Warum Quantenmechanik?

Ich bin zu spät zu dieser Party hier, aber ich kann vielleicht etwas ankündigen, das einer Ableitung der Quantenmechanik ziemlich nahe kommt, indem ich die klassische Mechanik mit ihrem natürlichen mathematischen Kontext koppele, nämlich mit der Lie-Theorie . Ich hatte noch keine Gelegenheit, das Folgende an Studenten im ersten Jahr auszuprobieren, aber ich bin ziemlich zuversichtlich, dass das Folgende mit nur ein bisschen mehr pädagogischer Anleitung, wenn nötig, für eine ziemlich zufriedenstellende Motivation für jeden Studenten sorgen sollte ein wenig Neigung zur mathematischen/theoretischen Physik.

Weitere Informationen zu den folgenden Zeilen finden Sie unter nLab:quantization .

Die Quantisierung war und ist natürlich durch das Experiment motiviert, also durch die Beobachtung des beobachtbaren Universums: Es ist einfach so, dass die Quantenmechanik und die Quantenfeldtheorie experimentelle Beobachtungen korrekt berücksichtigen, wo die klassische Mechanik und die klassische Feldtheorie keine oder falsche Antworten geben. Ein historisch wichtiges Beispiel ist das als „Ultraviolett-Katastrophe“ bezeichnete Phänomen, ein von der klassischen statistischen Mechanik vorhergesagtes Paradoxon, das in der Natur nicht beobachtet wird und das durch die Quantenmechanik korrigiert wird.

Aber man kann sich auch unabhängig vom experimentellen Input fragen, ob es gute formalmathematische Gründe und Motivationen gibt, von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik überzugehen. Hätte man durch bloßes Nachdenken über den mathematischen Formalismus der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik geführt werden können? (Also genauer: Gibt es eine natürliche Synthetische Quantenfeldtheorie?)

Im Folgenden wird ein Argument in diesem Umfang dargelegt. Es wird für Leser mit einem Hintergrund in moderner Mathematik, insbesondere in der Lie-Theorie, und mit einem Verständnis der Formalisierung der klassischen/präquantenmechanischen Mechanik in Begriffen der symplektischen Geometrie funktionieren.

Kurz gesagt, ein System der klassischen Mechanik/Präquantenmechanik ist ein Phasenraum, formalisiert als symplektische Mannigfaltigkeit$(X,ω)$. Eine symplektische Mannigfaltigkeit ist insbesondere eine Poisson-Mannigfaltigkeit, was die Algebra der Funktionen auf dem Phasenraum bedeutet$X$, also die Algebra der klassischen Observablen, ist kanonisch mit einer kompatiblen Lie-Klammer ausgestattet: der Poisson-Klammer. Diese Lie-Klammer steuert die Dynamik in der klassischen Mechanik. Zum Beispiel wenn$H\in C^{∞}(X)$ist die Funktion im Phasenraum, die so interpretiert wird, dass sie jeder Konfiguration des Systems ihre Energie zuweist – die Hamilton-Funktion – dann die Poisson-Klammer mit$H$ergibt die infinitesimale Zeitentwicklung des Systems: die als Hamilton-Gleichungen bekannte Differentialgleichung.

Hier ist die infinitesimale Natur der Poisson-Klammer zu beachten. Im Allgemeinen immer dann, wenn man eine Lie-Algebra hat$\mathfrak{g}$, dann ist sie als infinitesimale Annäherung an ein global definiertes Objekt, die entsprechende Lie-Gruppe (oder allgemein glatte Gruppe) anzusehen$G$. Das sagt man auch$G$ist eine Lie-Integration von$\mathfrak{g}$und das$\mathfrak{g}$ist die Lie-Differenzierung von$G$.

Daher ist eine naheliegende Frage zu stellen: Da die Observablen in der klassischen Mechanik eine Lie-Algebra unter der Poisson-Klammer bilden, was ist dann die entsprechende Lie-Gruppe?

Die Antwort darauf ist in der Literatur natürlich „allgemein bekannt“, in dem Sinne, dass es einschlägige Monographien gibt, die die Antwort geben. Aber, vielleicht überraschend, ist die Antwort auf diese Frage (zum Zeitpunkt des Schreibens dieses Artikels) keine weithin beworbene Tatsache, die ihren Weg in die grundlegenden Lehrbücher gefunden hätte. Die Antwort ist, dass diese Lie-Gruppe, die die Poisson-Klammer integriert, die „Quantomorphismen-Gruppe“ ist, ein Objekt, das nahtlos in die Quantenmechanik des Systems übergeht.

Bevor wir das genauer sagen, brauchen wir eine kurze technische Randbemerkung: Natürlich ist die Lie-Integration nicht ganz einzigartig. Es kann verschiedene globale Lie-Gruppenobjekte mit derselben Lie-Algebra geben.

Das einfachste Beispiel dafür ist bereits das für die Frage der Quantisierung zentrale, nämlich die Lie-Integration der abelschen Geraden-Lie-Algebra$\mathbb{R}$. Damit sind im Wesentlichen zwei verschiedene Lie-Gruppen verbunden: die einfach verbundene Übersetzungsgruppe, die gerecht ist$\mathbb{R}$sich selbst wieder, ausgestattet mit seiner kanonischen additiven abelschen Gruppenstruktur, und der diskrete Quotient davon durch die Gruppe der ganzen Zahlen, die die Kreisgruppe ist

Beachten Sie, dass es die diskrete und daher „quantisierte“ Natur der ganzen Zahlen ist, die die reelle Linie hier zu einem Kreis werden lässt. Dies ist kein vollständiger terminologischer Zufall, sondern kann auf den Kern dessen zurückgeführt werden, was an der Quantenmechanik „quantisiert“ ist.

