Angenommen, mein System hat Partikel, und ich möchte eine Verteilung für finden , die Anzahl der Teilchen in der Energiezustand.
Was ich weiß, ist die Boltzmann-Wahrscheinlichkeit, die mir die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der sich ein einzelnes Teilchen in einem bestimmten Energiezustand befindet, und mit bezeichnet wird . Ich kenne auch die erwartete Anzahl von Teilchen in einem System, gegeben durch .
Laut einigen Leuten, die ich gefragt habe, würde die Verteilung der Partikel einer Binomialverteilung folgen, bei der die Anzahl der Partikel im Zustand eine Zufallsvariable wäre. Daher wäre es gegeben durch:
Damit kann ich die Wahrscheinlichkeit jeder möglichen Besetzungszahl durch eine Binomialverteilung finden.
Physikalisch entspricht dies dem Pflücken Partikel aus dem System und Zählen der Anzahl der Partikel darin , und dann dieses Experiment viele Male wiederholen und die Häufigkeit jedes Werts von überprüfen . Aufgrund von Schwankungen können wir uns darauf verlassen ändert sich jedes Mal, wenn ich diesen Versuch mache. Es ist im Grunde wie die Verteilung der Köpfe in a Münzwürfe.
Es gibt jedoch eine zweite Verteilung, die mir in den Sinn kam. Wir wissen, dass das System haben kann Teilchen, wo reicht von Zu . Also überlegen wir verschiedene Systeme, beschriftet von Zu , wobei die Beschriftung die Anzahl der Partikel angibt Zustand dieses Systems zu einem bestimmten Zeitstempel. Nun prüfen wir die Wahrscheinlichkeit, dass jedes dieser Systeme das ursprüngliche System ist. Da diese Systeme eine feste Anzahl von jeweils erhalten wir indirekt die Verteilung der Anzahl der Teilchen des ursprünglichen Systems.
Was wir also überprüfen, ist die Wahrscheinlichkeit jedes dieser Systeme, uns a zu geben Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zufällig aufzuheben und es zu finden, liegt in der Zustand. In gewissem Sinne ist dies die Wahrscheinlichkeit der Wahrscheinlichkeiten.
Wie machen wir das ?
Nun, Sie wissen, dass die erwartete Anzahl von Teilchen im Energiezustand gegeben ist durch . Also nehmen wir jedes dieser Systeme und nehmen es heraus Partikel mit Ersatz, und zählen Sie die Anzahl der Partikel in diesem Zustand, und wiederholen Sie dieses Experiment viele Male. Wann auch immer aus Teilchen im gewünschten Zustand sind, werten wir es als Erfolg. Wir überprüfen die Erfolgshäufigkeit für jede davon Systeme. Dies würde uns eine Wahrscheinlichkeitsverteilung geben, welches System uns wie wahrscheinlich a geben wird Chance, ein zufälliges Teilchen aufzunehmen und es in einem bestimmten Zustand zu finden. Diese Verteilung wäre gegeben durch:
Diese Verteilung ist nicht normalisiert und sieht der Binomialverteilung sehr ähnlich. Dabei wird jedoch berücksichtigt, dass für jedes System die Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes Teilchen in einen bestimmten Zustand zu bringen, unterschiedlich wäre. Außerdem macht die physikalische Analogie auch in diesem Fall mehr Sinn.
Wie in meiner vorherigen Frage besprochen, ist die Boltzmann-Verteilung eher ein Schätzer der wahren Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einem bestimmten Zustand zu finden, wie von @Roger Vadim in dieser Antwort geschrieben . Anstatt also, dass die Verteilung der Partikel eine perfekte Boltzmann-Verteilung ist, sollte es nicht die Verteilung verschiedener Systeme sein, basierend darauf, wie wahrscheinlich die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein einzelnes Partikel hineinkommt Zustand in diesem System entspricht der Boltzmann-Wahrscheinlichkeit desselben.
Mit anderen Worten, sollte die zweite Verteilung nicht genauer sein?
Ich habe überprüft, dass die beiden Verteilungen bei großen Zahlen mehr oder weniger das gleiche Ergebnis liefern, aber ich wollte wissen, welche genauer ist.
Zählen, wie oft das System tatsächlich ist
value zu seinem erwarteten Wert kommt, wie Sie es im zweiten Teil tun, besteht darin, die Verteilung für den Schätzer des Parameters einer anderen Verteilung zu finden . Hier dreht sich alles um T, F und
Verteilungen kommt aus der Statistik, die sich angeblich auf Gaußsche Zufallsvariablen konzentriert.
