Ursprung der Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik?

Question

Ursprung der Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik?

John Eastmond

Die nicht normalisierte Wellenfunktion eines allgemeinen Qubits ist gegeben durch:

| ψ ⟩ = A | 0 ⟩ + B | 1 ⟩ .

$|\psi\rangle=A|0\rangle+B|1\rangle.$ Die komplexen Amplituden

A

$A$ Und

B

$B$ kann durch zwei Pfeile in der komplexen Ebene dargestellt werden:

Nun kann die Wellenfunktion mit einer beliebigen komplexen Zahl multipliziert werden $R$ ohne die Physik zu ändern. Dies wird die Pfeile verursachen $A$ Und $B$ zusammen mit einem festen Winkel zwischen ihnen drehen und schrumpfen/ausdehnen.

Dazu werden zwei Punktmengen nachgezeichnet, dargestellt durch einen Kreis mit Fläche $|A|^2$ und ein Kreis mit Fläche $|B|^2$ . Diese repräsentieren die Sätze möglicher Werte für die Amplituden $A$ Und $B$ .

Wenn wir also mit dem Qubit verwickelt werden, sind die Wahrscheinlichkeiten, uns selbst zu finden, festgelegt $A$ (Messung $0$ ) oder einstellen $B$ (Messung $1$ ) werden gegeben von:

P (0) = \frac{| A |^{2}}{| A |^{2} + | B |^{2}}

$P(0)=\frac{|A|^2}{|A|^2+|B|^2}$

P (1) = \frac{| B |^{2}}{| A |^{2} + | B |^{2}} .

$P(1)=\frac{|B|^2}{|A|^2+|B|^2}.$

Hilft dieses Bild, den Ursprung von Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik zu verstehen?

Korrektur

Lassen

A = R_{A} e^{ich θ_{A}}

$A=R_Ae^{i\theta_A}$

B = R_{B} e^{ich θ_{B}}

$B=R_Be^{i\theta_B}$ Eine allgemeine normierte Wellenfunktion ist gegeben durch:

| ψ ⟩ = \frac{1}{(R_{A}^{2} + R_{B}^{2})^{1 / 2}} [R_{A} e^{ich θ_{A}} + R_{B} e^{ich θ_{B}}]

$|\psi\rangle=\frac{1}{(R_A^2+R_B^2)^{1/2}}\large[R_Ae^{i\theta_A}+R_Be^{i\theta_B}\large]$ Angenommen, ich multipliziere die Amplituden

A

$A$ Und

B

$B$ von

C = R e^{ich θ}

$C=Re^{i\theta}$ Dann wird die normalisierte Wellenfunktion

| ψ ⟩ = \frac{1}{R (R_{A}^{2} + R_{B}^{2})^{1 / 2}} [R R_{A} e^{ich (θ_{A} + θ)} + R R_{B} e^{ich (θ_{B} + θ)}]

$|\psi\rangle=\frac{1}{R(R_A^2+R_B^2)^{1/2}}\large[RR_Ae^{i(\theta_A+\theta)}+RR_Be^{i(\theta_B+\theta)}\large]$

| ψ ⟩ = \frac{e^{ich θ}}{(R_{A}^{2} + R_{B}^{2})^{1 / 2}} [R_{A} e^{ich θ_{A}} + R_{B} e^{ich θ_{B}}]

$|\psi\rangle=\frac{e^{i\theta}}{(R_A^2+R_B^2)^{1/2}}\large[R_Ae^{i\theta_A}+R_Be^{i\theta_B}\large]$ Es scheint, dass der einzige Freiheitsgrad ein Phasenwinkel ist

θ

$\theta$ eher als ein Bereich, wie ich oben behauptet habe.

Andreas

Warum sollten wir die Fläche der Kreise, die Sie gezeichnet haben, mit den Wahrscheinlichkeiten in Verbindung bringen, um zu messen, ob das Qubit einen Wert hat?

0

$0$ oder

1

$1$ ?

John Eastmond

Jeder Kreis

A

$A$ oder

B

$B$ repräsentiert die Wertesätze für die Amplituden

A

$A$ oder

B

$B$ .

Andreas

Ja, aber warum sollten die Flächen dieser Mengen mit der Wahrscheinlichkeit in Beziehung gesetzt werden, dass ein Qubit den Wert 0 oder 1 hat?

Andreas

Wie würden Sie dieses Argument auch auf ein System von 2 verschränkten Qubits verallgemeinern, in dem die Zustände in 4 Dimensionen leben? Ihre Logik würde Sie dazu bringen, Volumina von 4-dimensionalen Kugeln zu betrachten, in welchem Fall die Wahrscheinlichkeiten mit der 4-ten Potenz der Amplitude skalieren würden.

John Eastmond

Nun, Sie finden sich einfach in dem einen oder anderen Satz wieder, wenn Sie sich mit einem der beiden verstricken

| 0 ⟩

$|0\rangle$ oder

| 1 ⟩

$|1\rangle$ . Ihre Wellenfunktion muss eine Gesamtphase haben. Es gibt

| A |^{2}

$|A|^2$ Phasen verbunden mit

| 0 ⟩

$|0\rangle$ Und

| B |^{2}

$|B|^2$ Phasen verbunden mit

| 1 ⟩

$|1\rangle$ .

