Was wäre die richtige Verteilung, um die Anzahl der Teilchen in einem Zustand in einem kanonischen Ensemble zu modellieren?

Zählen, wie oft das System tatsächlich ist$n_i$value zu seinem erwarteten Wert kommt, wie Sie es im zweiten Teil tun, besteht darin, die Verteilung für den Schätzer des Parameters einer anderen Verteilung zu finden . Hier dreht sich alles um T, F und$\chi^2$Verteilungen kommt aus der Statistik, die sich angeblich auf Gaußsche Zufallsvariablen konzentriert.

Für die Verteilung von$n_i$was Sie eigentlich suchen, binomial ist richtig . ich werde nehmen$i = 1$ohne Beschränkung der Allgemeinheit und schreibe es als

$$\begin{equation} P(n_1) = \binom{N}{n_1} \left ( \frac{e^{-\beta E_1}}{Z_1} \right )^{n_1} \left ( 1 - \frac{e^{-\beta E_1}}{Z_1} \right )^{N - n_1}. \end{equation}$$ Um dies zu überprüfen, können wir auf die Brute-Force-Definition zurückgreifen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es$n_1$Partikel in der Ebene$1$? Es ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System in einem Mikrozustand befindet$n_1$Partikel in der Ebene$1$, summiert über alle diese Mikrozustände. Das heißt, wir nehmen die$N$Teilchen Partitionsfunktion $$\begin{equation} Z_N = Z_1^N = \sum_{n_1 + \dots + n_k = N} \binom{N}{n_1, \dots, n_k} e^{-\beta(n_1 E_1 + \dots + n_k E_k)} \end{equation}$$ und eine sehr ähnliche Summe wo durchführen$n_1$wird fest gehalten. $$\begin{align} P(n_1) &= Z_N^{-1} \sum_{n_2 + \dots + n_k = N - n_1} \binom{N}{n_1, \dots, n_k} e^{-\beta(n_1 E_1 + \dots + n_k E_k)} \\ &= Z_N^{-1} e^{-\beta n_1 E_1} \binom{N}{n_1} \sum_{n_2 + \dots + n_k = N - n_1} \binom{N - n_1}{n_2, \dots, n_k} e^{-\beta(n_2 E_2 + \dots + n_k E_k)} \\ &= Z_N^{-1} e^{-\beta n_1 E_1} \binom{N}{n_1} \left ( Z_1 - e^{-\beta E_1} \right )^{N - n_1} \\ &= Z_1^{-N} e^{-\beta n_1 E_1} \binom{N}{n_1} \left ( Z_1 - e^{-\beta E_1} \right )^{N - n_1} \end{align}$$ Nun folgt die Behauptung. Um von Zeile 2 nach 3 zu gelangen, mussten wir uns daran erinnern, dass die Ebene$E_1$war nicht mehr vorhanden, wodurch die kombinatorische Summe gleich einer Potenz einer korrigierten wurde$Z_1$.

Diskussion des alternativen Szenarios

Nachdem ich darüber geschlafen habe, denke ich, dass das von Ihnen beschriebene Experiment etwas rätselhafter ist als die Konstruktion eines Schätzers. Erstens, wenn ich sehe

$${^NC_\mu} \space\space(\frac{n_i}{N})^\mu \space\space (1-\frac{n_i}{N})^{N-\mu}$$

das ist eindeutig die Wahrscheinlichkeit, dass etwas passiert$\mu$mal. Sie interpretieren es jedoch als die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Variable gleich ist$n_i$indem Sie sagen, dass es von Hand normalisiert werden muss. Dies ist eine rote Fahne. Es ist üblich, dass physikalische Argumente uns nur sagen, „wozu Wahrscheinlichkeiten proportional sind“, aber Ideen wie das Gesetz der großen Zahlen sind mathematisch, nicht physikalisch.

Ich werde also versuchen, eine Analogie zu Münzen herzustellen. Es wird tatsächlich eine Analogie zur Formel sein

$${^NC_\mu} \space\space(\frac{1}{N})^\mu \space\space (1-\frac{1}{N})^{N-\mu}$$

weil ich nicht weiß, wie du kommst$n_i$so zu erscheinen, wie es tat. Einer der$N$Kopien hat$n_i$Teilchen im Zustand$i$. Nicht$n_i$des$N$Kopien.

Angenommen, Sie haben eine Münze gekauft, bei der mit hoher Wahrscheinlichkeit Kopf erscheint$p$und Zahl mit Wahrscheinlichkeit$1 - p$. Nach$N$Flips,$\mu = Np$ist die erwartete Anzahl von Köpfen. Nehmen wir nun an, Sie gehen in denselben Laden und kaufen dieselbe Münze erneut. Mit Ihren zwei identischen Münzen malen Sie über den Kopf der einen und den Schwanz der anderen und stecken sie in einen Hut.