Man findet nämlich, dass die Poisson-Klammer Lie-Algebra ist$\mathfrak{poiss}(X,ω)$der klassischen Observablen im Phasenraum ist (für X eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit) eine Lie-Algebra-Erweiterung der Lie-Algebra$\mathfrak{ham}(X)$von Hamiltonschen Vektorfeldern an$X$durch die Zeile Lie-Algebra:

Das bedeutet, dass die Poisson-Klammer unter Lie-Integration zu einer zentralen Erweiterung der Gruppe der Hamiltonschen Symplektomorphismen wird$(X,ω)$. Und entweder ist es die ziemlich triviale non-compact-Erweiterung von$\mathbb{R}$, oder es ist die interessante zentrale Erweiterung durch die Kreisgruppe$U(1)$. Damit diese nicht-triviale Lie-Integration existiert,$(X,ω)$muss eine Quantisierungsbedingung erfüllen, die besagt, dass es ein Präquantenlinienbündel zulässt. Wenn ja, dann das$U(1)$-zentrale Erweiterung der Gruppe$Ham(X,\omega)$von Hamiltonschen Symplektomorphismen existiert und heißt… die Quantomorphismen-Gruppe$QuantMorph(X,\omega)$:

Diese Gruppe ist zwar wichtig, aber aus irgendeinem Grund nicht sehr bekannt. Was auffällt, weil es eine kleine Untergruppe davon gibt, die in der Quantenmechanik berühmt ist: die Heisenberg-Gruppe.

Genauer gesagt wann immer$(X,\omega)$selbst eine kompatible Gruppenstruktur hat, insbesondere wenn$(X,\omega)$nur ein symplektischer Vektorraum ist (als Gruppe unter Addition von Vektoren betrachtet), dann können wir nach der Untergruppe der Quantomorphismengruppe fragen, die die (linke) Wirkung des Phasenraums abdeckt$(X,\omega)$auf sich. Dies ist die entsprechende Heisenberg-Gruppe$Heis(X,\omega)$, was wiederum ein ist$U(1)$-zentrale Erweiterung der Gruppe$X$selbst:

An dieser Stelle lohnt es sich, eine Sekunde innezuhalten und zu bemerken, wie das Markenzeichen der Quantenmechanik wie aus dem Nichts aufgetaucht ist, indem man einfach die Lie-Integration auf die algebraischen Lie-Strukturen in der klassischen Mechanik anwendet:

wenn wir an die Lie-Integration denken$\mathbb{R}$zur interessanten Kreisgruppe$U(1)$statt in die uninteressante Übersetzungsgruppe$\mathbb{R}$, dann ist der Name seines kanonischen Basiselements 1∈ℝ kanonisch „i“, die imaginäre Einheit. Daher schreibt man die obige zentrale Erweiterung stattdessen oft wie folgt:

um dies zu verstärken. Aber betrachten Sie nun den einfachen Spezialfall wo$(X,\omega)=(\mathbb{R}^{2},dp∧dq)$ist der zweidimensionale symplektische Vektorraum, der beispielsweise der Phasenraum des Teilchens ist, das sich auf der Linie ausbreitet. Dann besteht ein kanonischer Satz von Generatoren für die entsprechende Poisson-Klammer-Lie-Algebra aus den linearen Funktionen p und q aus dem klassischen Lehrbuch der Mechanik zusammen mit der konstanten Funktion. Unter der obigen Lie-theoretischen Identifizierung ist diese konstante Funktion das kanonische Basiselement von$i\mathbb{R}$, also rein lügentheoretisch soll es „i“ heißen.

Mit dieser Notation liest sich dann die Poisson-Klammer, geschrieben in der Form, die ihre Lie-Integration manifestiert, tatsächlich

Da die Wahl des Basiselements von$i\mathbb{R}$willkürlich ist, können wir hier das i durch jede nicht verschwindende reelle Zahl umskalieren, ohne diese Aussage zu ändern. Wenn wir für dieses Element „ℏ“ schreiben, dann lautet die Poisson-Klammer stattdessen

Dies ist natürlich die Markenzeichengleichung für die Quantenphysik, wenn wir ℏ hier tatsächlich als Plancksche Konstante interpretieren. Wir sehen es hier durch nichts anderes entstehen, als die nichttriviale (interessante, nicht einfach zusammenhängende) Lie-Integration der Poisson-Klammer.

Dies ist nur der Anfang der Geschichte der Quantisierung, natürlich verstanden und tatsächlich „abgeleitet“ aus der Anwendung der Lie-Theorie auf die klassische Mechanik. Ab hier geht die Geschichte weiter. Es wird die Geschichte der geometrischen Quantisierung genannt. Wir schließen diesen Motivationsabschnitt hier mit einem kurzen Ausblick.

Die Quantomorphismengruppe, die die nicht-triviale Lie-Integration der Poisson-Klammer ist, wird natürlich wie folgt konstruiert: Bei gegebener symplektischer Form$ω$, ist es natürlich zu fragen, ob es sich um die Krümmungs-2-Form von a handelt$U(1)$-Hauptverbindung$∇$auf komplexem Leitungsbündel$L$Über$X$(Dies ist direkt analog zur Dirac-Ladungsquantisierung, wenn wir anstelle einer symplektischen Form im Phasenraum die Feldstärke-2-Form des Elektromagnetismus in der Raumzeit betrachten). Wenn ja, so eine Verbindung$(L,∇)$heißt Präquantenlinienbündel des Phasenraums$(X,ω)$. Die Quantomorphismusgruppe ist einfach die Automorphismusgruppe des Präquantenlinienbündels, die Diffeomorphismen des Phasenraums (die oben erwähnten Hamiltonschen Symplektomorphismen) abdeckt.

Als solche wirkt die Quantomorphismusgruppe natürlich auf den Raum von Abschnitten von$L$. Ein solcher Abschnitt ist wie eine Wellenfunktion, hängt aber vom gesamten Phasenraum ab, anstatt nur von den „kanonischen Koordinaten“. Aus rein abstrakten mathematischen Gründen (die wir hier nicht diskutieren werden, aber dazu mehr bei der motivischen Quantisierung sehen) ist es in der Tat naheliegend, eine „Polarisierung“ des Phasenraums in kanonische Koordinaten und kanonische Impulse zu wählen und nur diese Abschnitte der Präquantenlinie zu betrachten Bündel, die nur von ersterem abhängen. Das sind die eigentlichen Wellenfunktionen der Quantenmechanik, also die Quantenzustände. Und die Untergruppe der Quantomorphismus-Gruppe, die diese polarisierten Abschnitte bewahrt, ist die Gruppe der potenzierten Quantenobservablen. Zum Beispiel in dem zuvor erwähnten einfachen Fall wo$(X,ω)$ist der 2-dimensionale symplektische Vektorraum, das ist die Heisenberg-Gruppe mit ihrer berühmten Wirkung durch Multiplikations- und Differentiationsoperatoren auf dem Raum komplexwertiger Funktionen auf der reellen Linie.

