Diffusion von Wahrscheinlichkeitsamplituden

Nehmen wir an, ich habe eine Wahrscheinlichkeitsamplitude ψ : Σ → C für irgendeine Domäne Σ (So, ψ erfüllt ∫ Σ | ψ | 2 = 1 ). Gibt es eine Möglichkeit zu verwenden ψ als Anfangsbedingungen für die Diffusion von Wahrscheinlichkeitswerten?

Insbesondere gibt es eine PDE zum Berechnen einer Funktion ψ T mit ψ 0 ≡ ψ so dass die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung ρ T = | ψ T | 2 : Σ → R + erfüllt die Wärmegleichung Δ Σ ρ = ∂ ρ T ∂ T für Laplace Δ Σ (oder eine andere Diffusionsgleichung)?

Dieses Dokument scheint zu denken, dass es eine offene mathematische Frage sein könnte, zumindest für das "Anderson-Modell" der Diffusion (siehe zB Vermutung (iii) auf Seite 30), aber ich bin mir nicht sicher, ob ich es richtig lese. Meine Hoffnung war, dass es so einfach sein würde wie die Verwendung des Dirac-Operators D da es auf die richtige Weise wie die "Quadratwurzel" des Laplace-Operators aussieht, aber anscheinend sind die Dinge nicht so einfach!

[Diese Website war unglaublich nützlich für mich, um mich in diesem Bereich der Physik zurechtzufinden, trotz meines völligen Mangels an Hintergrundwissen. Ich entschuldige mich aufrichtig dafür, dass ich so viele Fragen gepostet habe, und schätze die Unterstützung aller wirklich!]

Was genau nimmst du Σ sein? und damit zusammenhängend, was meinst du mit Δ Σ ?
Ich werde tatsächlich nehmen Σ eine Oberfläche sein (denken Sie an eine Kugel und Schrift ψ auf der Grundlage von sphärischen Harmonischen). Aber als Mathematiker kann ich diesen Fall übersetzen – ein Beispiel mit Σ ⊆ R N ist vollkommen in Ordnung. Ich benutze Δ Σ um den Laplace-Operator zu bezeichnen, der der Domäne zugeordnet ist Σ -- zB auf R N es wäre Δ = ∑ ich ∂ 2 ∂ X ich 2 .

Antworten (2)

Dies ist keine Antwort auf Ihre Frage, aber ein enger Verwandter davon, vielleicht finden Sie es von Interesse. Die Schrödinger-Gleichung kann analytisch zur Wärmediffusionsgleichung fortgesetzt werden.

t->-i*t

Google kann Ihnen weitere Ausarbeitungen und Verweise zeigen.

Ja, diese Eigenschaft ist von Interesse, obwohl ich hoffe, etwas näher an der Diffusion von Wahrscheinlichkeitswerten zu finden.

Gute Frage. Es sieht so aus, als ob Sie nach der grundlegenden Frage fragen, wie sich Wahrscheinlichkeitsamplituden im Laufe der Zeit ändern, dh was die Mechanik der Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik ist. Wie Sie wissen, basiert die Schrödinger-Gleichung auf den Amplituden und am Ende beschäftigen wir uns mit den Wahrscheinlichkeiten P = | ψ | 2 . Wir arbeiten an den Amplituden und berechnen dann die Wahrscheinlichkeiten. Sie haben gefragt, ob wir nur die Arbeit an den Wahrscheinlichkeiten übernehmen können. Tatsächlich ist die Gleichung, die Sie geschrieben haben, der Schrödinger ohne Potential und abgesehen von den Wahrscheinlichkeiten nicht die Wellenfunktion. Wie wäre es, wenn Sie den Schrödinger und die Amplituden verwenden? Schließlich erhält man am Ende sowieso Wahrscheinlichkeiten.

Eine andere Sache, die ich erwähnen könnte, betrifft die Liouville-Mechanik. Das ist definitiv eine Mechanik der reinen Wahrscheinlichkeiten. Hier ein Ausschnitt aus Wikipedia:

 the density of system points in the vicinity of a given system point travelling through phase-space is constant with time.

Dies könnte darauf hindeuten, dass Wahrscheinlichkeiten nicht diffundieren.

Schauen Sie sich auch die Hamiltonsche Form der Liouville-Gleichung an:

∂ ρ ∂ T = { ρ , H } .

Das sieht jetzt wirklich nach einer netten Mechanik der Wahrscheinlichkeitsdichten aus.

Danke -- ich werde einen Blick in die Mechanik von Liouville werfen. In meiner Anwendung arbeite ich tatsächlich mit Objekten, die wie Wahrscheinlichkeitsamplituden aussehen ψ , also hoffe ich, Analoga von QM zu finden, die mir helfen können. Insbesondere hoffe ich, dass ich nicht auf all meine Mathematik umsteigen muss ρ weiter rechnen können ψ in einer Weise, die die beabsichtigte Wirkung (in diesem Fall Diffusion) hat ρ . Macht das Sinn?
Diffusion von Wahrscheinlichkeitsamplituden
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