In diesen Hut kann man greifen und mehrfach Münzen mit Ersatz ziehen und eine Verteilung aufbauen. Aber es gibt eine Münze von jedem Typ, also wird dies die Verteilung einer fairen Münze sein. Dh jeder Draw vom Hut ist wie ein 50-50 Flip, nicht ein$p$voreingenommener Flip. Nichts, was Sie mit dem Hut tun, gibt also Aufschluss über die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf in der ursprünglichen Aufgabe eine bestimmte Anzahl von Malen auftaucht.

Basierend auf dem Chat, den Kommentaren und den Antworten in dieser und einer verwandten Frage scheine ich die Hauptquelle meiner Verwirrung gefunden zu haben.

Das erste, woran man sich hier erinnern sollte, ist, dass unser System dynamisch ist. Dies bedeutet, dass sich aufgrund von Kollisionen und anderen Phänomenen jederzeit die Anzahl der Teilchen, die ein beliebiges Energieniveau einnehmen, ständig ändert und somit die Energie dieses Systems ständig schwankt. Dies gilt es zu beachten.

Bevor ich die Verwirrung weiter erklären kann, muss ich über die Quelle dieser Verwirrung sprechen, die von einem verwandten, aber völlig anderen Problem herrührt .

Bei dem obigen Problem hatte ich eine Tüte mit einer festen Anzahl Murmeln darin, und einige davon waren blau. Ich habe Stichproben verwendet, um die ungefähre Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, einen zufälligen Ball aufzuheben und ihn blau zu finden. Damit wollte ich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der blauen Murmeln im Beutel erstellen.

Der richtige Weg, um mit diesem Problem umzugehen, besteht darin, sich daran zu erinnern, dass die Anzahl der blauen Murmeln dazwischen liegen würde$0$Und$N$Wo$N$ist die Gesamtzahl der Murmeln. Also erschaffen wir$N+1$verschiedene Systeme gekennzeichnet von$0$Zu$N$, wobei das Label die Anzahl der blauen Murmeln im System angibt. Mit den dort in den Antworten besprochenen Methoden finden wir die erforderliche Verteilung. Kurz gesagt, was wir tun, ist, die Wahrscheinlichkeit von jedem von diesen zu finden$N+1$Systeme, unser ursprüngliches System zu sein (am ähnlichsten). Das würde uns indirekt die Wahrscheinlichkeit mitteilen, dass wir im ursprünglichen System eine unterschiedliche Anzahl von blauen Murmeln haben, dh unsere erforderliche Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Wenn Sie genau darüber nachdenken, haben wir hier gerade ein Ensemble geschaffen. Wir haben unser System durch ersetzt$N+1$identische Kopien, und versuchten herauszufinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit unser ursprüngliches System eine dieser Kopien ist.

Wir haben versucht, dieselbe Logik und Analogie für die Anzahl der Teilchen in einem bestimmten Energieniveau in unserem System zu verwenden. Es gab jedoch ein paar große Mängel, die die beiden Gehäuse ähnlich, aber nicht identisch machen.

Lassen Sie uns zuerst diese Mängel feststellen:

1. Bei den Murmeln ist das System nicht dynamisch. Die Anzahl der blauen Murmeln im Beutel, obwohl eine zufällige unbekannte Variable, ist fest, dh sie ändert sich nicht. Sie können sich vorstellen, dass die Zeit eingefroren ist. Bei unseren Teilchen ist das System jedoch, wie wir eingangs erwähnt haben, dynamisch, die Anzahl der Teilchen in einem Zustand ändert sich immer wieder.

Dies schafft ein Problem. Angenommen, Sie machen ein Ensemble mit$N+1$identische Zustände, genau wie das Marmorgehäuse. Im Marmorgehäuse war das ursprüngliche System jedoch statisch und daher das$N+1$Systeme waren auch konstant (unterscheidbar). Im Falle der Teilchen, da Ihr ursprüngliches System dynamisch ist, Ihr$N+1$Systeme müssen auch dynamisch sein. Wenn sie dynamisch sind, sind sie alle identisch, da sie sich alle ständig ändern, und Sie würden keine Antwort darauf erhalten, welche wahrscheinlicher ist und so weiter, weil Sie möglicherweise keine haben$N+1$verschiedene Antworten zur Auswahl.