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Warum sollten Sie jemals versuchen, eine physikalische Theorie zu begründen, ohne sich auf experimentelle Ergebnisse zu berufen??? Die Motivation der Quantenmechanik besteht darin, experimentelle Ergebnisse zu erklären. Es liegt auf der Hand, dass Sie ein einfacheres, intuitiveres Bild als die Quantenmechanik wählen würden, wenn Sie nicht daran interessiert wären, irgendetwas vorherzusagen.

Wenn Sie bereit sind, einen minimalen physikalischen Input zuzulassen, dann wie wäre es damit: Nehmen Sie die Unschärferelation als Postulat. Dann wissen Sie, dass sich dies auf ein Messsystem auswirkt$A$Erst dann Messen$B$, unterscheidet sich von tun$B$Zuerst, dann$A$. Das kann symbolisch niedergeschrieben werden als$AB \neq BA$oder auch$[A,B] \neq 0$. Welche Objekte gehorchen nicht der kommutativen Multiplikation? Lineare Operatoren, die auf Vektoren wirken! Daraus folgt, dass Observables Operatoren und "Systeme" irgendwie Vektoren sind. Der Begriff „Zustand“ ist etwas differenzierter und folgt nicht wirklich ohne Bezugnahme auf Messergebnisse (was letztendlich die Born-Regel erfordert). Sie könnten auch argumentieren, dass dieser Effekt in der klassischen Grenze verschwinden muss, also müssen Sie es haben$[A,B] \sim \hbar$, wo$\hbar$ist eine noch (und niemals, wenn Sie Experimente ablehnen) unbestimmte Zahl, die im Vergleich zu alltäglichen Einheiten klein sein muss. Ich glaube, dies ähnelt der ursprünglichen Argumentation hinter Heisenbergs Matrixformulierung von QM.

Das Problem ist, dass dies keine Physik ist, Sie wissen nicht, wie Sie ohne die Born-Regel irgendetwas vorhersagen können. Und soweit ich weiß, gibt es keine theoretische Herleitung der Born-Regel, sie ist experimentell begründet!

Wenn Sie einen grundlegenden Standpunkt dazu wünschen, warum QM und nicht etwas anderes, versuchen Sie, sich mit verallgemeinerten probabilistischen Theorien zu befassen, z . B. dieses Papier . Aber ich warne Sie, diese liefern weder eine vollständige, einfache noch triviale Rechtfertigung für die QM-Postulate.

Sie sollten die Geschichte der Physik nutzen, um ihnen Fragen zu stellen, wo die klassische Physik versagt. Sie können ihnen zum Beispiel das Ergebnis von Rutherfords Experiment mitteilen und fragen: Wenn ein Elektron um den Kern kreist, bedeutet dies, dass eine Ladung beschleunigt wird. Elektronen sollten also elektromagnetische Energie freisetzen. Wenn dies der Fall ist, würden Elektronen ihre Energie verlieren, um auf Nucleus zu kollabieren, was die Existenz von Atomen innerhalb von Sekundenbruchteilen beenden würde (Sie können ihnen sagen, dass sie rechnen sollen). Aber wie wir wissen, haben Atome Milliarden von Jahren überlebt. Wie? Wo ist der Haken?

Obwohl es hier viele gute Antworten gibt, glaube ich, dass ich immer noch etwas beitragen kann, das einen kleinen Teil Ihrer Frage beantwortet.

Es gibt einen Grund, nach einer rein theoretischen Theorie jenseits der klassischen Physik zu suchen, und das ist die UV-Katastrophe . Nach der klassischen Lichttheorie sendet ein idealer schwarzer Körper im thermischen Gleichgewicht Strahlung mit unendlicher Kraft aus. Dies ist ein grundlegendes theoretisches Problem, und es besteht keine Notwendigkeit, sich auf experimentelle Ergebnisse zu berufen, um es zu verstehen, eine Theorie, die eine unendliche emittierte Leistung vorhersagt, ist falsch .

Die Quantisierung des Lichts löst das Problem und spielte historisch eine Rolle bei der Entwicklung der Quantenmechanik.

Natürlich weist das nicht auf eines der modernen Postulate der Quantenmechanik hin, die Sie rechtfertigen wollen, aber ich denke, es ist immer noch gut, die UV-Katastrophe als eine der Motivationen zu verwenden, um im ersten nach einer Theorie jenseits der klassischen Physik zu suchen Platz, vor allem dann, wenn man sich möglichst wenig auf experimentelle Ergebnisse berufen möchte.

Wenn ich einen Einführungskurs in die Quantenphysik für Physikstudenten entwerfen würde, würde ich ernsthaft in Erwägung ziehen, von den beobachteten Bell-GHZ-Verletzungen auszugehen. Etwas in der Art von David Mermins Ansatz . Wenn es eines gibt, das deutlich macht, dass keine Form der klassischen Physik das tiefste Naturgesetz liefern kann, dann das. (Dies bezieht sich auf experimentelle Fakten, wenn auch eher gedankenhafter Natur. Wie andere kommentiert haben, ist und sollte eine gewisse Verbindung zu Experimenten unvermeidlich sein.)

Alle wesentlichen Teile der Quantenmechanik sind in der klassischen Physik zu finden.

1) In der statistischen Mechanik wird das System auch durch eine Verteilungsfunktion beschrieben. Keine eindeutigen Koordinaten, keine eindeutigen Impulse.

2) Hamilton hat seinen Formalismus für die klassische Mechanik gemacht. Seine Ideen deckten sich ziemlich genau mit Ideen, die lange vor allen Experimenten in die moderne Quantenmechanik eingeführt wurden: Er versuchte, die Physik so geometrisch wie möglich zu machen.

3) Von Lie-Algebren wusste man, dass der Übersetzungsoperator etwas mit der Ableitung zu tun hat. Von der Impulserhaltung wusste man, dass Übersetzungen etwas mit Impuls zu tun haben. Es war nicht so seltsam, Momentum mit der Ableitung zu assoziieren.

