Frage zu einer Grenze von Gaußschen Integralen und wie sie sich auf die Pfadintegration bezieht (falls überhaupt)?

Unser Plan einer Antwort ist wie folgt. Zunächst führen wir die Plancksche Konstante ein$\hbar$damit der besondere Wert$\hbar=1$entspricht dem ursprünglichen Problem. Zweitens erwähnen wir eine Verbindung zur (von Physikern oft so bezeichneten) Gruppeneigenschaft von Feynman-Pfadintegralen. Drittens werden wir zeigen, dass die gesuchte Formel zufällig der klassische "Instanton"-Beitrag in einer Sattelpunkt/steilsten Abstieg-asymptotischen Entwicklung ist, der gültig wird als$\hbar\to 0$. Uns ist derzeit nicht bekannt, ob halbklassische Lokalisierungsmethoden angewendet werden können, um die Erweiterung Sattelpunkt/steilster Abstieg zu rechtfertigen, und wir werden hier nicht versuchen, eine Rechtfertigung zu finden.

Kommen wir nun zur Sache. Endpunkte definieren$x_0\equiv x>0$Und$x_{n+1}\equiv t>0$. Wir beginnen mit der Einführung der Planckschen Konstante$\hbar$in die$u_n$Funktion in Gl. (1.9) von arXiv:1102.4729 ,

$$u_n(x,t,\hbar) ~:=~\left[\prod_{j=1}^n 2 \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}x_j}{\sqrt{\hbar}}\right] \prod_{i=1}^{n+1}\frac{e^{-\frac{x_{i-1}^2}{2\hbar x_i}}}{\sqrt{2 \pi x_i}}. \tag{1.9$\hbar$}$$ Insbesondere z$n=0$, wir haben

$$u_{n=0}(x,t,\hbar) ~=~\frac{e^{-\frac{x^2}{2\hbar t}}}{\sqrt{2 \pi t}}.$$

Der$u_n$Funktion genießt verschiedene Skalierungs-/Homogenitätseigenschaften,

$$\begin{align} u_n( x,t,\hbar) ~=~&\sqrt{\lambda} u_n(\lambda x,\lambda t,\lambda\hbar) \cr ~=~& \lambda u_n(\lambda x,\lambda^{2^{n+1}} t,\hbar) \cr ~=~& \sqrt{\lambda} u_n( x,\lambda^{2^n} t,\frac{\hbar}{\lambda}), \qquad \lambda~>~0. \end{align} \tag{H}$$

Mit Hilfe der ersten Homogenitätseigenschaft in Gl. ($H$), können wir das entsprechende sofort ableiten$\hbar$Verallgemeinerung von Gl. (3.14) in arXiv:1102.4729,

$$\lim_{n\to \infty}u_n(x,t,\hbar) ~=~\frac{1}{\sqrt{\hbar}}e^{-\frac{2x}{\hbar}}. \tag{3.14$\hbar$}$$

Die Frage ist also im Grunde , wie wir Gl. (3.14$\hbar$) körperlich? Um zu einer Pfadintegralinterpretation zu gelangen, beachten wir, dass die$u_n$Funktion hat (was Physiker oft nennen) eine Gruppeneigenschaft,

$$u_{n+1+m}(x,z,\hbar) ~=~ 2 \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{\hbar}} u_{n}(x,y,\hbar)u_{m}(y,z,\hbar), \tag{G}$$

in enger Analogie zum Feynman-Propagator$K(x_f,t_f;x_i,t_i)$mit

$$K(x_3,t_3;x_1,t_1) ~=~ \int_{-\infty}^{\infty}\!\mathrm{d}x_2 ~ K(x_3,t_3;x_2,t_2) K(x_2,t_2;x_1,t_1).$$

Also die "Summe der Geschichten" aus$x$Zu$z$kann durch Integration über einen Zwischenpunkt berechnet werden$y$. Der$n$im$u_n$Funktion spielt die Rolle einer diskretisierten Zeitvariablen. Als Konsistenzprüfung ist es leicht zu sehen (durch Ausführen einiger elementarer Integrale), dass die rechte Seite von Gl. (3.14$\hbar$),

$$u_{n=\infty}(x,t,\hbar) ~=~\frac{1}{\sqrt{\hbar}}e^{-\frac{2x}{\hbar}} \qquad \left(~\to~ \sqrt{2\pi x} \delta(x) \quad \mathrm{for} \quad \hbar ~\to~ 0\right),$$

löst tatsächlich die Gruppengleichung$(G)$in den besonderen Fällen$n,m=0,\infty$,

$$\begin{align} u_{\infty}(x,z,\hbar) ~=~& 2 \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{\hbar}} u_{\infty}(x,y,\hbar) u_{\infty}(y,z,\hbar) \cr ~=~& 2 \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{\hbar}} u_{\infty}(x,y,\hbar) u_{0}(y,z,\hbar)\cr ~=~& 2 \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{\hbar}} u_{0}(x,y,\hbar) u_{\infty}(y,z,\hbar).\end{align}$$

Als nächstes führen Sie Gaußsche Impulse ein$p_1, \ldots,p_{n+1},$mit

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}p_i}{2\pi\sqrt{\hbar}}e^{-\frac{1}{2\hbar}x_ip_i^2} ~=~ \frac{1}{\sqrt{2 \pi x_i}}, \qquad x_i~>~0.$$

