Worauf läuft Hartles Herleitung der Born-Regel eigentlich hinaus?

Es wurden hier viele Fragen zum Thema gestellt, ob die Born-Regel aus den übrigen Axiomen der Quantenmechanik abgeleitet werden kann. Siehe zum Beispiel dies und darin enthaltene Links. Ich möchte jedoch nach einer bestimmten Ableitung der Born-Regel aufgrund von Jim Hartle fragen, arXiv:quant-ph/1907.02953v1 , die a ist$2019$arXiv-Repost seiner Originalarbeit von 1968 im American Journal of Physics . Man kann sehen, dass auf dieses Papier unter anderem in Sidney Colemans berühmter Dirac-Vorlesung mit dem ursprünglichen Titel „Quantum Mechanics In Your Face“ in der Diskussion darüber verwiesen wird, wie Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik entstehen. Hartle leitet die Born-Regel einfach innerhalb des Standardrahmens der Quantenmechanik ab, indem er etwas ziemlich Cleveres tut, aber ich verstehe nicht genau, wie es auf die Ableitung der Born-Regel hinausläuft, und wenn nicht, worauf läuft sie tatsächlich hinaus. Soweit ich sehe, wurde diese Frage hier noch nicht diskutiert .

Okay, was macht Hartle?

• Hartle betrachtet ein Ensemble von$N$identisch präparierte Quantensysteme mit bezeichnet$\vert \psi^N\rangle\equiv\otimes_{i=1}^{N}\vert\psi\rangle$die in dem durch das Tensorprodukt konstruierten Ensemble-Hilbert-Raum lebt$\mathcal{H}^N$Wo$\mathcal{H}$ist der Hilbert-Raum eines einzelnen Quantensystems, dh$\vert \psi\rangle\in\mathcal{H}$.

• Man kann ein Observable betrachten$A=\sum_ka_k\vert a_k\rangle\langle a_k\vert$über$\mathcal{H}$so dass$\vert\psi\rangle$ist nicht unbedingt ein Eigenzustand von$A$.

• Nun konstruiert Hartle einen Frequenzoperator $f_k^N$über dem Ensemble Hilbertraum$\mathcal{H}^N$einem Eigenwert entspricht$a_k$des Beobachtbaren$A$definiert als

  $$\begin{align} f_k^N\equiv\sum_{i_1i_2...i_N}\vert a_{i_1}\rangle\otimes\vert a_{i_2}\rangle\otimes...\otimes\vert a_{i_N}\rangle\Big(\frac{1}{N}\sum_{\alpha=1}^{N}\delta_{i_{\alpha}k}\Big)\langle a_{i_N}\vert\otimes...\otimes\langle a_{i_2}\vert\otimes\langle a_{i_1}\vert \end{align}$$ so dass es durch die Eigenzustände von diagonalisiert wird$A^N$und der Eigenwert von$f_k^N$entsprechend einem Eigenzustand von$A^N$ist die relative Häufigkeit des Eigenwerts$a_k$in diesem Eigenzustand, dh
  $1/N$mal die Anzahl mal$\vert a_k\rangle$erscheint in dem Tensorprodukt, das durch Nehmen eines Eigenzustands von erzeugt wird$\vert A\rangle$aus jedem der Faktoren von$\mathcal{H}^N$. Ich hoffe, dass das Notationswirrwarr nicht die konzeptionelle Einfachheit der Definition des Operators und das Verständnis dafür beeinträchtigt, warum der Name "Frequenzoperator" (zumindest bisher) gerechtfertigt ist.

• Jetzt passiert etwas Dramatisches im Limit$N\to\infty$. An der Grenze$N\to\infty$, Hartle zeigt, dass alle Zustände der Form$\vert \psi^N\rangle$ sind Eigenzustände dieses Frequenzoperators mit dem Eigenwert gegeben durch, Sie haben es erraten,$\vert\langle\psi\vert a_k\rangle\vert^2$.

OK, das ist alles rein deduktiv, es sei denn, man findet einen Fehler in der Mathematik, nichts, was man wirklich beanstanden könnte. Der Kern meiner Verwirrung liegt in dem, was Hartle behauptet, er habe es getan, indem er die oben erwähnte Berechnung durchgeführt habe.

Was behauptet Hartle?

