Scheinbares Paradoxon in der statistischen Mechanik

Die erste wichtige Sache, die es zu verstehen gilt, ist die Idee eines statistischen Ensembles . Was man tut, ist, ein reales physikalisches System – sagen wir eine Gaskiste auf einem Tisch – durch ein imaginäres Ensemble zu ersetzen, das aus einer riesigen (oder formal unendlichen) Anzahl von Kopien des Systems besteht, jede in einem anderen möglichen Mikrozustand, und ein Wahrscheinlichkeitsmaß , das jedem Mikrozustand (oder im unendlichen Fall jedem messbaren Satz von Mikrozuständen) eine Wahrscheinlichkeit zuweist, von dem zu modellierenden realen System besetzt zu sein. Von daher sprechen wir, wenn wir über die statistischen Eigenschaften unseres Systems sprechen, wirklich über die statistischen Eigenschaften des Ensembles .

Beim Gas in der Kiste könnte man zum Beispiel nach der Wahrscheinlichkeit fragen$P$dass sich >51 % der Gaspartikel in der linken Hälfte des Kästchens befinden. Um dies zu berechnen, würden wir zuerst jeden Mikrozustand zuweisen$\mu$eine Wahrscheinlichkeit$p_\mu$besetzt zu sein; von dort würden wir die Summe aller nehmen$p_\mu$entspricht Mikrozuständen, die die Bedingung > 51 % erfüllen. Wenn zum Beispiel alle Mikrozustände gleich wahrscheinlich sind, dann$P$ist nur die Anzahl der Mikrozustände, die die Bedingung von > 51 % erfüllen, dividiert durch die Gesamtzahl der Mikrozustände.

Wenn wir unsere Aufmerksamkeit wieder auf die Gaskiste auf dem Tisch vor uns richten, könnten wir dies interpretieren$P$auf zwei verschiedene Arten:

1. Es sagt uns, dass, wenn wir die Box messen$N$Mal sollten wir erwarten, dass es die >51%-Bedingung erfüllt$PN$Zeiten (siehe Frequentismus ).
2. Es gibt uns ein Maß für das Vertrauen, das wir haben sollten, dass, wenn wir die Box einmal messen, sie die >51%-Bedingung erfüllen wird (siehe Bayesianismus ).

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Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein einzelnes Teilchen im Zustand befindet$\epsilon_i$ist durch die Gibbs/Boltzmann-Wahrscheinlichkeit gegeben$P = e^{-\beta \epsilon_i}/Z$

Dies ist im Allgemeinen ein Missverständnis, gilt aber unter bestimmten Bedingungen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein System - das in thermischem Kontakt mit einem Reservoir steht - mit Temperatur$T$- befindet sich in einem Mikrozustand mit Energie$\epsilon_i$ist durch diesen Ausdruck gegeben, wobei die Zustandssumme die Summe über Mikrozustände ist $\mu$:

$$Z = \sum_{\mu\in\text{microstates}} e^{-\beta \epsilon_\mu}$$ Nehmen wir nun an, dass das System besteht aus$N$nicht wechselwirkende, identische Teilchen, von denen jedes einen Zustand aus einer Reihe von Zuständen einnehmen kann$\sigma$mit Energien$\mathcal E_\sigma$. Da die Energie des Mikrozustands des gesamten Systems$\epsilon_n$nur die Summe aller Einzelteilchenenergien ist, dann können wir die Summe neu anordnen, um sie zu erhalten $$Z = \sum_\mu e^{-\beta \epsilon_\mu} = \prod_{i\in\text{particles}}\sum_{\sigma\in\text{states}} e^{-\beta \mathcal E_\sigma}/N! = Z_1^N/N!$$ Wo$Z_1 = \sum_\sigma e^{-\beta \mathcal E_\sigma}$die "Einzelteilchen"-Teilungsfunktion und der Faktor von ist$N!$wurde eingefügt, um das Gibbs-Paradoxon aufzulösen . Im Wesentlichen betrachten wir ein einzelnes Teilchen als ein eigenständiges System.

Wenn wir dies tun, dann funktioniert Ihr Ausdruck - die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zustand$\sigma$mit Energie$\mathcal E_\sigma$tatsächlich von einem ausgewählten Teilchen besetzt ist$e^{-\beta E_\sigma}/Z_1$. Der Grund, warum dies unabhängig von allen anderen Teilchen im System ist, liegt darin, dass wir angenommen haben, dass die Teilchen nicht interagieren; Infolgedessen weiß kein Teilchen, was die anderen tun, und ihre Einzelteilchen-Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind voneinander unabhängig.

Auch wenn wir nie wissen können, wann dies geschieht, sagt uns unsere Intuition, dass die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in diesem Zustand zu finden, in diesem Fall 0 sein muss, da es per Definition keine Teilchen in diesem Zustand gibt, dh das System befindet sich in einem Mikrozustand mit 0 Partikel drin$e_i$. Aber selbst dann haben wir eine$p_i$Prozent Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in diesem Zustand zu finden. Wie kann ich dieses scheinbare Paradoxon auflösen?

Sie verwechseln das System mit dem Ensemble, das Sie verwenden, um es zu modellieren. Die Wahrscheinlichkeiten werden nicht aus dem realen System vor Ihnen auf dem Tisch berechnet; sie werden aus einem Ensemble identischer Systeme berechnet, die sich alle in unterschiedlichen Mikrozuständen befinden. Diese Wahrscheinlichkeit kann sowohl im frequentistischen als auch im Bayesschen Sinne interpretiert werden, ist aber in beiden Fällen keine Aussage über den tatsächlichen Zustand des tatsächlichen Systems auf Ihrem Tisch.

Eine mögliche Analogie mit einem Würfel wird erwogen$1,2,3,4,5,6$als Energieniveaus. Wenn wir einfach 600 Würfel auf einmal werfen, ist das wahrscheinlichste Ergebnis, dass jede Energiestufe auf ungefähr 100 Würfeln vorkommt. Die Energie des Systems beträgt ca$2100 (3,5 \times 600)$.

Wenn wir jedoch sagen, dass die Energie ist$1500$, und weisen Sie alle Ergebnisse als ungültig zurück, bei denen sich die Summe von unterscheidet$1500$, erhalten wir die typische Exponentialfunktion der Boltzmann-Verteilung. Die Häufigkeit von$1$ist und$2$'s wird größer sein als$5$ist und$6$'S.

Es ist die Einschränkung für die Gesamtenergie, die die Wahrscheinlichkeit jedes Energieniveaus auf das beschränkt, was es in der Boltzmann-Verteilung ist.