Interpretation: Wahrscheinlichkeitsform Wahrscheinlichkeitsamplitude (freies Teilchen)

Question

Interpretation: Wahrscheinlichkeitsform Wahrscheinlichkeitsamplitude (freies Teilchen)

Physik
geboren-Regel
Wahrscheinlichkeit
Wegintegral
Quantenmechanik
Quanteninterpretationen

André

Wenn Sie die Wahrscheinlichkeitsamplitude eines freien 1D-nicht-relativistischen Teilchens mit Masse berechnen $m$ , befindet sich an Position $x_0$ zum Zeitpunkt $t_0$ , um an anderer Stelle entdeckt zu werden $x_N$ zum Zeitpunkt $t_N$ Sie werden feststellen, dass es von gegeben wird

M = ⟨ X_{N} | e^{- \frac{ich}{ℏ} \frac{P^{2}}{2 M} (T_{N} - T_{0})} | X_{0} ⟩ = {(\frac{M}{2 π ich ℏ (T_{N} - T_{0})})}^{1 / 2} e^{\frac{ich}{ℏ} \frac{M}{2} \frac{(X_{N} - X_{0})^{2}}{T_{N} - T_{0}}}

$\mathcal{M} = \left\langle x_N \right| \text{e}^{-\frac{\text{i}}{\hbar} \frac{P^2}{2m}(t_N-t_0)}\left| x_0\right\rangle =\left(\frac{m}{2\pi\text{i}\hbar\ (t_N-t_0)}\right)^{1/2} \text{e}^{\frac{\text{i}}{\hbar}\frac{m}{2}\frac{(x_N-x_0)^2}{t_N-t_0}}$ Wenn ich nun die entsprechende Wahrscheinlichkeit(sdichte) nach berechne

P = {| M |}^{2} = M M^{*} = \frac{M}{2 π ℏ (T_{N} - T_{0})}

$P = \left|\mathcal{M}\right|^2 = \mathcal{M} \mathcal{M}^* = \frac{m}{2\pi\hbar\ (t_N-t_0)}$ irgendwie fällt mir auf, dass es nicht auf die entfernung ankommt

(x_{N} - x_{0})

$(x_N-x_0)$ überhaupt. Bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu entdecken, überall gleich ist? Ich erwartete so etwas wie die Initiale (dh

t_{N} \to t_{0}

$t_N \rightarrow t_0$ ) Delta-Funktion "schmelzt weg" wie ein Gaußsches Wellenpaket ... Kann mir jemand sagen, was die richtige Interpretation ist

P

$P$ sollte sein?

Ján Lalinský

Sie können ein Gaußsches Wellenpaket beschreiben, das bei zentriert ist

r_{0}

$r_0$ mit Positionsabweichung

σ

$\sigma$ , wenn Sie mit der Anfangsbedingung beginnen

ψ_{0} (x_{0}, t_{0}) = \frac{1}{\sqrt{\sqrt{2 π} σ}} e^{- \frac{(x_{0} - r_{0})^{2}}{4 σ^{2}}}

$\psi_0(x_0,t_0) = \frac{1}{\sqrt{\sqrt{2\pi}\sigma}} e^{-\frac{(x_0-r_0)^2}{4\sigma^2}}$ . Sie können dann seine Zeitentwicklung finden, indem Sie das Integral unten berechnen.

Antworten (2)

Interpretation: Wahrscheinlichkeitsform Wahrscheinlichkeitsamplitude (freies Teilchen)

Sie können ein Gaußsches Wellenpaket beschreiben, das bei zentriert ist $r_0$ mit Positionsabweichung $\sigma$ , wenn Sie mit der Anfangsbedingung beginnen $\psi_0(x_0,t_0) = \frac{1}{\sqrt{\sqrt{2\pi}\sigma}} e^{-\frac{(x_0-r_0)^2}{4\sigma^2}}$ . Sie können dann seine Zeitentwicklung finden, indem Sie das Integral unten berechnen.

Ján Lalinský · Answer 1

Bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu entdecken, überall gleich ist?

Nein, tut es nicht. Dies ist ein ziemlich häufiger Fehler, der von der Vorstellung herrührt, dass die Grünen funktionieren $\mathcal{M}$ kann in der Rolle des verwendet werden $\psi$ Funktion der freien Teilchen mit der Born-Interpretation von $|\psi|^2$ als Wahrscheinlichkeitsdichte. Das ist aber nicht möglich, da $\mathcal{M}$ ist nicht normalisierbar.

Die Quantität $\mathcal{M}$ ist einfach die Green-Funktion der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen. Es kann verwendet werden, um auszudrücken $\psi$ Funktion des Teilchens zur Zeit $t$ als

ψ (X, T) = \int M (X, T; X_{0}, T_{0}) ψ_{0} (X_{0}, T_{0}) D X_{0}

$\psi(x,t) = \int \mathcal{M}(x,t;x_0, t_0) \psi_0(x_0,t_0) dx_0$ Wo

ψ_{0} (x_{0}, t_{0})

$\psi_0(x_0,t_0)$ ist anfänglich normalisiert

ψ

$\psi$ Funktion zur Zeit

t_{0}

$t_0$ .

