Was genau ist die Max-Born-Regel?

Sie sind dasselbe. Seien Sie vorsichtig, ich denke, das andere Buch, das Sie mit "Amplitude des Eigenwerts" lesen, bedeutet die Wahrscheinlichkeitsamplitude der Messung dieses Eigenwerts, nicht die Amplitude des Eigenwerts selbst (andernfalls hätten wirklich große Werte einer Observablen wirklich hohe Wahrscheinlichkeiten, was keinen Sinn macht ).

Es ist das selbe Ding. Meine Herangehensweise besteht darin, mit einem Hilbert-Raum zu beginnen, der von Positionszuständen aufgespannt wird (eigentlich beginne ich etwas weiter hinten, indem ich den Hilbert-Raum rechtfertige, aber das vorliegende Argument beginnt mit dem Hilbert-Raum).

Für jeden Ket$|f\rangle \in \mathbb H$wir können die Beträge der Koeffizienten definieren$\langle|f\rangle$im Ortsraum nach der Born-Regel,

Wenn wir eine Messung durchführen,$K$, erhalten wir ein eindeutiges Ergebnis, eine abschließende Dezimalzahl oder$n$-Tupel von abschließenden Dezimalstellen, die vom Messgerät abgelesen werden. Lassen Sie die möglichen Ergebnisse sein$k_i$In$\mathbb Q^n$für$i=1, \dots, m$. Der$k_i$werden als verschieden angesehen; Wenn$i \neq j$Dann$k_i \neq k_j$. Wir gehen davon aus, dass die Dimension$\mathbb H$von ist größer als$m$.

Jedem physikalischen Zustand ist ein Ket zugeordnet, das durch das Messergebnis gekennzeichnet ist, so dass es sich um ein Messergebnis handelt$k_i$dann ist der Staat$|k_i\rangle$. Die empirische Bestimmung von$|k_i\rangle$erfordert, dass wir aus experimentellen Daten den Wert des inneren Produkts ziehen$\langle k_i|f\rangle$für Willkür$|f\rangle$.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit,$|k_i\rangle$Und$|f\rangle$sind normalisiert. Durch Annahme, Messung von$K$auf eine Reihe von Positionsmessungen reduzierbar ist, so dass jede$k_i$steht in Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit den Positionen$y_i$von einem oder mehreren Partikeln, die für die Messung verwendet werden (z$y_i$können die Positionen eines oder mehrerer Zeiger sein). Dann

Um dies mit den Eigenzuständen einer hermiteschen Observablen in Beziehung zu setzen, bemerken wir, dass Messung mit Ergebnis,$k_i$, impliziert eine physikalische Einwirkung auf ein System und wird durch die Einwirkung eines Bedieners repräsentiert,$K_i$, auf dem Hilbert-Raum. Wenn eine Größe messbar ist, verlangen wir, dass mit ihrer Messung ein Element der physikalischen Realität verbunden ist, was bedeutet, dass die Konfiguration der Materie notwendigerweise so wird, dass die Größe einen wohldefinierten Wert hat. In der Praxis bedeutet dies, dass in der Grenze, in der die Zeit zwischen zwei Messungen gegen Null geht, eine zweite Messung der Größe zwangsläufig dasselbe Ergebnis liefert wie die erste. Es folgt dem$K_i$ist ein Projektionsoperator

(Dies wurde meinem Buch The Mathematics of Gravity and Quanta und meinem veröffentlichten Artikel The Hilbert space of conditional clauses entnommen )