Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik: Messergebnisse oder mehr?

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Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik: Messergebnisse oder mehr?

Physik
geboren-Regel
Wahrscheinlichkeit
Quantenmechanik
Quantenmessungen

Sahand Tabatabaei

In alle Behandlungen der Quantenmechanik tritt die probabilistische Natur der Theorie über die Born-Regel für die statistischen Eigenschaften der Messergebnisse einiger Beobachtbarer ein. Kurz gesagt, dies sagt das für ein Observable aus $\Omega \in \mathcal{L(H)}$ auf dem Hilbertraum $\mathcal{H}$ , die Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert zu messen $\omega$ in normalisiertem Zustand $|\psi \rangle \in \mathcal H$ wird gegeben von:

P R (Ω = ω) \equiv “ P_{ω} | ψ ⟩ “^{2}

$\mathrm{Pr}(\Omega = \omega) \equiv \Vert P_\omega \vert \psi \rangle \Vert^2$

mit $P_\omega$ der Projektor auf den Eigenraum von sein $\Omega$ dem Eigenwert zugeordnet $\omega$ .

Nun, soweit ich weiß, was reine Zustände betrifft, ist dies der einzige Weg, auf dem Wahrscheinlichkeiten in die Quantenmechanik eingehen; Es macht keinen Sinn, von Wahrscheinlichkeiten zu sprechen, ohne dass es eine Messung an einer Observable gibt. Es gibt jedoch ein Problem, in vielen Fällen habe ich gesehen, dass Leute den Begriff einer Menge verwenden

| ⟨ ϕ | ψ (T) ⟩ |^{2}

$\vert \langle \phi \vert \psi(t) \rangle \vert^2$

auch als eine Art Wahrscheinlichkeit, ohne dass eine Messung/Beobachtbarkeit erwähnt wird. Zum Beispiel für eine Spritztour $1/2$ Teilchen, wenn $|\psi(0) \rangle = \vert \left\downarrow \right \rangle$ Und $|\phi \rangle = \vert \left\uparrow \right \rangle$ , Ich habe die Menge gesehen

P (T) = | ⟨ ↑ | ψ (T) ⟩ |^{2}

$p(t) = \vert \langle \uparrow \vert \psi(t) \rangle \vert^2$

wird als "Spin-Flip-Wahrscheinlichkeit" bezeichnet. Jetzt verstehe ich das $p(t)$ erfüllt alle notwendigen Axiome , damit es sich um eine gültige Wahrscheinlichkeit handelt, und ich verstehe auch intuitiv, dass diese Größe die Nähe der Zustände misst $\vert \psi(t) \rangle$ Und $\vert \left\uparrow \right \rangle$ , wobei sie (bis zu einer Phase) genau gleich sind, wenn $p(t) = 1$ . Trotzdem versuche ich immer wieder, einen Weg zu finden, diese probabilistische Aussage mit der Born-Regel in Verbindung zu bringen, ohne Erfolg.

Betrachten Sie als weiteres Beispiel für diese Diskrepanz die Standardformulierung der zeitabhängigen Störungstheorie, in der die Übergangswahrscheinlichkeit vom Energieeigenzustand $\vert n \rangle$ Zu $\vert m \rangle$ ist definiert als:

P_{N \to M} (T) \equiv | ⟨ M | U (T) | N ⟩ |^{2}

$p_{n\rightarrow m}(t) \equiv \vert \langle m \vert U(t) \vert n \rangle \vert ^2$ Wo

U

$U$ ist der Verbreiter. Dies kann dann verwendet werden, um eine Übergangsrate usw. zu berechnen.

Auch hier sehe ich keine Erwähnung, dass überhaupt eine Messung stattfindet. Ich kann es nur verstehen, indem ich es als Abkürzung für Folgendes betrachte:

" Wenn das System im Zustand gestartet wurde $\vert n \rangle$ und für die Zeit entwickelt $t$ , was wäre die Wahrscheinlichkeit, die Energie des Systems zu messen und zu bekommen $E_m$ als Ergebnis “.

Aber auch diese Interpretation ist nicht unproblematisch, da sie bei der $m^\mathrm{th}$ Eigenzustand ist entartet . Dann fällt mir keine Möglichkeit ein, dies mit der Born-Regel in Verbindung zu bringen.

Übersehe ich etwas Grundsätzliches, das diese probabilistischen Interpretationen zufriedenstellend verbindet, oder sollte ich diese zweiten "Wahrscheinlichkeiten" nur als Maß für die "Nähe" der beiden Zustände interpretieren? $\vert \phi \rangle$ Und $\vert \psi(t) \rangle$ ?

Knzhou

Ja, Wahrscheinlichkeit steht immer für die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis zu sehen, wenn Sie eine Messung durchführen, zum Beispiel ist in Ihrem ersten Fall die Spin-Flip-Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit der Messung

| ↑ ⟩

$|\uparrow \rangle$ wenn Sie eine Spin-Messung durchführen.