Ist es dann auch ungültig zu nehmen $\psi$ im Integral als Ortsoperator-Eigenfunktion?
Der Positionsoperator hat keine normalisierbare Eigenfunktion. Die Deltaverteilung wird oft als ihre Eigenfunktion bezeichnet, ist aber nicht normalisierbar. Wir können es in das Integral einsetzen, aber das Ergebnis $\psi$ wird auch nicht normalisierbar sein.
Bedeutet das, dass es für ein Teilchen wirklich UNMÖGLICH ist, sich in einem Positionsoperator-Eigenzustand zu befinden?
Es ist unmöglich, wenn wir mit der Born-Interpretation von arbeiten $|\psi|^2$ als Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wenn wir diese Interpretation fallen lassen und verstehen $\psi$ auf andere Weise könnte es möglich sein, dass die Delta-Verteilungen die gleiche Rolle wie normalisierbar spielen $\psi$ 'S. Oder wir könnten ein neues Objekt einführen, $\sqrt{\delta}$ , um die Rolle von normierbaren Ortseigenfunktionen zu spielen. Aber nichts davon scheint zu viel neuem Verständnis zu führen. Eine Möglichkeit, sich mit dieser Situation zu versöhnen, besteht darin, die Vorstellung fallen zu lassen, dass die Messung von Positionen die $\psi$ Funktionen zur Eigenfunktion des Operators $\hat x$ .
Vielen Dank für die Aufklärung dieser Fragen! Haben Sie zufällig Literaturvorschläge zu diesem Thema? Mich würde besonders interessieren, bis zu welchem Grad an mathematischer Strenge es möglich ist, "normalisierbare Positionseigenzustände" einzuführen, und welche Auswirkungen ein solcher Ansatz hätte.
In der gewöhnlichen Quantentheorie kenne ich keine gute Referenz. In der Quantenfeldtheorie spricht man viel mehr von Diskretisierung – statt kontinuierlichem Raum wird die Theorie für diskrete Gitter formuliert und der Abstand erst gegen Ende der Berechnung auf Null gesetzt. Eine wichtige Implikation davon scheint zu sein, dass es nach der Diskretisierung des Raums schwierig ist, die Theorie mit dem Relativitätsprinzip in Einklang zu bringen (Gitter ist nicht symmetrisch in Bezug auf Rotationen, Änderung der Rahmengeschwindigkeit führt zu Längenkontraktionen des Gitters usw.).

QMechaniker · Answer 2

Der Feynman - Propagator /Kernel/Amplitude ist, wie OP schreibt,

\begin{matrix} (1) & ⟨ X_{F}, T_{F} | X_{ich}, T_{ich} ⟩ = \sqrt{\frac{M}{2 π ich ℏ} \frac{1}{Δ T}} \exp [\frac{ich M}{2 ℏ} \frac{(Δ X)^{2}}{Δ T}], \end{matrix}

$\tag{1} \langle x_f ,t_f | x_i ,t_i \rangle~=~ \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar} \frac{1}{\Delta t}} \exp\left[ \frac{im}{2\hbar}\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}\right],$

Wo $\Delta x:=x_f-x_i$ Und $\Delta t:=t_f-t_i > 0$ . Es ist implizit in Gl. (1), dass man den Feynman ausführen sollte $i\epsilon$ Verschreibung. Genauer gesagt sollte man ersetzen $\Delta t\to\Delta t-i\epsilon$ , dh die $\Delta t\in\mathbb{C}$ in Gl. (1) befindet sich tatsächlich direkt unterhalb der realen Achse im Komplex $\Delta t$ Ebene. Das $i\epsilon$ Die Vorschrift stellt sicher, dass der Propagator (1) in der kurzen Zeit zu einer Dirac-Delta-Verteilung wird:

\begin{matrix} (2) & ⟨ X_{F}, T_{F} | X_{ich}, T_{ich} ⟩ ⟶ δ (Δ X) für Δ T \to 0^{+} . \end{matrix}

$\tag{2} \langle x_f ,t_f | x_i ,t_i \rangle ~\longrightarrow~\delta(\Delta x) \quad \text{for} \quad \Delta t \to 0^{+}.$

Wie in Ref. erläutert. 1 gibt es keinen absoluten Wahrscheinlichkeitsbegriff, da der Ortsraum nicht kompakt ist, sondern einen relativen Wahrscheinlichkeitsbegriff. Die relative Wahrscheinlichkeitsverteilung im Ortsraum wird einheitlich

P (X_{F}, T_{F}; X_{ich}, T_{ich}) = | ⟨ X_{F}, T_{F} | X_{ich}, T_{ich} ⟩ |^{2} = \frac{M}{2 π ℏ} \frac{1}{\sqrt{(Δ T)^{2} + ϵ^{2}}} \exp [- \frac{M ϵ}{ℏ} {(\frac{Δ X}{Δ T})}^{2}]

$P(x_f,t_f;x_i,t_i)~=~|\langle x_f ,t_f | x_i ,t_i \rangle|^2~=~\frac{m}{2\pi \hbar} \frac{1}{\sqrt{(\Delta t)^2+\epsilon^2}}\exp\left[ -\frac{m\epsilon}{\hbar}\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2\right]$

\begin{matrix} (3) & ⟶ \frac{M}{2 π ℏ} \frac{1}{Δ T} für ϵ \to 0^{+} . \end{matrix}

$\tag{3} \longrightarrow~ \frac{m}{2\pi \hbar} \frac{1}{\Delta t}\quad \text{for} \quad \epsilon \to 0^{+}.$

Physikalisch kann dies so verstanden werden, dass die entsprechende relative Wahrscheinlichkeitsverteilung im Impulsraum ebenfalls einheitlich ist. Anders ausgedrückt ist ein Orts-Eigenzustand eine Überlagerung aller Impuls-Eigenzustände, und es stellt sich heraus, dass das Teilchen mit der gleichen Wahrscheinlichkeitsdichte nah oder weit entfernt sein kann.

Weitere Informationen zur Normalisierung des Pfadintegrals finden Sie beispielsweise in diesem Phys.SE-Beitrag und den darin enthaltenen Links.

Verweise:

RP Feynman und AR Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, 1965, Problem 3.1.

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