Impliziert der Satz von Gleason die Bornsche Regel?

Ich glaube, ich habe Ihre Frage jetzt verstanden (und ich habe meine vorherige Antwort gelöscht, da sie sich eigentlich auf die falsche Frage bezog). Lassen Sie mich versuchen, zusammenzufassen.

Einerseits haben wir eine Wellenfunktion$\psi$im Hilbertraum$L^2(\mathbb R)$für ein gegebenes Quantensystem$S$und das wissen wir$\psi$bestimmt den Zustand$S$in gewissem (nicht spezifiziertem) Sinne: Es kann verwendet werden, um Übergangswahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen zu extrahieren, wenn Observables gemessen werden.

($\psi$könnte aus einer Analogie Optik - Mechanik entstehen und eine andere Bedeutung als in der Copenaghen-Interpretation haben, z. B. eine Bohmsche Welle.)

Andererseits wissen wir aus dem Satz von Gleason, dass ein (extremes, um beim einfachsten Fall zu bleiben) Wahrscheinlichkeitsmaß zugeordnet ist$S$kann als eine Wellenfunktion angesehen werden$\phi \in L^2(\mathbb R)$und die Bornsche Regel kann jetzt sicher verwendet werden, um die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen zu berechnen.

Sie möchten ggf. verstehen$\psi=\phi$bis zu Phasen als Folge des Satzes von Gleason.

Ohne weitere Anforderungen an das Verfahren zum Extrahieren von Übergangswahrscheinlichkeiten (Sie sagen nur, dass Übergangswahrscheinlichkeiten extrahiert werden können$\psi$mit einem nicht spezifizierten Verfahren) ist es nicht möglich, darauf zu schließen$\psi=\phi$bis zu Phasen trotz Gleasons Theorem.

Wir können nur schlussfolgern, dass es eine injektive Abbildung geben muss

Ein triviales Beispiel für$F$ist

Diese Karte ist offensichtlich nicht physisch, da es keinen vernünftigen Weg gibt, sie zu beheben$\chi$und unter der Annahme dieser Form von$F$, würden einige Argumente, die auf der Homogenität des physischen Raums beruhen, ausschließen$\chi$. Allerdings viel kompliziertere Funktionen$F$(weder affin noch linear) vorgeschlagen werden kann und in Ermangelung weiterer physikalischer Anforderungen an die Entsprechung$\psi$-$\phi_\psi$(z. B. kann man davon ausgehen, dass irgendein Superpositionsprinzip durch diese Korrespondenz erhalten bleibt) oder auf dem Weg, Wahrscheinlichkeiten daraus zu extrahieren$\psi$, Gleasons Theorem allein kann die Form von nicht festlegen$F$.

Ich denke, Gleasons Theorem benötigt die zusätzliche Hypothese der Nicht-Kontextualität, um die Born-Regel zu implizieren. Man könnte im Prinzip andere Wahrscheinlichkeitsmaße einführen, aber dann verletzt man die Nicht-Kontextualität. Siehe zum Beispiel dieses Papier .

Der Satz von Gleason (GT) besagt, dass jedes Maß auf dem Raum von Zuständen, das den Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung gehorcht, durch die Born-Regel für einen bestimmten Zustand gegeben ist. Dies impliziert aus mehreren Gründen nicht die Born-Regel.

Wie Sie bemerkt haben, wählt GT keinen bestimmten Zustand aus. Es gibt ein anderes verwandtes Problem. Es gibt Umstände, unter denen die von der Bornschen Regel vorhergesagten „Wahrscheinlichkeiten“ gegen die Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung verstoßen, zB - bei Interferenzexperimenten:

https://arxiv.org/abs/math/9911150 .

Es ist also eine Erklärung erforderlich, wann die durch die Born-Regel gegebene Zahl die Wahrscheinlichkeitsregeln respektiert. Diese Erklärung beinhaltet Dekohärenz, die auch die Menge möglicher Zustände auswählt:

https://arxiv.org/abs/1404.2635

Es gibt noch andere Erklärungsprobleme bei der Verwendung von Wahrscheinlichkeiten in der Physik im Allgemeinen:

https://www.youtube.com/watch?v=wfzSE4Hoxbc

und GT unternimmt nichts, um solche Probleme anzugehen.

