Wird die Born-Regel normalerweise als Axiom in der Quantenmechanik angesehen?

Die richtige Aussage ist, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Messung einer Observablen durch einen hermiteschen Operator repräsentiert wird$A$(mit nicht entartetem Spektrum) über einen Zustand$\vert\psi\rangle$würde einen Eigenwert ergeben$\lambda_i$wird von gegeben

$$\begin{align}p_i=\frac{\langle\psi\vert\psi_i\rangle\langle\psi_i\vert\psi\rangle}{\langle\psi\vert\psi\rangle}\end{align}$$ Wo$\vert\psi_i\rangle$ist der normalisierte Eigenzustand des Operators$A$entspricht dem Eigenwert$\lambda_i$. Dies erfordert dies jedoch nicht$\vert\psi\rangle=\sum_i\vert\psi_i\rangle$. Der Zustandsvektor$\vert\psi\rangle$kann der generischste normalisierbare Zustand sein und würde daher im Allgemeinen als eine generische lineare Kombination dargestellt werden$\vert\psi\rangle=\sum_ic_i\vert\psi_i\rangle$Wo$c_i\in\mathbb{C}$.

Diese Aussage wird als Born-Regel bezeichnet.

Es muss mit einem eng verwandten Axiom versehen werden, das unter dem Namen Kollapspostulat oder Wellenpaketreduktionspostulat bekannt ist, um ein "vollständiges" Bild dessen zu geben, was passiert, wenn Sie eine Messung durchführen. Es besagt, dass die oben erwähnte Messung den Zustand entwickelt$\vert\psi\rangle$zu einem Eigenzustand$\vert\psi_i\rangle$dem Ergebnis entsprechend$\lambda_i$.

All dies kann etwas allgemeiner gemacht werden, um Messungen von Operatoren mit entarteten Spektren unter Verwendung der Projektionsoperatoren zu berücksichtigen, aber die Grundidee ist hier bereits erfasst. Im Fall der Messung eines Bedieners$A$mit unterschiedlichen Eigenwerten$\lambda_i$so dass$A=\sum_i\lambda_i\mathbb{P}_i$bei dem die$\mathbb{P}_i$s sind die Projektionsoperatoren, die den entsprechen$i^\mathrm{th}$Eigenunterraum, die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis der Messung$\lambda_i$wird von gegeben

$$\begin{align}p_i=\frac{\langle\psi\vert\mathbb{P}_i\vert\psi\rangle}{\langle\psi\vert\psi\rangle}\end{align}$$

Das Postulat der Wellenpaketreduktion besagt nun, dass die oben erwähnte Messung den Zustand entwickelt$\vert\psi\rangle$zum Staat$\frac{\mathbb{P}_i\vert\psi_i\rangle}{\langle\psi\vert\mathbb{P}_i\vert\psi\rangle}$entsprechend dem Messergebnis$\lambda_i$. Beachten Sie, dass der Nenner hier benötigt wird, um sicherzustellen, dass der resultierende Zustand normalisiert wird.

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In der Standard-Lehrbuch-Quantenmechanik werden beide, soweit ich weiß, immer als grundlegende Axiome angesehen. Man kann ihre Quantenmechanik mit einem anderen mathematischen Formalismus formulieren, aber sie müssen immer noch eine gewisse Übersetzung dieser Axiome als Axiome in ihrem Rahmen bereitstellen – solange sie wirklich nur eine andere Formulierung der Standard-Lehrbuch-Quantenmechanik in ihrem physikalischen Inhalt sind.

Allerdings gab es seit 1957 bis heute Versuche, die Born-Regel abzuleiten. Es gab hauptsächlich drei Ansätze, um die Ableitung zu versuchen:

• Maßtheoretische/frequentistische Ansätze

  • Der eher maßtheoretische und mathematische Satz von Gleason von 1957 besagt, dass in einem Hilbert-Raum mit$d>3$, ist das einzige Wahrscheinlichkeitsmaß, das mit den anderen Axiomen der Quantenmechanik (Linearität usw.) konsistent ist, das durch die Born-Regel gegebene.
  • Der Beweis der Born-Regel von 1968 durch Hartle zeigt tatsächlich, dass die Born-Regel die quantenmechanische Version des schwachen Gesetzes der großen Zahlen ist.
  • Der Beweis der Born-Regel von Fahri, Goldstone und Gutman aus dem Jahr 1989 zeigt, dass die Born-Regel die quantenmechanische Version des starken Gesetzes der großen Zahlen ist.

• Symmetriebasierte Ansätze

  • Das Papier von Zurek aus dem Jahr 2005 leitet die Born-Regel mit einem Argument ab, das auf Envarianz basiert , einer Invarianz, die mit einer Umgebung verschränkte Systeme aufweisen.
  • Das Papier von Carroll und Sebens aus dem Jahr 2015 leitet die Born-Regel im Kontext der Viele-Welten-Formulierung der Quantenmechanik ab. Sie verwenden das „epistemische Trennbarkeitsprinzip“, das nur eine seltsame/ausgefallene Art ist zu sagen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Messergebnisses nicht von der Entwicklung der Umgebung abhängen sollte, die vom System entkoppelt und entflochten ist.

• Entscheidungstheoretische Ansätze

  • Ich erwähne sie nur der Vollständigkeit halber und um einen besser informierten Leser einzuladen, die Antwort zu bearbeiten und die Details einzugeben.

Nun, keiner dieser Versuche wurde, zumindest bisher, von der Gemeinschaft als echte Ableitung der Born-Regel akzeptiert. Grundsätzlich gibt es in der Standard-Quantenmechanik keinen plausiblen Weg, das Wellenpaket-Reduktionsaxiom abzuschaffen (das die Born-Wahrscheinlichkeitsregel begleiten sollte, um Sinn zu machen, sonst gäbe es einfach eine deterministische Evolution gemäß der Schrödinger-Gleichung). Selbst wenn man also zeigt, dass die Born-Regel das einzige konsistente Wahrscheinlichkeitsmaß für die Hilbert-Räume der Quantenmechanik ist, kommt sie nicht in Kontakt mit den physikalischen Behauptungen der Standard-Axiome. Ein anderer Ansatz, insbesondere die Arbeiten von Carroll und Deutsch (letzterer hat sich mit entscheidungstheoretischen Ansätzen beschäftigt), liegen im Rahmen der Vielwortformulierung. Dort, Sie können die Wellenpaketreduktion als Reduktion des relativen Zustands eines Systems in Bezug auf einen Beobachter verstehen, ohne die zugrunde liegende Einheitlichkeit zu verletzen. Allerdings ist es konzeptionell schwierig, die Born-Regel dort abzuleiten. Ein Grund ist, dass die naive Verzweigungszählung zu einem Widerspruch mit der Born-Regel führt. Und die ausgefeilteren erkenntnistheoretischen Ansätze wurden entweder als zirkulär oder schlampig kritisiert.

Sie können die Kritiken der Ableitungen der Born-Regel in Artikeln von Adrian Kent, 1997 und 2014 sehen . Ich würde auch empfehlen, einen Blick auf diese Antwort auf meine letzte Frage zu werfen , um @ChiralAnomalyeinige allgemeine Kommentare zu den Ableitungen der Born-Regel zu erhalten.