Jetzt sollten Sie einfach alles mischen: die statistische Mechanik mit dem Hamiltonschen Formalismus verschmelzen und die Schlüsselzutat hinzufügen, die für Radiophysiker offensichtlich war: dass Sie kein kurzes (dh lokalisiertes) Signal mit einem schmalen Spektrum haben können.

Voila, Sie haben die Quantenmechanik.

Im Prinzip kann Feynmans Ansatz zur Quantenmechanik für Ihre Zwecke "klarer" sein. Es wurde lange nach den beiden anderen Ansätzen gefunden und ist viel weniger produktiv für die einfachen Probleme, die die Leute normalerweise während des Studiums berücksichtigen. Deshalb ist es für Anfänger nicht so beliebt. Aus philosophischer Sicht könnte es jedoch einfacher sein. Und wir alle wissen, dass es den anderen Ansätzen entspricht.

Abgesehen davon gibt es nichts eindeutig "Quanten" an nicht pendelnden Operatoren oder das Formulieren von Mechanik in einem Hilbert-Raum, wie die Koopman-von-Neumann-Mechanik demonstriert, und es gibt nichts eindeutig "klassisches" an einer Phasenraumkoordinatendarstellung der Mechanik wie gezeigt von Groenewold und Moyals Formulierung der Quantentheorie.

Allerdings gibt es natürlich einen grundlegenden Unterschied zwischen Quanten- und klassischen Theorien. Es gibt viele Möglichkeiten, diesen Unterschied zu destillieren, sei es als Nicht-Lokalität, Unsicherheit oder das Messproblem, der beste Weg, um zu isolieren, was sie unterscheidet, ist der folgende:

In der Quantenmechanik geht es darum, wie Wahrscheinlichkeitsphase und Wahrscheinlichkeitsamplitude interagieren. Dies fehlt grundsätzlich in Hilbert-Raum-Formulierungen der klassischen Mechanik, wo die Phasen- und Amplitudenentwicklungsgleichungen vollständig entkoppelt sind. Es ist diese Phasen-Amplituden-Wechselwirkung, die uns das Wellen-Teilchen-Verhalten, die Elektronenbeugung im Zweispaltexperiment und damit eine einfache Motivation für (und wahrscheinlich den häufigsten Einstiegsweg in die) Quantenmechanik liefert. Diese Phasen-Amplituden-Wechselwirkung ist auch grundlegend für das Verständnis kanonisch konjugierter Variablen und des Unsicherheitsproblems.

Ich denke, wenn man diesen Ansatz wählt, lässt sich die Notwendigkeit einer anderen physikalischen Theorie am ehesten mit der Einzelteilcheninterferenz rechtfertigen, was dann zu den vorgenannten Punkten führt.

Dies ist ein später kommender relevanter Kommentar zu dem Unterrichtsproblem, das Sie haben (aber keine Antwort - ich habe versucht zu kommentieren, aber es wurde zu groß).

Etwas, das Sie in Ihrem Unterricht erwähnen könnten, ist die Theorie moderner Steuerungssysteme, wie sie Ingenieurstudenten gelehrt wird. Ich bin zum QM gekommen, nachdem ich Steuerungssysteme studiert und einige Jahre in meinem Job praktiziert hatte, und danach ist QM ein natürliches Gefühl. Nun frage ich mich, ob QM nicht die Formulierung der Kontrollsystemtheorie beeinflusst haben könnte. Aber im Grunde hat man einen Zustandsraum – den linearen Raum der minimalen Daten, die man braucht, um die Zukunft des Systems eindeutig zu definieren, eine Schrödinger-ähnliche Evolutionsgleichung und Observablen, die auf den Zustand einwirken und so Daten für den Rückkopplungsregler sammeln. Die Interpretation der Observablen unterscheidet sich jedoch radikal von der im QM. Aber "Entwicklungszustand + Messungen" ist die Zusammenfassung und trotzdem, Unsicherheiten in den Observablen führen zu ganzen nicht-trivialen Bereichen stochastischer Steuerungssysteme und robuster Steuerungssysteme (solche, die sogar ungeachtet von Unsicherheiten in den verwendeten mathematischen Modellen funktionieren). Der technische Standpunkt ist auch sehr experimentell - Sie versuchen, Ihr System genau zu modellieren, aber Sie geben sich ganz bewusst keine Feigewie dieses Modell entsteht, es sei denn, die Physik kann Ihnen helfen, ein Modell abzustimmen - aber oft sind die Probleme so von Ungewissheit durchtränkt, dass es überhaupt nicht hilft, die Physik tiefgehend zu untersuchen, und in der Tat geht es in der Theorie der Steuersysteme darum, mit Ungewissheit umzugehen, darauf zu reagieren und Lenken Sie Ihr System auf einen sicheren Kurs, auch wenn unsichere äußere unkontrollierbare Kräfte es endlos schlagen. Es gibt hier sogar Schattierungen des Unsicherheitsprinzips: Wenn Ihr Zustandsmodell unsicher ist und geschätzt wird ( z . B. durch einen Kalman-Filter), wird das, was Ihr Controller tut, das System stören, das Sie zu messen versuchen - obwohl dies natürlich der Beobachtereffekt istund nicht das Heisenberg-Prinzip, versucht man tatsächlich, das Produkt zweier Unsicherheiten zu minimieren. Sie ringen mit dem Kompromiss zwischen der Notwendigkeit zu handeln und der Notwendigkeit zu messen.

Diese Geschichte wird das Thema nicht so motivieren, wie Sie es möchten, aber es wäre dennoch interessant zu zeigen, dass es eine ganze Gruppe von Ingenieuren und Mathematikern gibt, die so denken und es tatsächlich sehr natürlich und nicht mysteriös finden, selbst wenn sie es zum ersten Mal lernen . Ich denke, ein entscheidender Punkt hier ist, dass niemand Studenten der Kontrolltheorie Angst macht, bevor sie mit dem Gerede über katastrophales Versagen der Theorie, die Notwendigkeit, ein Wissensgebiet und intellektuelle Kämpfe, die die besten Köpfe der Welt jahrzehntelang niedergeschlagen haben, völlig neu zu erfinden, zu reden beginnen. Natürlich muss man in der Physik lehren, warum die Leute diesen Weg gegangen sind, aber es ist auch wichtig zu betonen, dass dieselben großartigen Köpfe, die von dem Fach überwältigt waren, uns den Weg geebnet haben, so dass wir jetzt auf ihren Schultern stehen und wirklich besser sehen können, obwohl wir vielleicht weit von ihren intellektuellen Ebenbürtigen entfernt sind.