• Hartle behauptet, dass, da gesagt werden kann, dass eine Größe genau dann einen wohldefinierten Wert für ein Quantensystem hat, wenn sich das Quantensystem in einem Eigenzustand des entsprechenden Operators befindet, man dies seit sagen sollte$\vert \psi^\infty\rangle$ist ein Eigenzustand des Frequenzoperators$f_k^{\infty}$, gibt es einen wohldefinierten Wert für die (relative) Häufigkeit des Eigenwerts$a_k$in diesem Ensemble auch wenn der Staat$\vert \psi\rangle$ist kein Eigenzustand der Observablen$A$. Wie bereits gezeigt, ist diese (relative) Häufigkeit insbesondere gegeben durch$\vert\langle\psi\vert a_k\rangle\vert^2$.
• Hartle behauptet also, was wir gezeigt haben, ist, dass die (relativen) Häufigkeiten der Ergebnisse der Messung von$A$kann für jeden gegebenen Zustand vorhergesagt werden$\vert\psi\rangle$und sind durch die Born-Regel gegeben.

Was ich nicht verstehe...

• Ich verstehe nicht, wie diese Demonstration irgendetwas darüber aussagt, was die (relativen) Häufigkeiten der Ergebnisse wären, wenn wir messen$A$auf einen Staat$\vert\psi\rangle$das ist kein Eigenzustand von$A$. Insbesondere denke ich, dass Hartle den Namen „Frequenzoperator“ etwas zu ernst nimmt und ihm die Bedeutung von etwas beimisst, das „die (relative) Häufigkeit des Erhaltens eines bestimmten Eigenwerts bei einer Messung“ angibt, während seine Definition uns einfach sagt, dass dies der Fall ist ein Operator, der uns "die (relative) Häufigkeit des Auftretens eines Eigenwerts von gibt$A$in einem Ensemble, das bereits ein Eigenzustand von ist$A^N$".

• Sicher, es ist interessant, dass alle$\vert\psi^N\rangle$werden Eigenzustände dieses Operators im Limes$N\to\infty$aber es sagt uns nicht, dass wir ein Wahrscheinlichkeitsgesetz entdeckt haben, sondern es sagt uns nur, dass der Operator, den wir konstruiert haben, besondere Eigenschaften im Grenzwert hat$N\to\infty$. Insbesondere im Fall einer Endlichkeit$N$, wird er nur durch Zustände diagonalisiert, die tatsächlich eine wohldefinierte Anzahl von Vorkommen des Eigenwerts haben$a_k$, aber in der$N\to\infty$sie wird von Staaten diagonalisiert, die diese Eigenschaft nicht haben. Schließlich ist ein Operator einfach das, was er definiert wurde, und er ist nicht verpflichtet, sein qualitatives Verhalten beim Übergang von endlich zu bewahren$N$zum$N\to\infty$Grenze.

• Auf einer grundlegenderen Ebene gibt es keine Antwort auf die Frage, was passiert, wenn Sie eine Observable über a „messen“ (was Sie auch irgendwie definieren müssen), wenn Sie nichts Äquivalentes zu einer Art Kollapspostulat haben Zustand, der nicht in einem Eigenzustand der Observablen ist. Sie wissen nicht, ob die Messung einfach nichts oder mit einiger Wahrscheinlichkeit einen Eigenwert ergibt oder ob das ganze Universum explodiert. Logischerweise schweigt der Formalismus einfach.

• Mit anderen Worten, ich denke, es gilt ein "Garbage in, Garbage out" -Prinzip in Bezug auf Wahrscheinlichkeiten / Zusammenbruch. Sie müssen etwas Nicht-Triviales in den Formalismus einführen, der zu etwas führt, das einem Kollaps ähnelt, um bestimmte Ergebnisse mit einigen Wahrscheinlichkeiten zu erhalten, wenn Sie einen Nicht-Eigenzustand messen. Soweit ich sehen kann, enthält das Argument von Hartle nichts, was dies tut, und daher sollte es eine ausgemachte Sache sein, dass er die Born-Regel nicht ableiten kann.

• Nun, wenn solche Einwände zutreffen, muss noch beantwortet werden, was Hartle tatsächlich gezeigt hat, denn sein Ergebnis ist sicherlich eigenartig und interessant!