Mathematische probabilistische Interpretation der Wahrscheinlichkeitsamplitude

Als Warnung komme ich aus einem "angewandten mathematischen" Hintergrund und habe so gut wie keine Kenntnisse in Physik. Das heißt, hier ist meine Frage:

Ich schaue mir die Möglichkeit an, Wahrscheinlichkeitsamplitudenfunktionen zu verwenden , um Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf Oberflächen darzustellen. Aus meiner Sicht ist eine Wahrscheinlichkeitsamplitudenfunktion eine Funktion ψ : Σ → C befriedigend ∫ Σ | ψ | 2 = 1 für irgendeine Domäne Σ (z. B. eine Oberfläche oder ein Teil davon R N )-- offensichtlich sind dies einige der Hauptobjekte, die in der Quantenphysik manipuliert werden! Mit anderen Worten, ψ ist eine komplexe Funktion, so dass | ψ | 2 ist eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion auf Σ .

Von diesem rein probabilistischen Standpunkt aus ist es möglich zu verstehen, warum es mehrere gibt ψ 's können dieselbe Wahrscheinlichkeitsdichte darstellen | ψ | 2 ? Was ist die allgemeinste physikalische Interpretation?

Das heißt, wenn ich irgendeine Funktion aufschreibe γ : Σ → C mit | γ ( X ) | = 1   ∀ X ∈ Σ , Dann | ψ γ | 2 = | ψ | 2 | γ | 2 = | ψ | 2 , und somit ψ Und ψ γ stellen dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung dar Σ . Warum ist diese Redundanz also mathematisch sinnvoll?

Wenn Sie mit der Wellenfunktion beginnen ψ γ , und nach einer Schrödinger-Gleichung entwickeln, wird sich die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung anders entwickeln, als wenn man einfach mit beginnt ψ , und entwickeln es gemäß der Schrödinger-Gleichung. So ψ Und ψ γ sind physikalisch unterschiedliche Zustände. (Die einzige Ausnahme ist, wenn γ ( X ) ist für alle gleich X .) Warum die Physik so funktioniert, weiß niemand.
Wenn sich diese beiden Wellenfunktionen unterschiedlich entwickeln, müssen sie auf unterschiedliche Weise aussagekräftig sein – trotz der Tatsache, dass sie beide dieselbe Verteilung erzeugen | ψ | 2 . Ich versuche, die Bedeutung dieser zusätzlichen Informationen herauszufinden und zu sehen, ob es einen rein mathematischen Grund gibt, warum sie vorhanden sein sollten, anstatt auf Experimente oder ein bestimmtes physikalisches Beispiel oder eine bestimmte Anordnung zurückzugreifen.
Mit Ihrem Hintergrund sind Sie vielleicht mit Quaternionen vertraut. Im Wesentlichen sind dies nur die Wellenfunktionen für ein Single-Spin- oder 2-Level-System. Man braucht alle komplexen Freiheitsgrade, um den Zustand zu beschreiben. Siehe en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere und en.wikipedia.org/wiki/Hopf_fibration

Antworten (2)

Verschiedene Wellenfunktionen mit dem gleichen | ψ ( X ) | 2 stellen unterschiedliche physikalische Zustände dar (sofern sie nicht proportional sind). Unterschiedliche Zustände bedeutet, dass man bei mindestens einer Art von Messungen unterschiedliche messbare Ergebnisse erhält.

Das gleiche | ψ ( X ) | 2 ergibt die gleiche Wahrscheinlichkeitsdichte (nur) für Positionsmessungen, aber im Allgemeinen nicht für Messungen anderer Observablen wie Impuls. Für die Impulswahrscheinlichkeitsdichte zählen die absoluten Quadrate der Fourier-Transformation, und diese unterscheidet sich normalerweise, wenn nur die | ψ ( X ) | 2 sind gleich.

Der mathematische Inhalt der Wellenfunktion ist folgender (woraus obiges folgt): Das Skalarprodukt von ψ mit A ψ gibt den Erwartungswert des Operators an A für ein System im Zustand ψ . Wenn Sie zum Beispiel nehmen A mit der charakteristischen Funktion einer Region multipliziert werden R 3 Sie erhalten die Wahrscheinlichkeit, in dieser Region zu sein. Der Positionsoperator ist einfach Multiplikation mit X , während der Impulsoperator ein Vielfaches der Differentiation ist.