Soweit ich weiß, fordern Sie eine minimalistische Herangehensweise an die Quantenmechanik, die ihr Studium mit wenig Bezug auf Experimente motivieren würde.

Das Schlechte. Soweit ich weiß, gibt es kein einziges Experiment oder theoretisches Konzept, das Ihre Schüler dazu motivieren kann, Dirackets einzuführen$|\Psi\rangle$, Operatoren, Hilbert-Räume, die Schrödinger-Gleichung ... alles auf einmal. Dafür gibt es zwei Gründe und beide hängen zusammen. Erstens unterscheidet sich die gewöhnliche Wellenfunktion oder Dirac-Formulierung der Quantenmechanik zu sehr von der klassischen Mechanik. Zweitens wurde die gewöhnliche Formulierung in Stücken von vielen verschiedenen Autoren entwickelt, die versuchten, die Ergebnisse verschiedener Experimente zu erklären – viele Autoren gewannen einen Nobelpreis für die Entwicklung der Quantenmechanik –. Das erklärt, warum Sie "seit ein paar Jahren" nur "unvollständig, nicht ganz zufriedenstellend" antworten.

Der gute. Ich glaube, dass man mit der modernen Wigner & Moyal-Formulierung der Quantenmechanik Ihre Anforderungen größtenteils erfüllen kann, weil diese Formulierung Kets, Operatoren, Hilbert-Räume, die Schrödinger-Gleichung vermeidet ... In dieser modernen Formulierung ist die Beziehung zwischen der klassischen (links ) und die quantenmechanischen (richtigen) Axiome sind

wo$\star$ist das Moyal Star-Produkt,$\rho^\mathrm{W}$die Wigner-Verteilung und$\{ , \}_\mathrm{MB}$die Moyal-Klammer. Die Funktionen$A(p,x)$sind dieselben wie in der klassischen Mechanik. Ein Beispiel für die erste Quantengleichung ist$H \star \rho_E^\mathrm{W} = E \rho_E^\mathrm{W}$was die Energieeigenwerte liefert.

Nun zum zweiten Teil Ihrer Frage. Was ist die minimale Motivation für die Einführung der Quantenausdrücke rechts? Ich denke, dass es wie folgt sein könnte. Es gibt eine Reihe von Experimenten, die auf eine Dispersionsbeziehung hindeuten$\Delta p \Delta x \geq \hbar/2$, die mit der klassischen Mechanik nicht erklärbar ist. Diese experimentelle Tatsache kann als Motivation für die Substitution des kommutativen Phasenraums der klassischen Mechanik durch einen nicht-kommutativen Phasenraum verwendet werden. Die mathematische Analyse der nichtkommutativen Geometrie zeigt, dass gewöhnliche Produkte im Phasenraum durch Startprodukte ersetzt werden müssen, der klassische Phasenraumzustand durch Eins ersetzt werden muss,$\rho^\mathrm{W}$, die an Phasenraumregionen größer als die Planck-Länge begrenzt ist--, und Poisson-Klammern müssen durch Moyal-Klammern ersetzt werden.

Obwohl dieser minimalistische Ansatz nicht durch Verwendung der gewöhnlichen Wellenfunktion oder des Dirac-Formalismus erhalten werden kann, gibt es beim Wigner & Moyal-Ansatz jedoch drei Nachteile. (i) Die mathematische Analyse ist alles andere als trivial. Die erste Quantengleichung von oben lässt sich leicht ableiten, indem man das gewöhnliche Produkt durch ein Startprodukt und ersetzt$\rho \rightarrow \rho^\mathrm{W}$im klassischen Ausdruck. Auch die dritte Quantengleichung lässt sich auf diese Weise gewinnen, denn das lässt sich zeigen

A priori könnte man meinen, dass man die zweite Quantengleichung auf die gleiche Weise erhält. Dies funktioniert nicht und ergibt eine falsche Gleichung. Die korrekte Quantenbewegungsgleichung erfordert die Substitution der gesamten Poisson-Klammer durch eine Moyal-Klammer. Natürlich erklärt die Moyal-Klammer die Nicht-Kommutativität des Phasenraums, aber es gibt keine Rechtfertigung für ihr Vorhandensein in der Bewegungsgleichung aus der Nicht-Kommutativität allein. Tatsächlich wurde diese Quantenbewegungsgleichung ursprünglich aus der Liouville-Von-Neuman-Gleichung über die formale Entsprechung zwischen dem Phasenraum und dem Hilbert-Raum erhalten, und jede mir bekannte moderne Darstellung der Wigner & Moyal-Formulierung rechtfertigt die Form der Quantengleichung der Bewegung über diese formelle Korrespondenz.(ii) Die Theorie ist rückwärts inkompatibel mit der klassischen Mechanik, weil die kommutative Geometrie vollständig durch eine nicht-kommutative ersetzt wird. Infolgedessen nein$\rho^\mathrm{W}$einen reinen klassischen Zustand – einen Punkt im Phasenraum – darstellen kann. Beachten Sie, dass diese Inkompatibilität auch in den gewöhnlichen Formulierungen der Quantenmechanik vorhanden ist – zum Beispiel kann keine Wellenfunktion einen reinen klassischen Zustand vollständig beschreiben –. (iii) Die Einführung von Spin in den Formalismus von Wigner & Moyal ist etwas künstlich und wird noch aktiv weiterentwickelt.

Der beste? Die oben genannten drei Nachteile können in einem neuen Phasenraum-Formalismus beseitigt werden, der einen „minimalistischen“ Zugang zur Quantenmechanik durch eine Verbesserung gegenüber der geometrischen Quantisierung bereitstellt. Dies ist meine eigene Arbeit und Details und Links werden in den Kommentaren oder in einer separaten Antwort nur dann offengelegt, wenn sie von der Community verlangt werden.

