Gibt es eine mathematische Grundlage für die Born-Regel?

Eine Motivation ergibt sich aus der Betrachtung von Lichtwellen und Polarisation – wenn Licht durch einen Filter geht, wird die Energie einer Lichtwelle skaliert$\cos^2\theta$-- für ein einzelnes Photon bedeutet dies (wie Sie es nicht haben können$\cos^2\theta$eines Photons) besteht eine Wahrscheinlichkeit von$\cos^2\theta$dass die Anzahl der durchlaufenden Photonen "1" ist. Das$\cos\theta$ist einfach das Skalarprodukt des „Zustandsvektors“ (Polarisationsvektor) und des Eigenvektors des Zahlenoperators, der dem Polarisationsfilter mit dem Eigenwert 1 zugeordnet ist – dh die Beobachtungswahrscheinlichkeit ist „1“.$|\langle\psi|1\rangle|^2$, und die Wahrscheinlichkeit der Beobachtung "0" ist$|\langle\psi|0\rangle|^2$, was die Bornsche Regel ist.

Wenn Sie also den Zustandsvektor basierend auf dem Polarisationsvektor motivieren, können Sie die Bornsche Regel von motivieren$E=|A|^2$, wie oben.

Abstrakter, wenn Sie die anderen Axiome der Quantenmechanik akzeptieren, ist die Bornsche Regel sozusagen die "einzige Möglichkeit", Wahrscheinlichkeiten zu codieren, da Sie möchten, dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung disjunkter Ereignisse additiv ist (äquivalent zum Satz von Pythagoras) und die Summe Wahrscheinlichkeit eins (die Länge des Zustandsvektors ist eins).

Aber es gibt keine Möglichkeit, die Born-Regel "abzuleiten", sie ist ein Axiom. Die Quantenmechanik unterscheidet sich grundlegend von zB der Relativitätstheorie in dem Sinne, dass sie eine völlig neue abstrakte mathematische Theorie entwickelt, um eine Verbindung zur realen Welt herzustellen. Anders als in der Relativitätstheorie gibt es also nicht zwei Axiome, die buchstäblich das Ergebnis von Beobachtungen sind, und alles wird daraus abgeleitet – stattdessen haben Sie eine Axiomatisierung der mathematischen Theorie und dann eine Möglichkeit, die Theorie mit der Beobachtung zu verbinden, was lautet die Bornsche Regel. Sicherlich kommt die Motivation für die Quantenmechanik aus dem Welle-Teilchen-Dualismus, aber das ist keine Axiomatisierung.

Hier eine Antwort auf die im Titel gestellte Frage:

Zurek gab eine Ableitung der Born-Regel unter Verwendung von Envarianz (Invarianz aufgrund von Verschränkung).

Außerdem gab Saunders eine Ableitung der Born-Regel aus betrieblichen Annahmen.

Konsens scheint jedoch zu sein, dass es keine allgemein akzeptierte Ableitung der Born-Regel gibt.

Update: Geborene Regel, wurde in diesem Artikel von einfacheren physikalischen Prinzipien abgeleitet, The Measurement Postulates of Quantum Mechanics are Redundant . Die Autoren stellen fest, dass "unser Ergebnis zeigt, dass die Born-Regel nicht nur eine gute Vermutung ist, sondern auch die einzige logisch konsistente Vermutung".

Born berechnete die Lösung der Schrödinger-Gleichung, die dem Elektronenstreuexperiment entspricht, und was er erhielt, war eine kontinuierliche Funktion der Streuwinkel, die in Bezug auf die ursprüngliche Ausbreitungsrichtung der Elektronen gemessen wurden.

Im Experiment werden Elektronen jedoch immer an bestimmten Punkten eines Schirms nachgewiesen. Offensichtlich gibt es keine direkte Übereinstimmung zwischen den$\psi$Funktion (kontinuierlich) und Ort der detektierten Elektronen (diskret). Born erkannte einen Weg, um diese Diskrepanz zu beheben und die berechnete Funktion zu nutzen$\psi$Es ist auf jeden Fall anzunehmen, dass es eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsdichte für Winkel gibt, in die das Elektron eintritt, oder allgemeiner die Wahrscheinlichkeitsdichte für jede mögliche Konfiguration von Teilchen.

Wenn Sie eine Wahrscheinlichkeit in der Statistik finden wollen, müssen Sie dasselbe tun, aber da niemand in der Lage war, die Wellenfunktion zu interpretieren, schlug Born vor, dass dasselbe auch auf die Quantenwellenfunktion angewendet wird. Vor Born wandten Physiker dasselbe auch für Photonen an.

Wie Schrödinger war er nicht in der Lage, die Wellenfunktion zu visualisieren, aber er zeigte trotzdem seine Gleichung für echte Wellen (wie Saiten oder andere mechanische Wellen), und sie passte auch zu Quantenwellen.

Das Bohr-Modell ist ein hervorragendes Modell für Wasserstoff in Bezug auf die Vorhersage seiner Spektrallinien mit klassischer Physik, wobei eine ringförmige Ladungsquelle verwendet wird, die sich mit einer bestimmten Frequenz und einem bestimmten Radius vom Zentralatom dreht, wodurch die Gesamtenergie der Konfiguration mit der Grenze minimiert wird Zustand kohärenter konstruktiver Interferenz der einmal um den Ring laufenden Elektronenwelle.

Borns Beziehung steht in direktem Zusammenhang mit physikalischen Interpretationen, und so quadrierte er die Wellenfunktion. Es ist wie bei Sinuswellen, die die physikalischen Strukturen nicht zeigen, aber$\sin^2$gibt das Quadrat der Wellenfunktion der auf einen Schirm geschossenen Elektronen an.