Sahand Tabatabaei

@knzhou Ich habe das in meinem zweiten Beispiel als eine Interpretation erwähnt. Aber was ist mit "Übergangswahrscheinlichkeiten" von einem Energieeigenzustand in den anderen im Kontext der zeitabhängigen Störungstheorie? Wenn einer der fraglichen Eigenzustände mit einem degenerierten Eigenwert assoziiert ist, können Sie diese Assoziation nicht mehr mit der Born-Regel herstellen. Siehe mein zweites Beispiel.

Knzhou

Natürlich können Sie das, Sie müssen nur etwas anderes als Energie messen.

Sahand Tabatabaei

Das ist richtig. Man könnte immer einen hermiteschen Operator definieren, für den die Wahrscheinlichkeiten der Messergebnisse dem entsprechen

| ⟨ n | U | m ⟩ |^{2}

$\vert \langle n \vert U \vert m \rangle \vert^2$ Übergangswahrscheinlichkeiten. Aber ich habe nicht das Gefühl, dass dies mein Problem wirklich anspricht. Das einzige, was Ihnen sagt, ist, dass diese Größe die Wahrscheinlichkeit ist, einen bestimmten Wert für eine (vielleicht) künstliche und abstrakte Observable zu messen, die Sie auf Ihrem Hilbert-Raum definiert haben. Warum würden Sie es dann die Übergangswahrscheinlichkeit nennen ? Sollte da nicht ein Zusammenhang mit der physikalischen Intuition eines „Übergangs“ bestehen?

C. Jordan

Wenn ich über Wahrscheinlichkeitsmessung spreche, denke ich an Sucher in höheren Dimensionen der fünften oder zehnten, wo die Wahrscheinlichkeit relativ zu Raum und Zeit ist, aber schwer zu verstehen ist

Antworten (1)

Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik: Messergebnisse oder mehr?

Ja, Wahrscheinlichkeit steht immer für die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis zu sehen, wenn Sie eine Messung durchführen, zum Beispiel ist in Ihrem ersten Fall die Spin-Flip-Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit der Messung $|\uparrow \rangle$ wenn Sie eine Spin-Messung durchführen.
@knzhou Ich habe das in meinem zweiten Beispiel als eine Interpretation erwähnt. Aber was ist mit "Übergangswahrscheinlichkeiten" von einem Energieeigenzustand in den anderen im Kontext der zeitabhängigen Störungstheorie? Wenn einer der fraglichen Eigenzustände mit einem degenerierten Eigenwert assoziiert ist, können Sie diese Assoziation nicht mehr mit der Born-Regel herstellen. Siehe mein zweites Beispiel.
Natürlich können Sie das, Sie müssen nur etwas anderes als Energie messen.
Das ist richtig. Man könnte immer einen hermiteschen Operator definieren, für den die Wahrscheinlichkeiten der Messergebnisse dem entsprechen $\vert \langle n \vert U \vert m \rangle \vert^2$ Übergangswahrscheinlichkeiten. Aber ich habe nicht das Gefühl, dass dies mein Problem wirklich anspricht. Das einzige, was Ihnen sagt, ist, dass diese Größe die Wahrscheinlichkeit ist, einen bestimmten Wert für eine (vielleicht) künstliche und abstrakte Observable zu messen, die Sie auf Ihrem Hilbert-Raum definiert haben. Warum würden Sie es dann die Übergangswahrscheinlichkeit nennen ? Sollte da nicht ein Zusammenhang mit der physikalischen Intuition eines „Übergangs“ bestehen?
Wenn ich über Wahrscheinlichkeitsmessung spreche, denke ich an Sucher in höheren Dimensionen der fünften oder zehnten, wo die Wahrscheinlichkeit relativ zu Raum und Zeit ist, aber schwer zu verstehen ist

Nephente · Answer 1

$\newcommand{\ket}[1]{\vert\,#1\,\rangle}$ $\newcommand{\bra}[1]{\langle\,#1\,\vert}$ $\newcommand{\braket}[2]{\langle\,#1\,\vert\,#2\,\rangle}$

Was Sie wissen sollten, ist, dass z $P_\uparrow \equiv \vert\!\uparrow\,\rangle\langle\,\uparrow\!\vert$ ist der Projektor auf den Spin-up-Eigenraum. Daher

P R (S_{z} = \frac{1}{2}) = “ P_{↑} | Ψ ⟩ “^{2} = \underset{= 1}{\underset{⏟}{⟨ ↑ | ↑ ⟩}} | ⟨ ↑ | Ψ ⟩ |^{2}

$\mathrm{Pr}\left(S_z=\frac{1}{2}\right) = \Vert P_\uparrow \vert\,\Psi\,\rangle \Vert^2 = \underbrace{\langle\,\uparrow\!\vert\!\uparrow\,\rangle}_{=1}\vert\langle\,\uparrow\!\vert\Psi\,\rangle\vert^2$

und beide Ausdrücke repräsentieren dieselbe Größe.