Es gibt nicht den einen besten Weg, die Frage „Warum Quantenmechanik?“ zu beantworten, denn die beste Antwort hängt genau davon ab, woran der Fragesteller skeptisch ist. Angenommen, die Ortsgruppe der Quantum Mechanics Haters' Union (QMHU) lud mich ein, das Konzept vor ihnen zu verteidigen.

Zuerst sagt Alice: "Ich weiß nicht wirklich etwas über QM, aber ich habe gehört, dass es 'Wahrscheinlichkeitswolken' und 'viele Welten' und 'nichts ist wahr' und so etwas verwendet, und ich kann mich einfach nicht dazu bringen glauben, dass etwas so Seltsames richtig sein könnte." Ich würde ihr das Phänomen der Einzelelektronen-Doppelspalt-Interferenz erklären. Es ist ziemlich offensichtlich, dass keine Theorie klassischer Punktteilchen dies erklären kann.

Dann sagt Bob: „Ich habe einen soliden Bachelor- oder Master-Hintergrund in QM, und ich gebe zu, dass Einzelelektronen-Doppelspaltinterferenz wirklich seltsam ist. Aber die Quantenmechanik scheint noch seltsamer zu sein, also wette ich immer noch, dass es eine ganz klassische Erklärung dafür gibt ." Ich würde ihm die Sätze von Kochen-Specker und Bell erklären.

Dann sagt Charlie: „Okay, Sie haben mich überzeugt, dass die klassische Mechanik Dinge wie die Einzelelektronen-Doppelspalt-Interferenz nicht erklären kann. Aber es ist nicht offensichtlich, dass die Quantenmechanik das auch kann. Schließlich ist das eigentlich ein ziemlich kniffliges System zu analysieren quantitativ." Ich würde ihm die Energiespektren des Wasserstoffatoms erklären und zeigen, dass eine Berechnung, die nur wenige Vorlesungen in Anspruch nimmt, reale beobachtete Phänomene äußerst genau vorhersagen kann.

Dann sagt Deborah: "Okay, das ist ziemlich beeindruckend. Aber ich wette, ohne allzu großen Aufwand könnten wir eine einfachere Theorie entwickeln, die ebenso quantitativ genaue Vorhersagen macht." Ich würde ihr erklären, dass die theoretisch vorhergesagten und experimentell gemessenen Werte des anomalen magnetischen Moments des Elektrons mit zehn signifikanten Zahlen übereinstimmen und dass keine Vorhersage in irgendeinem Bereich der menschlichen Existenz jemals so quantitativ genau war – also jede Alternative zu QM wäre müssen verdammt gut sein.

Dann sagt Ethan: „Okay, ich bin überzeugt, dass QM sehr nützlich ist, um einige seltsame Dinge zu erklären, die passieren, wenn man ein Elektron auf zwei schmale Schlitze schießt, oder die Frequenz des Lichts, das von elektrisch angeregtem Wasserstoff emittiert wird, genau misst. Aber wen interessiert das? Ich habe so etwas noch nie gemacht und werde es auch nie tun." Ich würde ihm erklären, dass die Quantenmechanik entscheidend ist, um zu verstehen, wie man eine breite Palette nützlicher Materialien herstellt – vor allem Halbleiter, auf die sich so ziemlich alle in den letzten 50 Jahren hergestellten elektronischen Geräte verlassen.

Dann sagt Franny: "Mein Einwand ist der gleiche wie der von Ethan, außer dass ich Amish bin, also benutze ich keine Elektronik, und Ihre Antwort an ihn stellt mich nicht zufrieden." Ich würde ihr erklären, dass das Pauli-Ausschlussprinzip - das nur für Quantensysteme sinnvoll ist - die Elektronen in jedem Atom ihres Körpers in ihren Bahnen hält und sie alle daran hindert, in die zu stürzen$1s$Zustand, der dazu führen würde, dass sie zu einer bosonischen Pfütze schmilzt.

Dann sagt George: "Ich bin Philosophieprofessor, also kümmere ich mich nicht um irgendetwas, das auch nur annähernd praktisch oder wichtig ist. Alles, was mich interessiert, sind 'große Fragen'." Ich würde ihm erklären, dass die Entwicklung der Quantenmechanik eines der Ereignisse in der gesamten Menschheitsgeschichte ist, das unser Verständnis der grundlegenden ontologischen Natur der Existenz am radikalsten verändert hat, und dass Philosophen immer noch aktiv darüber debattieren, was dies „wirklich bedeutet“.

Dann sagt Harriett: "Dasselbe wie George, aber ich bin Mathematikprofessor, also interessiert mich nur Mathematik." Ich würde ihr erklären, dass die Entwicklung von QM zu enormen, mit der Fields-Medaille ausgezeichneten Entwicklungen in unserem Verständnis von reiner Mathematik geführt hat, wie in den Bereichen Faserbündel, Quantenfeldtheorie und topologische Feldtheorie.

Dann sagt Iris: „Ich kümmere mich nicht um all diese Dinge. Ich will nur viel, viel Geld.“ Ich würde ihr erklären, dass Quantencomputer relativ bald in der Lage sein könnten, große Zahlen effizient zu faktorisieren und das RSA-Verschlüsselungsverfahren zu brechen, das von den meisten Banken verwendet wird – wenn sie also einen in die Hände bekommt, kann sie möglicherweise viele, viele Mengen stehlen von Geld.

Dann sagt Jonathan Gleason: "Ich habe keine persönlichen Einwände gegen die Idee der Quantenmechanik, es fällt mir nur sehr schwer, mich zurechtzufinden. Können Sie mir eine konzeptionelle Zusammenfassung in fünf Sätzen geben, vorausgesetzt, Sie verfügen über ein solides Verständnis der klassischen Mechanik?" (Sehen Sie, was ich dort gemacht habe? Ich denke, diese Frage kommt der ursprünglichen Formulierung des OP am nächsten.) So würde ich antworten: „Die klassische Mechanik ist ziemlich streng, wenn es darum geht, keine funktionalen Variationen zuzulassen$\delta S / \delta \varphi$überhaupt in Aktion. Jeder macht Fehler - keine Notwendigkeit, das Buch auf diese Felder zu werfen. Anstatt jede Feldkonfiguration, für die sich die Aktion auch nur ein kleines bisschen ändert, vollständig zu verbieten, lassen Sie uns nett sein. Wir lassen die Felder davonkommen, indem sie gelegentlich einige Werte annehmen, bei denen die Aktion nicht vollständig stationär ist. Aber wir wollen nicht, dass diese verdammten Felder unsere liberale Einstellung missbrauchen, also werden wir sie auf einer gleitenden Skala bestrafen, wobei wir umso mehr Gas geben, je schneller sich die Aktion bei einer bestimmten Feldkonfiguration ändert.