Dann ist die$u_n$Funktion wird

$$u_n(x,t,\hbar) ~=~ \left[\prod_{j=1}^n 2\int_0^{\infty}\frac{\mathrm{d}x_j}{\sqrt{\hbar}}\right]\left[\prod_{i=1}^{n+1}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}p_i}{2\pi\sqrt{\hbar}}\right]e^{-\frac{S}{\hbar}},$$

mit euklidischer Phasenraumwirkung

$$S~:=~\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n+1}\left(\frac{x_{i-1}^2}{x_i}+x_i p_i^2\right).$$

Wenden wir uns nun der asymptotischen Erweiterung Sattelpunkt/steilster Abstieg zu. Die klassischen Bewegungsgleichungen sind

$$0 ~\approx~ \frac{\partial S}{\partial p_i} ~=~ x_i p_i,$$

$$0 ~\approx~ \frac{\partial S}{\partial x_i} ~=~ \frac{x_i}{x_{i+1}}-\frac{x_{i-1}^2}{2x_i^2} + \frac{p_i^2}{2},$$

wo wir verwenden$\approx$Zeichen statt$=$Zeichen, um hervorzuheben, wenn klassische Bewegungsgleichungen angewendet wurden. Die klassische Lösung ist

$$p_i ~\approx~ 0, \qquad q_i ~\approx~ q_{i-1}^2,$$

wo wir definiert haben$q_i :=\frac{x_i}{2x_{i+1}}$. So$q_i \approx q_{i-1}^2 \approx q_{i-2}^4 \approx \ldots \approx q_0^{2^i}$. Jetzt das Teleskopprodukt

$$\prod_{i=0}^n 2q_i ~=~\prod_{i=0}^n\frac{x_i}{x_{i+1}}~=~\frac{x_0}{x_{n+1}}=\frac{x}{t},$$

wird durch Randbedingungen festgelegt$x$Und$t$. So

$$q_0^{2^{n+1}-1}~=~q_0^{\sum_{i=0}^n 2^{i}} ~\approx~\prod_{i=0}^n q_i ~=~\frac{x}{2^{n+1}t},$$

und damit ist die eindeutige klassische Lösung

$$q_i ~\approx~ \left( \frac{x}{2^{n+1}t} \right)^{\frac{2^i}{2^{n+1}-1}} ~\to~ 1 \qquad \mathrm{for} \qquad n ~\to ~\infty.$$

Also klassisch$x_i \approx 2^{-i}x$für$n=\infty$. Der klassische Wert der Aktion ist

$$S_{\mathrm{cl}} ~\approx~ \sum_{i=0}^{n} x_i q_i ~\to~ x\sum_{i=0}^{\infty}2^{-i} ~=~2x \qquad \mathrm{for} \qquad n ~\to~ \infty,$$

also der klassische "instanton"-beitrag$e^{-\frac{S_{\mathrm{cl}}}{\hbar}}$zufällig die rechte Seite von Gl. (3.14$\hbar$), bis a$\sqrt{\hbar}$Faktor. Das ist unsere Hauptbeobachtung.

Eine vollständigere Behandlung würde nun die Einschleifen-Van-Vleck-Determinante berechnen$\det(\partial^2S)$im Sattelpunkt/steilsten Abstieg asymptotische Expansion. An dieser Stelle seien nur einige weitere Bemerkungen gemacht. Der Hesse$\partial^2 S$der Aktion ist

$$\frac{\partial^2 S}{\partial x_i\partial x_j} ~=~\delta_{i,j}\left(\frac{1}{x_{i+1}}+\frac{x_i^2}{x_{i+1}^3}\right)-\delta_{i+1,j}\frac{x_i}{x_j^2}-\delta_{i-1,j}\frac{x_j}{x_i^2},$$

$$\frac{\partial^2 S}{\partial p_i\partial x_j} ~=~ \frac{\partial^2 S}{\partial x_i\partial p_j} ~=~ \delta_{i,j}p_i\approx 0, \qquad \frac{\partial^2 S}{\partial p_i\partial p_j} ~=~ \delta_{i,j}x_i.$$

Seit wir ... Haben$n+1$Momente$p_i$, aber nur$n$Positionen$x_i$, würden wir naiverweise die Van-Vleck-Determinante erwarten$\det(\partial^2S) \sim x$proportional sein zu$x$auf der Schale. Dies würde bedeuten, a$1/\sqrt{x}$Faktor bei der Erweiterung. Es wäre interessant, eine detaillierte Berechnung der Van-Vleck-Determinante zu sehen$\det(\partial^2S)$.

Die Verwendung von Funktionsintegralen zum Beschreiben von Zufallsprozessen ist bekannt. Die Lösung einer stochastischen Gleichung vom Typ:

$$dX_t = b(X_t)dt + \sigma(X_t)dW_t$$ ist durch das sogenannte Onsager-Machlup-Funktional gegeben . Die Äquivalenz dieses Ansatzes zur üblichen Fokker-Planck-Gleichung wird in Riskens Buch über FPE diskutiert und im Finanzbereich weit verbreitet. Kleinerts Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets enthält ebenfalls ein Kapitel zu diesem Thema.