch und - für antisymmetrisch); $$\begin{align} P|\psi\rangle = \pm|\psi\rangle. \end{align}$$ Nehmen wir nun an, dass besagt $|\psi\rangle$Und $|\phi\rangle$beide antisymmetrisch sind, dann erhalten wir, wenn wir den Austauschoperator auf eine beliebige Linearkombination von ihnen anwenden $$\begin{align} P(a|\psi\rangle+b|\phi\rangle) &= aP|\psi\rangle + bP|\phi\rangle \\ &= a(\pm|\psi\rangle)+b(\pm|\phi\rangle) \\ &= \pm(a|\psi\rangle+b|\phi\rangle). \end{align}$$ Dies zeigt, dass jede lineare Kombination von ihnen die Eigenschaft hat, dass der Börsenoperator, der auf diese lineare Kombination einwirkt, die lineare Kombination multipliziert mit a ergibt $\pm$Zeichen, also ist es auch (anti)symmetrisch!

Nachtrag. (Aufbau des Börsenbetreibers)

Oben haben wir den Austauschoperator als den eindeutigen linearen Operator definiert, dessen Wirkung auf (Tensor-)Produktzustände darin besteht, die Faktoren zu wechseln. Dass ein solcher Operator existiert und eindeutig ist, kann wie folgt bewiesen werden.

Der gesamte Hilbertraum sei$\mathcal H\otimes \mathcal H$. Lassen$\{|n\rangle\}$Grundlage sein für$\mathcal H$, dann der Satz$\{|n\rangle|m\rangle\}$ist eine Grundlage für$\mathcal H\otimes\mathcal H$, die sogenannte Tensorproduktbasis. Denken Sie daran, dass ein linearer Operator auf jeder Grundlage durch seine Aktion bestimmt wird. Daher gibt es einen eindeutigen linearen Operator$P$An$\mathcal H\otimes\mathcal H$Befriedigung der Immobilie

$$\begin{align} P|n\rangle|m\rangle = |m\rangle|n\rangle \end{align}$$ für alle Paare $(n,m)$. Das bleibt zu zeigen $P$schaltet die Tensorfaktoren für jeden Produktzustand um $|a\rangle|b\rangle$. Dies kann durch Erweitern des Zustands in jedem Faktor unter Verwendung der Basis erfolgen, die wir zum Definieren verwendet haben $P$folgendermaßen: $$\begin{align} P|a\rangle|b\rangle &= P\left(\sum_na_n|n\rangle\sum_m b_m|m\rangle\right)\\ &= P\left(\sum_{nm}a_nb_m|n\rangle|m\rangle\right)\\ &= \sum_{nm}a_nb_m P|n\rangle|m\rangle\\ &= \sum_{nm}a_nb_m |m\rangle|n\rangle\\ &=\sum_mb_m|m\rangle\sum_n a_n|n\rangle\\ &= |b\rangle|a\rangle. \end{align}$$

Eine Überlagerung von (anti)symmetrischen Zuständen ist immer (anti)symmetrisch, aber nicht unbedingt zerlegbar. Also dein

$$\frac{1}{2}[(\chi(A)\psi(B)\pm\psi(A)\chi(B))+(\phi(A)\eta(B)\pm\eta(A)\phi(B))]$$

können in das Formular eingetragen werden

$$\frac{1}{\sqrt2}(f(A,B)\pm f(B,A)).$$ aber in den meisten Fällen würden solche Funktionen nicht existieren $f_1$, $f_2$Das $f(A,B)=f_1(A)f_2(B)$.