Ich lese immer gerne „ BERTLMANNS SOCKEN UND DIE NATUR DER WIRKLICHKEIT “ * von J. Bell, um mich daran zu erinnern, wann und warum eine klassische Beschreibung versagen muss.

Er bezieht sich im Wesentlichen auf die EPR-Korrelationen. Sie könnten seine Argumentation motivieren, indem Sie die allgemeine Mengenlehre (z. B. versuchen Sie drei verschiedene Mengen: A, B, C und versuchen Sie, sie irgendwie zusammenzuführen) mit demselben Konzept von "Mengen" in Hilbert-Räumen vergleichen, und Sie werden sehen, dass sie nicht gleich sind ( Satz von Bell).

• http://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00220688/en/

Es scheint mir, dass Ihre Frage im Wesentlichen nach einem platonischen mathematischen Modell der Physik fragt, zugrunde liegenden Prinzipien, aus denen der Quantenformalismus gerechtfertigt und tatsächlich abgeleitet werden könnte. Wenn dem so ist, gehören Sie im Gegensatz zur überwiegenden Mehrheit der traditionellen Instrumentalisten zur Minderheit der (aber wachsenden) realistischen Physiker.

Der Haken ist die beste, wenn nicht sogar die einzige Chance, ein solches Modell zu entwickeln, das entweder gottähnliches Wissen oder zumindest mit fast übermenschlicher Intuition eine korrekte Einschätzung der zugrunde liegenden Phänomene erfordert, und offensichtlich hat noch niemand beides erreicht, das ausreicht, um alle zu vereinheitlichen Physik unter einer einzigen Rubrik in dieser Richtung.

Mit anderen Worten, um zur abstraktesten Erklärung zu gelangen, ist ironischerweise der praktischste Ansatz erforderlich, genauso wie das Sehen im kleinsten Maßstab das größte Mikroskop wie den LHC erfordert, oder Sherlock Holmes kann nur mit ausreichend Daten zu den unerwartetsten Schlussfolgerungen gelangen (Fakten, Watson, ich brauche mehr Fakten!)

Obwohl ich ein Mitrealist bin, sehe ich also, dass Instrumentalismus (sich damit zufrieden geben, Effekte zu modellieren, ohne nach Ursachen zu suchen, was mit „Black-Box-Tests“ verglichen werden könnte) unverzichtbar war und bleibt.

Thomas's Calculus enthält eine lehrreiche Übung zur Newtonschen Mechanik, über die jeder nachdenken sollte: Die Gravitationsfeldstärke im Inneren der Erde ist proportional zum Abstand vom Zentrum und ist daher im Zentrum null. Und natürlich gibt es den rigorosen Beweis, dass, wenn die Materie gleichmäßig in einer Kugel verteilt ist, sie außerhalb der Kugel eine gleiche Gravitationskraft ausübt, wie wenn die gesamte Masse im Zentrum konzentriert wäre.

Wenn man nun aus physikalischer Sicht darüber nachdenkt, «was Materie ist», landet man bei logischen und physikalischen Schwierigkeiten, die erst durch die Theorie der Materiewellen von de Broglie und Schrödinger beantwortet wurden.

Dies erwächst auch aus dem Nachdenken über Diracs weise Bemerkung: Wenn „groß“ und „klein“ nur relative Begriffe sind, hat es keinen Sinn, das Große mit dem Kleinen zu erklären … Größe muss eine absolute Bedeutung haben.

Ist Materie ein Pulver oder eine Flüssigkeit, die gleichmäßig und kontinuierlich verteilt ist und jede Dichte (kurz vor unendlich) annehmen kann? Dann muss diese Kugel aus gleichmäßig verteilter Materie in endlicher Zeit auf einen Punkt unendlicher Dichte schrumpfen ... Warum sollte Materie starr und inkompressibel sein? Wirklich, das ist ohne die Wellentheorie der Materie unerklärlich. Schrödingers Gleichung zeigt, dass wenn eine Materiewelle aus irgendeinem Grund zu komprimieren beginnt, sie eine Rückstellkraft erfährt, die der Komprimierung entgegenwirkt, so dass sie nicht über einen bestimmten Punkt hinausgehen kann (ohne ihr mehr Energie zuzuführen).
Siehe das zugehörige https://physics.stackexchange.com/a/18421/6432 . Nur dies kann erklären, warum der Begriff „Teilchen“ eine gewisse Gültigkeit haben kann und nicht noch etwas Kleineres benötigt, um ihn zu erklären.

In seinen Prinzipien der Quantenmechanik, skizziert Dirac einige der klassischen Mechanik innewohnende theoretische Probleme, die einige dazu motivieren könnten, einige der Grundlehren der Quantenmechanik als erwartete grundlegende Merkmale der Physik zu betrachten, ohne Bezug auf die tatsächlichen Experimente zu nehmen, die zu der genauen Version der Quantenmechanik führten, wie wir sie heute verstehen . Natürlich skizziert Dirac auch die experimentellen Fehler der klassischen Mechanik in demselben Kapitel, in dem er diese theoretischen Überlegungen erwähnt (tatsächlich erwähnt er die experimentellen Fehler vor den theoretischen Überlegungen – wahrscheinlich aus dem offensichtlichen Grund, den niemand übernehmen möchte die eher vagen theoretischen Bedenken mit einem so erfolgreichen Schema der klassischen Mechanik sehr ernst nehmen, bis sie mit der brachialen Tatsache konfrontiert werden, dass das Schema tatsächlich nicht generisch angemessen ist). Mit diesem Vorwort