Wie Sie sehen können, können Sie aus diesem Grund nicht die Argumentation verwenden, die Sie im Fall der Murmeln verwendet haben. Vielleicht, wenn Sie das gesamte System rechtzeitig mit einfrieren$N+1$kopieren, dann können Sie es verwenden, aber das wäre wertlos, sobald Sie dieses System "entsperren".

2. Der zweite Unterschied besteht darin, dass die Murmeln in einer Tüte nicht unabhängig voneinander sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine blaue Murmel aufheben, hängt davon ab, wie viele Murmeln im Beutel tatsächlich blau sind ( eine feste Anzahl ). In unserem Partikelfall haben wir angenommen, dass sie nicht interagieren. Daher kann jedes Teilchen als unabhängig von den anderen betrachtet werden.

Anstatt eine Analogie zwischen den Murmeln und den Partikeln zu finden, wäre es besser, diese Partikel mit einzelnen Würfeln zu vergleichen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Würfel eine Sechs würfeln würde, ist praktisch unabhängig davon, wie viele davon$N$andere identische Würfel im Raum, würfelte eine Sechs.

Eine andere Sache, die betont werden sollte, ist, dass die Farbe eines Marmors eine einzigartige Eigenschaft ist und festgelegt ist. Eine blaue Murmel wird nicht grün. Die Zahl auf einem Würfel ist jedoch nicht festgelegt. Ein Würfel kann bei jedem Wurf eine andere Zahl zeigen. Unsere Teilchen sind dynamisch, genau wie diese Würfel. Die physikalische Analogie zum Prüfen der Energie eines einzelnen Teilchens würde also nicht darin bestehen, eine Murmel aus einer Tüte Murmeln zu nehmen und die Wahrscheinlichkeit zu prüfen, dass sie blau ist. Es wäre eher so, als würde man zufällig einen Würfel aus einer Tüte voller Würfel nehmen und prüfen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass er eine Sechs „würfeln“ würde.

Wie Sie sehen können, hängt die erste Analogie von der Anzahl der blauen Murmeln ab. Denken Sie außerdem daran, dass die Murmeln, da sie eine einzigartige Farbe haben, sich voneinander unterscheiden, in gewissem Sinne sind sie unterscheidbar. Unsere Teilchen sind wie identische Würfel (voreingenommene Würfel, da niedrigere Energieniveaus wahrscheinlicher sind, aber dennoch identisch).

Daher hat die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einem bestimmten Zustand zu finden, nichts mit der tatsächlichen Anzahl von Teilchen in diesem Zustand zu tun. Es wäre wichtig gewesen, wenn die Teilchen eine feste Energie hätten - in diesem Fall wäre die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in diesem bestimmten Energiezustand zu finden, von der Anzahl der Teilchen in diesem Zustand abhängig gewesen. Da sie dynamisch sind, spielt es keine Rolle.

Da wir gezeigt haben, dass die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Teilchens, eine bestimmte Energie zu haben, unabhängig von allen anderen Teilchen ist, finden Sie die Wahrscheinlichkeit dafür$n$Teilchen die gleiche Energie haben, wird zu einem einfachen Problem, das mit der Binomialverteilung zusammenhängt. Die Wahrscheinlichkeit, dass$n$aus$N$Partikel sind in der$\epsilon_i$Staat, ist im Grunde die Suche nach der Wahrscheinlichkeit, dass jeder der$n$Teilchen in diesem Zustand sind, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass der Rest$N-n$von ihnen sind nicht in diesem Zustand. Wenn die Partikel dynamisch und unterscheidbar sind, müssen Sie außerdem die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten vervielfachen$n$Partikel aus$N$. Dies ist nichts anderes als die Binomialverteilung, die @Connor Behan in einer anderen Antwort abgeleitet hat.

PS Beachten Sie, dass ich das Wort unterscheidbar hier in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet habe. Im ersten Sinne können zwei verschiedene Murmeln oder zwei verschiedene Teilchen oder Würfel voneinander unterschieden werden. In diesem Sinne sind die Teilchen unterscheidbar. Obwohl zwei Würfel oder Partikel unterscheidbar sind, haben sie jedoch identische Eigenschaften. Tatsächlich haben alle Würfel und Partikel identische Eigenschaften, sie sind alle dynamisch und sie haben keine einzigartige Energie oder so etwas. In diesem Sinne sind die Teilchen identisch. Im Fall der Murmeln haben jedoch nicht alle Murmeln die gleiche Eigenschaft. Sie sind nicht nur voneinander unterscheidbar, wir wissen auch, dass sich blaue Murmeln von grünen Murmeln unterscheiden und so weiter. Sie sind also auch im Sinne ihrer Eigenschaften unterscheidbar. Die Teilchen sind in diesem Sinne identisch,