Um tiefer zu gehen, versuchen Sie mein Online-Buch http://lanl.arxiv.org/abs/0810.1019 , das für Mathematiker ohne physikalisches Hintergrundwissen geschrieben wurde.

Also die Funktion ψ codiert irgendwie Position und Geschwindigkeit/Impuls? Ich verstehe, dass es sich um verschiedene Zustände handelt, bin mir aber nicht sicher, wie ich die verschiedenen Zustände "lesen" soll. Was wissen wir über das Teilchen bei X relativ zum Teilchen bei j Wenn ψ ( X ) = 1 Und ψ ( j ) = 2 2 ( 1 + ich ) ? Gibt es eine mathematische Erklärung für das, was vor sich geht?
@JustinSolomon: Nichts. Die Wellenfunktion ist L 2 , was bedeutet, dass es nur bis zu beliebigen Änderungen auf einer Menge von Maß Null definiert ist. Du brauchst ψ ( X ) ist eine ganze Umgebung eines Punktes, um minimale Informationen abzuleiten.
Ich habe meiner Antwort die mathematische Erklärung hinzugefügt.
Danke, dass Sie den Link zu Ihrem Buch gepostet haben – es sieht eher nach einer Sprache aus, die ich vielleicht sprechen kann, also habe ich es heruntergeladen und werde es mir später heute auf einem Flug ansehen!

Die Redundanz ist nützlich, da die Phasen anscheinend eine physikalische Bedeutung haben und relative Phasen in einigen Situationen tatsächlich einen Unterschied in den Wahrscheinlichkeiten machen. Betrachten Sie zum Beispiel ein vereinfachtes Zwei-Spalt-Experiment. Wir haben einen Photonenemitter, der ein Photon auf zwei Schlitze feuert. Hinter den beiden Schlitzen befindet sich ein Detektor, der entweder feuert oder nicht feuert. (Wenn es nicht feuert, denken wir, dass das Photon den Detektor "verfehlt" hat und von etwas anderem absorbiert wurde.) Wir haben auch die Möglichkeit, zu versuchen und zu erkennen, durch welchen der Schlitze das Photon gegangen ist, oder es nicht zu versuchen und dies tun.

Lassen E stehen für "ein Photon wird emittiert", D steht für "der Detektor feuert" S ich stehen für "das Photon wurde beim Passieren des Schlitzes erkannt ich ." Wenn wir versuchen zu erkennen, durch welchen Schlitz das Photon gegangen ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Detektor feuert, hoch

P ( D | E ) = P ( S 1 | E ) P ( D | S 1 ) + P ( S 2 | E ) P ( D | S 2 ) ,
wie Sie es von der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie erwarten würden. Wenn wir wollen, können wir eine komplexe Zahl formal definieren A ( X | Y ) für jedes Paar von Ereignissen, so dass P ( X | Y ) = | A ( X | Y ) | 2 . Diese Definition weist eine gewisse Redundanz auf, da jede Wahl der Phase die gleiche Wahrscheinlichkeit ergibt. Jetzt haben wir
P ( D | E ) = | A ( S 1 | E ) A ( D | S 1 ) | 2 + | A ( S 2 | E ) A ( D | S 2 ) | 2 .
Beachten Sie, dass dies eine völlig nicht standardmäßige Notation ist, die Sie nirgendwo finden werden, aber es ist eine absolut vernünftige Möglichkeit, den Pfadintegralformalismus für diese Art von vereinfachtem System auszudrücken.

Wenn wir nicht versuchen zu erkennen, welchen Schlitz das Photon passiert hat, damit es während seiner gesamten Reise isoliert bleibt, dann ist es etwas anders. Jetzt stellt sich heraus, dass wir anstelle des obigen Ausdrucks haben

P ( D | E ) = | A ( S 1 | E ) A ( D | S 1 ) + A ( S 2 | E ) A ( D | S 2 ) | 2 ,
für eine bestimmte Wahl der Zahlen A ( S ich | E ) Und A ( D | S ich ) oben definiert . Beachten Sie, dass dies größer oder kleiner sein kann als die "klassische" P ( D | E ) , abhängig von den relativen Phasen von A ( S 1 | E ) A ( D | S 1 ) Und A ( S 2 | E ) A ( D | S 2 ) . Daher führen die unterschiedlichen Phasen zu unterschiedlichen physikalischen Vorhersagen, und ein Teil der Stärke der Quantentheorie besteht darin, dass sie Ihnen tatsächlich diese relativen Phasen mitteilt.