Für die Verteilung von was Sie eigentlich suchen, binomial ist richtig . ich werde nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit und schreibe es als
Diskussion des alternativen Szenarios
Nachdem ich darüber geschlafen habe, denke ich, dass das von Ihnen beschriebene Experiment etwas rätselhafter ist als die Konstruktion eines Schätzers. Erstens, wenn ich sehe
das ist eindeutig die Wahrscheinlichkeit, dass etwas passiert mal. Sie interpretieren es jedoch als die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Variable gleich ist indem Sie sagen, dass es von Hand normalisiert werden muss. Dies ist eine rote Fahne. Es ist üblich, dass physikalische Argumente uns nur sagen, „wozu Wahrscheinlichkeiten proportional sind“, aber Ideen wie das Gesetz der großen Zahlen sind mathematisch, nicht physikalisch.
Ich werde also versuchen, eine Analogie zu Münzen herzustellen. Es wird tatsächlich eine Analogie zur Formel sein
weil ich nicht weiß, wie du kommst so zu erscheinen, wie es tat. Einer der Kopien hat Teilchen im Zustand . Nicht des Kopien.
Angenommen, Sie haben eine Münze gekauft, bei der mit hoher Wahrscheinlichkeit Kopf erscheint und Zahl mit Wahrscheinlichkeit . Nach Flips, ist die erwartete Anzahl von Köpfen. Nehmen wir nun an, Sie gehen in denselben Laden und kaufen dieselbe Münze erneut. Mit Ihren zwei identischen Münzen malen Sie über den Kopf der einen und den Schwanz der anderen und stecken sie in einen Hut.
In diesen Hut kann man greifen und mehrfach Münzen mit Ersatz ziehen und eine Verteilung aufbauen. Aber es gibt eine Münze von jedem Typ, also wird dies die Verteilung einer fairen Münze sein. Dh jeder Draw vom Hut ist wie ein 50-50 Flip, nicht ein voreingenommener Flip. Nichts, was Sie mit dem Hut tun, gibt also Aufschluss über die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf in der ursprünglichen Aufgabe eine bestimmte Anzahl von Malen auftaucht.
Basierend auf dem Chat, den Kommentaren und den Antworten in dieser und einer verwandten Frage scheine ich die Hauptquelle meiner Verwirrung gefunden zu haben.
Das erste, woran man sich hier erinnern sollte, ist, dass unser System dynamisch ist. Dies bedeutet, dass sich aufgrund von Kollisionen und anderen Phänomenen jederzeit die Anzahl der Teilchen, die ein beliebiges Energieniveau einnehmen, ständig ändert und somit die Energie dieses Systems ständig schwankt. Dies gilt es zu beachten.
Bevor ich die Verwirrung weiter erklären kann, muss ich über die Quelle dieser Verwirrung sprechen, die von einem verwandten, aber völlig anderen Problem herrührt .
Bei dem obigen Problem hatte ich eine Tüte mit einer festen Anzahl Murmeln darin, und einige davon waren blau. Ich habe Stichproben verwendet, um die ungefähre Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, einen zufälligen Ball aufzuheben und ihn blau zu finden. Damit wollte ich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der blauen Murmeln im Beutel erstellen.
Der richtige Weg, um mit diesem Problem umzugehen, besteht darin, sich daran zu erinnern, dass die Anzahl der blauen Murmeln dazwischen liegen würde Und Wo ist die Gesamtzahl der Murmeln. Also erschaffen wir verschiedene Systeme gekennzeichnet von Zu , wobei das Label die Anzahl der blauen Murmeln im System angibt. Mit den dort in den Antworten besprochenen Methoden finden wir die erforderliche Verteilung. Kurz gesagt, was wir tun, ist, die Wahrscheinlichkeit von jedem von diesen zu finden Systeme, unser ursprüngliches System zu sein (am ähnlichsten). Das würde uns indirekt die Wahrscheinlichkeit mitteilen, dass wir im ursprünglichen System eine unterschiedliche Anzahl von blauen Murmeln haben, dh unsere erforderliche Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Wenn Sie genau darüber nachdenken, haben wir hier gerade ein Ensemble geschaffen. Wir haben unser System durch ersetzt identische Kopien, und versuchten herauszufinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit unser ursprüngliches System eine dieser Kopien ist.
Wir haben versucht, dieselbe Logik und Analogie für die Anzahl der Teilchen in einem bestimmten Energieniveau in unserem System zu verwenden. Es gab jedoch ein paar große Mängel, die die beiden Gehäuse ähnlich, aber nicht identisch machen.
Lassen Sie uns zuerst diese Mängel feststellen:
Dies schafft ein Problem. Angenommen, Sie machen ein Ensemble mit identische Zustände, genau wie das Marmorgehäuse. Im Marmorgehäuse war das ursprüngliche System jedoch statisch und daher das Systeme waren auch konstant (unterscheidbar). Im Falle der Teilchen, da Ihr ursprüngliches System dynamisch ist, Ihr Systeme müssen auch dynamisch sein. Wenn sie dynamisch sind, sind sie alle identisch, da sie sich alle ständig ändern, und Sie würden keine Antwort darauf erhalten, welche wahrscheinlicher ist und so weiter, weil Sie möglicherweise keine haben verschiedene Antworten zur Auswahl.