Ein besonderes Problem bei der Verwendung von Wahrscheinlichkeiten ist, dass die Born-Regel in allen Kollapsinterpretationen der Quantenmechanik einfach postuliert wird, was bedeutet, dass keine von ihnen eine Erklärung dafür geben kann.

Nein. Ich denke, es sind nur wenige zusätzliche Annahmen erforderlich, um von Gleasons Theorem zur Born-Regel überzugehen. Ich werde zuerst den Satz angeben, wie er in Wikipedia angegeben ist .

Satz von Gleason: Nehmen Sie einen endlichdimensionalen Hilbert-Raum an$\mathcal H$mit Abmessung$d>2$. Lassen$f$eine 'nichtkontextuelle' Funktion von Projektionsoperatoren bis zum Einheitsintervall mit der Eigenschaft sein, dass für jeden Projektor$\Pi$,

Hier bedeutet Nicht-Kontextualität das$f(\Pi)$hängt nur vom Beamer ab$\Pi$und nicht von der Wahl der anderen Orthogonalprojektoren, die gleichzeitig gemessen werden.

Nun, wenn ein Satz$\{\Pi_i\}$von Projektionsoperatoren zur Einheitsmatrix summieren (d. h. wenn sie einer orthonormalen Basis entsprechen), dann

Dann besagt der Satz von Gleason, dass es eine Dichtematrix gibt$\sigma$so dass

......

Nun werde ich ein widersprüchliches Beispiel für die Wahrscheinlichkeitszuweisung für einen Zustand geben, das mit dem Satz von Gleason, aber nicht mit der Born-Regel übereinstimmt.

Lassen$P(\rho, \Pi_i)$bezeichnen die Wahrscheinlichkeit, das Ergebnis zu erhalten$i$wenn der Systemzustand ist$\rho$. Dann wissen wir aus dem Satz von Gleason, dass dies für eine Dichtematrix gilt$\sigma$,

Die Frage ist, diese Regel wäre nur dann geboren, wenn für jede Wahl von$\rho$,$\sigma=\rho$ist gewählt. Stellen Sie sich vor, was passieren würde, wenn wir stattdessen die folgende Regel für die Wahrscheinlichkeitszuweisung wählen würden:

wo$U_\rho$ist ein willkürlicher Unitary, der davon abhängt$\rho$. Der Satz von Gleason schließt diese Art der Wahrscheinlichkeitszuordnung nicht aus.

Welche zusätzliche Annahme kann uns die Born-Regel liefern? Ich kann mir zwei Annahmen vorstellen, die die Arbeit erledigen.

1. Wenn$Tr[\Pi \rho]=0$dann$P(\rho, \Pi)=0$.
2. $P(\alpha_1\rho_1 + \alpha_2\rho_2, \Pi)=\alpha_1 P(\rho_1, \Pi) + \alpha_2 P(\rho_2, \Pi)$, wo$\alpha_i$sind nicht negative reelle Zahlen mit$\alpha_1 + \alpha_2=1$

Nun zum reinen Zustand$\rho$in$\eqref{genprob}$(dh$\rho= |\psi\rangle \langle \psi|$), Annahme (1) verursacht$U(\rho)$trivial zu werden. dh$U(\rho)\rho U^{\dagger}(\rho)=\rho$. Dies liegt daran, wenn$U(\rho)\rho U^{\dagger}(\rho)=\rho'\neq\rho$, dann betrachte eine Basis, die enthält$\Pi_1=|\psi\rangle \langle \psi|$. Dann für$j\neq 1$Es gibt einen Projektor$\Pi_j$orthogonal zu$\Pi_1$auf dieser Grundlage so dass$P(\rho, \Pi_j)=tr[\Pi_j \rho']\neq0$obwohl$Tr[\Pi_j \rho]=0$. Dies widerspricht Annahme (1).

Daher folgt die Born-Regel aus Annahme (1) und dem Satz von Gleason für reine Zustände$\rho$. Annahme (2) kümmert sich um den Fall des unreinen Zustands.