Dieses Argument zeigt, dass es eine physikalische Interpretation der Phasen geben muss , aber es sagt Ihnen nicht, was diese physikalische Interpretation tatsächlich ist . Ich fürchte, ich weiß die Antwort auf diese Frage nicht.

Dies ist eine sehr klare Erklärung einiger der Phänomene, die ich nicht verstehen konnte – danke! Wie Sie bereits erwähnt haben, sind die zweite und dritte Gleichung für P ( D | E ) ergeben unterschiedliche Werte, wobei der dritte das Ergebnis davon ist, dass nicht versucht wurde, den Schlitz zu erkennen. Gibt es eine probabilistische Erklärung, die sich hier versteckt? ZB dass die zweite Gleichung tatsächlich irgendwie davon abhängig ist , eine Beobachtung gemacht zu haben, die ein gewisses Maß an probabilistischer Unabhängigkeit hinzufügt oder entfernt?
Beachten Sie, dass relative Phasen eine Bedeutung haben, die absoluten Phasen jedoch nicht. Dies ist jedoch nicht der einzige Ort in der Physik, an dem man einen beliebigen Ausgangspunkt wählen kann, und die Leute beschäftigen sich im Allgemeinen nicht mit dem "Warum?" davon.
Aber hoffentlich gibt es zumindest eine Erklärung für die relative Phase?
@JustinSolomon ja, ich denke wirklich, der erste und der zweite Ausdruck sollten für sein P ( D | E , M ) und die dritte für P ( D | E , ¬ M ) , Wo M ist ein boolescher Wert, der wahr ist, wenn Sie gemessen haben, durch welchen Schlitz das Photon gegangen ist, und falsch, wenn nicht. Dann ist der dritte Ausdruck tatsächlich
P ( D | E , ¬ M ) = | A ( S 1 | E , M ) A ( D | S 1 , M ) + A ( S 2 | E , M ) A ( D | S 2 , M ) | 2 ,
mit der rechten konditioniert auf M statt ¬ M um anzuzeigen, dass die A 's selbst hängen nicht davon ab, ob die Messung durchgeführt wurde.
@JustinSolomon In Bezug auf eine Erklärung besteht das Problem darin, dass die historische Entwicklung von QM hauptsächlich in Form von wilden Vermutungen über die Durchführung der Berechnungen stattfand, die irgendwie schnell zu einem sehr erfolgreichen Formalismus konvergierten, den niemand richtig interpretieren konnte. Die Einstellung der meisten Physiker heute ist entweder „Halt die Klappe und rechne“ (d. h. es ist nicht Aufgabe eines Physikers, sich Gedanken darüber zu machen, was die Gleichungen eigentlich bedeuten) oder es heißt, dass keine Interpretation erforderlich ist und der Formalismus der QM bereits alles enthält, was Sie brauchen etwas über die Physik wissen.
Nicht jeder stimmt einer der oben genannten Positionen zu (ich sicherlich nicht), und die Interpretation von QM ist heute ein kleines, aber sehr aktives Feld. Es ist jedoch wirklich schwierig, und es gibt nichts Besseres als einen Konsens.
Interessant! Das macht es für uns angewandte Mathematiker ziemlich schwierig zu beurteilen, ob es für unsere eigene Forschung nützlich ist :-) . Ich frage mich, ob es jemanden gibt, der eine rein wahrscheinlichkeitstheoretische Einführung in die Quantenphysik gibt, irgendwie im Sinne dieses Dokuments: scottaaronson.com/democritus/lec9.html
@JustinSolomon hat viel von dem, was ich weiß, aus dem Kurs über Quantenverschränkungen von Leonard Susskind gelernt , der auf YouTube verfügbar ist. Es setzt weniger mathematische Vorkenntnisse voraus als Sie, aber es ist ziemlich gut, um sich auf die mathematische Struktur und nicht auf die Physik zu konzentrieren, und könnte das sein, wonach Sie suchen.
Mathematische probabilistische Interpretation der Wahrscheinlichkeitsamplitude
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