Wie Sie sehen können, können Sie aus diesem Grund nicht die Argumentation verwenden, die Sie im Fall der Murmeln verwendet haben. Vielleicht, wenn Sie das gesamte System rechtzeitig mit einfrieren kopieren, dann können Sie es verwenden, aber das wäre wertlos, sobald Sie dieses System "entsperren".
Anstatt eine Analogie zwischen den Murmeln und den Partikeln zu finden, wäre es besser, diese Partikel mit einzelnen Würfeln zu vergleichen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Würfel eine Sechs würfeln würde, ist praktisch unabhängig davon, wie viele davon andere identische Würfel im Raum, würfelte eine Sechs.
Eine andere Sache, die betont werden sollte, ist, dass die Farbe eines Marmors eine einzigartige Eigenschaft ist und festgelegt ist. Eine blaue Murmel wird nicht grün. Die Zahl auf einem Würfel ist jedoch nicht festgelegt. Ein Würfel kann bei jedem Wurf eine andere Zahl zeigen. Unsere Teilchen sind dynamisch, genau wie diese Würfel. Die physikalische Analogie zum Prüfen der Energie eines einzelnen Teilchens würde also nicht darin bestehen, eine Murmel aus einer Tüte Murmeln zu nehmen und die Wahrscheinlichkeit zu prüfen, dass sie blau ist. Es wäre eher so, als würde man zufällig einen Würfel aus einer Tüte voller Würfel nehmen und prüfen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass er eine Sechs „würfeln“ würde.
Wie Sie sehen können, hängt die erste Analogie von der Anzahl der blauen Murmeln ab. Denken Sie außerdem daran, dass die Murmeln, da sie eine einzigartige Farbe haben, sich voneinander unterscheiden, in gewissem Sinne sind sie unterscheidbar. Unsere Teilchen sind wie identische Würfel (voreingenommene Würfel, da niedrigere Energieniveaus wahrscheinlicher sind, aber dennoch identisch).
Daher hat die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einem bestimmten Zustand zu finden, nichts mit der tatsächlichen Anzahl von Teilchen in diesem Zustand zu tun. Es wäre wichtig gewesen, wenn die Teilchen eine feste Energie hätten - in diesem Fall wäre die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in diesem bestimmten Energiezustand zu finden, von der Anzahl der Teilchen in diesem Zustand abhängig gewesen. Da sie dynamisch sind, spielt es keine Rolle.
Da wir gezeigt haben, dass die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Teilchens, eine bestimmte Energie zu haben, unabhängig von allen anderen Teilchen ist, finden Sie die Wahrscheinlichkeit dafür Teilchen die gleiche Energie haben, wird zu einem einfachen Problem, das mit der Binomialverteilung zusammenhängt. Die Wahrscheinlichkeit, dass aus Partikel sind in der Staat, ist im Grunde die Suche nach der Wahrscheinlichkeit, dass jeder der Teilchen in diesem Zustand sind, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass der Rest von ihnen sind nicht in diesem Zustand. Wenn die Partikel dynamisch und unterscheidbar sind, müssen Sie außerdem die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten vervielfachen Partikel aus . Dies ist nichts anderes als die Binomialverteilung, die @Connor Behan in einer anderen Antwort abgeleitet hat.
PS Beachten Sie, dass ich das Wort unterscheidbar hier in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet habe. Im ersten Sinne können zwei verschiedene Murmeln oder zwei verschiedene Teilchen oder Würfel voneinander unterschieden werden. In diesem Sinne sind die Teilchen unterscheidbar. Obwohl zwei Würfel oder Partikel unterscheidbar sind, haben sie jedoch identische Eigenschaften. Tatsächlich haben alle Würfel und Partikel identische Eigenschaften, sie sind alle dynamisch und sie haben keine einzigartige Energie oder so etwas. In diesem Sinne sind die Teilchen identisch. Im Fall der Murmeln haben jedoch nicht alle Murmeln die gleiche Eigenschaft. Sie sind nicht nur voneinander unterscheidbar, wir wissen auch, dass sich blaue Murmeln von grünen Murmeln unterscheiden und so weiter. Sie sind also auch im Sinne ihrer Eigenschaften unterscheidbar. Die Teilchen sind in diesem Sinne identisch,
RayPalmer
Connor Behan
RayPalmer
RayPalmer
RayPalmer
RayPalmer
RayPalmer
RayPalmer
Connor Behan
RayPalmer
RayPalmer
Connor Behan
RayPalmer
RayPalmer
RayPalmer
RayPalmer