Wenn wir die letztendliche Struktur der Materie erklären wollen, dann ist sie mit der klassischen Denkweise nicht zu verstehen. Denn der klassische Ansatz wäre, die makroskopische Materie aus ihren mikroskopischen Bestandteilen zu verstehen. Aber die Frage ist "Wozu?". Klassischerweise würde man sich klar vorstellen, dass diese mikroskopischen Bestandteile weiter aus noch mikroskopischeren Bestandteilen bestehen. (Und wenn Sie darüber nachdenken, fügt dies der Materie wirklich eine Menge Struktur (Informationen, wenn Sie möchten) hinzu, die nicht berücksichtigt werden kann, wenn wir die endlichen spezifischen Wärmekapazitäten der Materie messen. So erklären wir das Große mit den Begriffen des Kleinen kann nicht erfolgreich sein, bis wir wissen, wo wir aufhören müssen, und es kann keinen logischen Haltepunkt geben, es sei denn, wir haben eine absolute Bedeutung für das Kleine. Der einzige generische Begriff von groß und klein kann in Bezug auf die Störung definiert werden, die eine Messung im System verursacht. Da der klassische Gedanke vorschlägt, dass die Messungen so sanft sein können, wie wir wollen, gibt es kein absolut kleines, weil für eine ausreichend sanfte Messung jedes System als ausreichend groß angesehen werden kann. Der einzige Ausweg besteht darin, dass es eine Grenze dafür gibt, wie schonend die Messungen im Prinzip sein können – denn dies erleichtert die Vorstellung eines absolut kleinen Maßstabs. Das Ausmaß, in dem Bestandteile wirklich als strukturlos ohne weitere interne Struktur behandelt werden können. Wenn wir so weit gekommen sind, können wir weiter behaupten, dass, da bestimmte Messungen zwangsläufig bis zu einem gewissen Grad unsanft sind,

Wir haben also die unvermeidliche Ungewissheit und die Unausweichlichkeit der Wahrscheinlichkeitsnatur der Messergebnisse. Natürlich ist das alles extrem handgewelltes Zeug, aber da das OP nach etwas rein Theoretischem gefragt hat, dachte ich, dass dies so weit sein muss, wie man von rein theoretischen Überlegungen gehen kann, denn so weit ist Dirac gegangen!

PS: Es gibt einen sehr lockeren Weg, die pfadintegrale Version der Quantenmechanik ganz teilweise aus der klassischen Mechanik zu motivieren, ohne auf irgendeine andere Diskussion der Quantenmechanik Bezug zu nehmen. Das heißt, das Handlungsprinzip religiös ernst nehmen. Das heißt, da das Aktionsprinzip die gesamte Trajektorie auf einmal aus allen anderen möglichen Trajektorien auszuwählen scheint, anstatt den Pfad in der stiefmütterlichen Manier des explizit deterministischen Newtonschen Bewegungsgesetzes herauszufinden, wenn wir dies erhöhen wollen Unterscheidungsmerkmal des Aktionsprinzips ( aus irgendeinem mysteriösen Grund ) dann können wir sagen, dass das Teilchen tatsächlichberücksichtigt alle möglichen Wege, um von einem Punkt zum anderen zu gelangen. Dies könnte einen möglicherweise dazu motivieren, sich das Teilchen tatsächlich als Überlagerung all dieser Trajektorien vorzustellen. Der Rest der Funktionen bleibt jedoch noch ziemlich unklar.

Klassische Mechanik ist einerseits keine endgültige Theorie und andererseits nicht weiter zerlegbar. Sie können es also nicht verbessern, es wird so gegeben, wie es ist.

Zum Beispiel können Sie nicht erklären, warum ein sich bewegender Körper, wenn er vom vorherigen Punkt seiner Flugbahn verschwindet, an einem unendlich kleinen Punkt wieder erscheinen sollte, aber keinen Meter voraus erscheinen kann (Teleportieren). Was bedeutet das Einschränken von Trajektorienpunkten in eine durchgehende Linie? Keine Antwort. Dies ist ein Axiom. Sie können keinen MECHANISMUS zum Einschränken bauen.

Ein anderes Beispiel: Sie können nicht aufhören, Körper in Teile zu zerlegen. Endgültige Elemente (Teilchen) kann man nicht erreichen und wenn, dann kann man nicht mehr erklären, warum diese Teilchen unteilbar sind. Die Materie sollte in Klassikern kontinuierlich sein, während Sie sich nicht vorstellen können, wie materielle Punkte existieren.

Sie können auch nicht erklären, wie das gesamte unendliche Universum gleichzeitig in seiner gesamten Information existieren kann. Was passiert in einer absolut geschlossenen Box oder was passiert in absolut unerreichbaren Regionen der Raumzeit? Klassiker neigen dazu zu glauben, dass die Realität auch dort real ist. Aber wie kann es sein, wenn es absolut nicht nachweisbar ist? Der wissenschaftliche Ansatz besagt, dass nur das Messbare existiert. Wie kann es also in einer absolut geschlossenen Kiste (mit einer Katze darin) Realität sein?

In der klassischen Mechanik kann man keine absolute Identität von Bausteinen erreichen. Wenn zum Beispiel alle Atome aus Protonen, Neutronen und Elektronen aufgebaut sind, sind diese Teilchen ähnlich, aber nicht gleich. Zwei Elektronen in zwei verschiedenen Atomen sind im klassischen nicht gleich, sie sind zwei Kopien eines Prototyps, aber nicht der Prototyp selbst. In Klassikern kann man also keine wirklich grundlegenden Bausteine ​​der Realität definieren.

In Klassikern kann man Indeterminismus nicht definieren. Sie können nicht realisierte Möglichkeiten in Classic nicht definieren und können nicht sagen, was mit Möglichkeiten passiert ist, die möglich, aber nicht realisiert waren.

In Klassikern kann man Nichtlokalität nicht definieren. In den Klassikern gibt es nur zwei Möglichkeiten: Ein Ereignis beeinflusst ein anderes (Ursache und Wirkung) und zwei Ereignisse sind unabhängig. Sie können sich nicht vorstellen, dass zwei Ereignisse korrelieren, sich aber nicht gegenseitig beeinflussen! Das ist möglich, aber bei Klassikern unvorstellbar!