John Eastmond

Wenn Sie eine haben

n

$n$ -dimensionale Wellenfunktion dann haben Sie

n

$n$ Kreise in der komplexen Ebene.

Andreas

OK, ich akzeptiere, dass Sie dies verallgemeinern können

n

$n$ Maße. Aber so ganz verstehe ich deine Argumentation immer noch nicht. Man kann nicht sagen: „Der Staat hat

| A |^{2}

$|A|^2$ Phasen verbunden mit

| 0 ⟩

$|0\rangle$ Und

| B |^{2}

$|B|^2$ Phasen verbunden mit

| 1 ⟩

$|1\rangle$ ." Es gibt zum Beispiel eine Gesamtphase, die Sie auf das gesamte Bundesland anwenden können

θ

$\theta$ im Ausdruck

| Ψ ⟩ = e^{i θ} (A | 0 ⟩ + B | 1 ⟩)

$|\Psi\rangle = e^{i\theta}(A|0\rangle + B|1\rangle)$ . Sie können den Zustand also nicht als zwei unabhängige Kreise in der komplexen Ebene darstellen. (Übrigens habe ich nicht abgelehnt, ich denke, die Frage ist in Ordnung, aber die Antwort ist, dass dieser Vorschlag die Wahrscheinlichkeiten nicht erklärt.)

John Eastmond

Wie ich es verstehe, kann ich normalisieren

| Ψ ⟩

$|\Psi\rangle$ indem Sie entweder zuerst ein auswählen

A

$A$ oder wählen Sie zuerst a

B

$B$ . Es gibt eine kreisförmige Fläche im Wert von

A

$A$ s, die ich auswählen kann, oder den Wert einer kreisförmigen Fläche

B

$B$ S. Diese Bereiche geben die Gewichte zum Erhalten von Eigenwerten an

0

$0$ oder

1

$1$ bzw. Vielleicht funktioniert dieses Argument nur mit einem diskreten Raster von Amplitudenwerten.

Andreas

wenn Sie möchten, dass Ihr Zustand standardmäßig normalisiert wird,

⟨ ψ | ψ ⟩ = 1

$\langle \psi | \psi \rangle =1$ , dann haben Sie einen Winkel (kein Bereich), den Sie auswählen können

A

$A$ . Sobald Sie diesen Winkel gewählt haben, dann

B

$B$ ist komplett fixiert . Wenn Sie die Gesamtnormierung anders wählen möchten, dann ist es weniger eine "Kreisfläche", Sie können den Winkel und die Normierung beliebig wählen, es ist also eher eine unendliche Fläche, z

A

$A$ . Aber (bei dieser Art, Dinge zu tun), sobald Sie sich entschieden haben, was zu tun ist

A

$A$ , Sie haben keine Freiheit mehr für

B

$B$ . Also ich verstehe die Argumentation immer noch nicht.

John Eastmond

Eigentlich hast du recht, es gibt nur einen Winkel, der gewählt werden kann, keinen Bereich.

Antworten (1)

Ursprung der Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik?

Warum sollten wir die Fläche der Kreise, die Sie gezeichnet haben, mit den Wahrscheinlichkeiten in Verbindung bringen, um zu messen, ob das Qubit einen Wert hat? $0$ oder $1$ ?
Jeder Kreis $A$ oder $B$ repräsentiert die Wertesätze für die Amplituden $A$ oder $B$ .
Ja, aber warum sollten die Flächen dieser Mengen mit der Wahrscheinlichkeit in Beziehung gesetzt werden, dass ein Qubit den Wert 0 oder 1 hat?
Wie würden Sie dieses Argument auch auf ein System von 2 verschränkten Qubits verallgemeinern, in dem die Zustände in 4 Dimensionen leben? Ihre Logik würde Sie dazu bringen, Volumina von 4-dimensionalen Kugeln zu betrachten, in welchem Fall die Wahrscheinlichkeiten mit der 4-ten Potenz der Amplitude skalieren würden.
Nun, Sie finden sich einfach in dem einen oder anderen Satz wieder, wenn Sie sich mit einem der beiden verstricken $|0\rangle$ oder $|1\rangle$ . Ihre Wellenfunktion muss eine Gesamtphase haben. Es gibt $|A|^2$ Phasen verbunden mit $|0\rangle$ Und $|B|^2$ Phasen verbunden mit $|1\rangle$ .
Wenn Sie eine haben $n$ -dimensionale Wellenfunktion dann haben Sie $n$ Kreise in der komplexen Ebene.
OK, ich akzeptiere, dass Sie dies verallgemeinern können $n$ Maße. Aber so ganz verstehe ich deine Argumentation immer noch nicht. Man kann nicht sagen: „Der Staat hat $|A|^2$ Phasen verbunden mit $|0\rangle$ Und $|B|^2$ Phasen verbunden mit $|1\rangle$ ." Es gibt zum Beispiel eine Gesamtphase, die Sie auf das gesamte Bundesland anwenden können $\theta$ im Ausdruck $|\Psi\rangle = e^{i\theta}(A|0\rangle + B|1\rangle)$ . Sie können den Zustand also nicht als zwei unabhängige Kreise in der komplexen Ebene darstellen. (Übrigens habe ich nicht abgelehnt, ich denke, die Frage ist in Ordnung, aber die Antwort ist, dass dieser Vorschlag die Wahrscheinlichkeiten nicht erklärt.)
Wie ich es verstehe, kann ich normalisieren $|\Psi\rangle$ indem Sie entweder zuerst ein auswählen $A$ oder wählen Sie zuerst a $B$ . Es gibt eine kreisförmige Fläche im Wert von $A$ s, die ich auswählen kann, oder den Wert einer kreisförmigen Fläche $B$ S. Diese Bereiche geben die Gewichte zum Erhalten von Eigenwerten an $0$ oder $1$ bzw. Vielleicht funktioniert dieses Argument nur mit einem diskreten Raster von Amplitudenwerten.
wenn Sie möchten, dass Ihr Zustand standardmäßig normalisiert wird, $\langle \psi | \psi \rangle =1$ , dann haben Sie einen Winkel (kein Bereich), den Sie auswählen können $A$ . Sobald Sie diesen Winkel gewählt haben, dann $B$ ist komplett fixiert . Wenn Sie die Gesamtnormierung anders wählen möchten, dann ist es weniger eine "Kreisfläche", Sie können den Winkel und die Normierung beliebig wählen, es ist also eher eine unendliche Fläche, z $A$ . Aber (bei dieser Art, Dinge zu tun), sobald Sie sich entschieden haben, was zu tun ist $A$ , Sie haben keine Freiheit mehr für $B$ . Also ich verstehe die Argumentation immer noch nicht.
Eigentlich hast du recht, es gibt nur einen Winkel, der gewählt werden kann, keinen Bereich.

CR Drost · Answer 1

Dieses Bild ist also ein Weg, die Quantenmechanik zu verstehen, und tatsächlich ist es ein Weg, den Feynman verwendet hat, um sie Nicht-Technikern zu erklären, was Sie in seinen neuseeländischen Vorlesungen sehen können, die auf Video aufgezeichnet wurden, und daraus wurde das Buch QED: The Seltsame Theorie von Licht und Materie .

Es wirft jedoch nicht viel Licht auf die Ursprünge der Amplituden, da dies nur ein Axiom der Funktionsweise der Theorie ist. Als hätten Sie immer noch einen abstrakten imaginären Kreis und es gibt keinen wirklichen Grund, seine Fläche mit irgendeiner Wahrscheinlichkeit zu verbinden, und Sie haben nicht motiviert, wie diese unterschiedlichen Amplituden in dieser Erklärung addiert oder multipliziert werden können.

Nur um Ihnen zu zeigen, wie ein allgemeineres Argument aussehen könnte: Scott Aaronsons Artikel „Is Quantum Mechanics an Island in Theory Space?“ argumentiert, dass es irgendwie nur zwei Möglichkeiten gibt, zwei probabilistische Theorien, eine ohne negative Wahrscheinlichkeiten, die wir klassische Wahrscheinlichkeit nennen, und eine mit destruktiver Interferenz, die wir Quantenmechanik nennen, so dass, wenn Sie es für selbstverständlich halten, dass Quantensysteme destruktive Interferenz haben müssen und Ergebnisse bestimmter Quantenexperimente nicht im Voraus bekannt sein können (siehe Quantenkrypto für eine Verwendung des letzteren), dann müssen die einzigen Möglichkeiten, dies zu beschreiben, komplexe Zahlen als Amplituden verwenden.

Solche Sachen. Es muss nicht genau dieses Argument sein, aber es muss diesen umfassenden Charakter haben. So könnte zum Beispiel ein anderes Argument den 2-Spinor-Kalkül als Ausgangspunkt nehmen, der der speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegt, und vielleicht sind Amplituden das einzige, was mit diesen 2-Spinoren „gut zusammenspielt“, etwas, das QM vielleicht mit anderen Phänomenen auf der Welt verbindet . Aber es wird nie so einfach sein wie „schau dir nur diese Kreise an“, weil du diese Kreise in einem imaginären mathematisch idealisierten Universum gezeichnet hast, und das Problem für die Physik ist, wie wir Dinge in unserem Universum mit Dingen in einer solchen mathematischen Idealisierung modellieren , und so gibt es immer einen Übersetzungsschritt. Also muss die Erklärung von Dingen in unserem Universum ausgehen, wenn das Sinn macht,

Ok, aber ich habe nur versucht, den Ursprung der Wahrscheinlichkeiten zu verstehen und nicht den Ursprung der komplexen Amplituden selbst. Ich versuche, die Born-Regel abzuleiten.

Ursprung der Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik?

John Eastmond

Andreas

John Eastmond

Andreas

Andreas

John Eastmond

John Eastmond

Andreas

John Eastmond

Andreas

John Eastmond

Antworten (1)

CR Drost

John Eastmond

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