Wenn der Unterraum entartet ist, können Sie den Projektor orthonormal(!) als auf diesen Unterraum schreiben

P_{ω} = \sum_{k} | ω, k ⟩ ⟨ ω, k |

$P_\omega = \sum_k \ket{\omega,k}\bra{\omega,k}$ wobei die Summe über eine die Basis überspannende läuft

ω

$\omega$ -Unterraum. Dann gibt die Born-Regel nach

P R (Ω = ω) = “ P_{ω} | Ψ ⟩ “^{2} = \sum_{k} | ⟨ ω, k | Ψ ⟩ |^{2}

$\mathrm{Pr}(\Omega=\omega) = \Vert P_\omega \ket{\Psi}\Vert^2 = \sum_k \vert \braket{\omega,k}{\Psi}\vert^2$ dh die zu messende Gesamtwahrscheinlichkeit

ω

$\omega$ ergibt sich durch Summieren über die Entartung (wahrscheinlichkeitstheoretisch: man marginalisiert).

Betrachten Sie als Beispiel vielleicht das Wasserstoffatom mit Energie- und Drehimpulsbasis $\ket{n,l,m}$ . Jeder Energieeigenzustand $H\ket{n,l,m}=E_n\ket{n,l,m}$ Ist $n^2$ falt entartet. Beginnt das System zB im Stand $\ket{000}$ , die Wahrscheinlichkeit, es zu einem späteren Zeitpunkt zu finden $t$ in einem Zustand mit Hauptquantenzahl $n$ Ist

\sum_{l = 0, . . ., N - 1} \sum_{M = - l, . . ., l} | ⟨ N, l, M | U (T) | 000 ⟩ |^{2}

$\sum_{l=0,...,n-1}\sum_{m=-l,...,l} \vert \braket{n,l,m}{U(t)\vert 000}\vert^2$ Welchen Drehimpuls das System haben könnte, ist für die vorliegende Energiemessung unerheblich.

Wenn Sie die Frage stellen würden: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im p-Orbital der zweiten Schale zu finden, das wäre

\sum_{M = - 1, 0, 1} | ⟨ 2, 1, M | U (T) | 000 ⟩ |^{2}

$\sum_{m=-1,0,1} \vert \braket{2,1,m}{U(t)\vert 000}\vert^2$ da in diesem Fall das Beobachtbare zur Hand ist

H \otimes L^{2}

$H\otimes L^2$ .

Was ist los mit

P_{N \to M} (T) \equiv | ⟨ M | U (T) | N ⟩ |^{2} ?

$p_{n\rightarrow m}(t) \equiv \vert \langle m \vert U(t) \vert n \rangle \vert ^2\;\;?$ Dies ist die Wahrscheinlichkeit, das System im Zustand zu finden

| m ⟩

$\ket{m}$ . Wenn der entsprechende Energieeigenwert nicht entartet ist, dann ist dies – wie Sie gut verstehen – die Wahrscheinlichkeit, das System bei Energie zu finden

E_{m}

$E_m$ bei einer Messung nach Zeit

t

$t$ . Aber wenn es entartet ist, wie könnte man dann nur durch Energiemessung feststellen, in welchem der entarteten Zustände sich das System befindet? Sie können nicht. Sie benötigen (mindestens) eine andere Observable, die Sie gleichzeitig messen können, um die entarteten Zustände voneinander zu unterscheiden. Abschließend hast du Recht. Der obige Ausdruck ist nicht die Messwahrscheinlichkeit von Energie

E_{m}

$E_m$ . Um dies zu erhalten, muss man über den Unterraum summieren.

Es steht jedoch nicht im Widerspruch zur Born-Regel. Jedes Ergebnis einer (projektiven) Messung entspricht einem orthogonalen Projektor $P$ . Ob dieser Projektor Rang eins ist und auf einen einzigen Zustand projiziert, oder ob er auf einen degenerierten Unterraum projiziert. Also fragen "ob das System in Zustand ist $\ket{n}$ ist eine vollkommen gültige Messung. Eine, die Sie in der Praxis vielleicht nicht ausführen können, aber das ist in Ordnung. Und so fragt "ob das System Energie E_n hat". Die Born-Regel gilt für alle diese Situationen gleichermaßen und die Wahrscheinlichkeit wird immer als angegeben $\Vert P\ket{\Psi}\Vert^2$

Ja, das habe ich im Zusammenhang mit meinem zweiten Beispiel der Diskrepanz erwähnt. Sobald Sie über eine Observable mit entartetem Spektrum sprechen, bricht Ihr Standpunkt zusammen. Sehen Sie sich das zweite Beispiel in meiner Frage an, um zu sehen, was ich meine.
@SahandTabatabaei Ich habe meine Antwort erweitert. Obwohl ich nicht überzeugt bin, dass ich die Wurzel Ihres Problems vollständig verstehe, das eher semantischer als physikalischer Natur zu sein scheint?
Exakt! Also die Menge $\vert \langle n \vert U \vert m \rangle \vert^2$ (ohne Summierung über den entarteten Eigenraum) entspricht nur dann der Born-Regel, wenn die Zustände nicht entartet sind, wie Sie sagen. Ich verstehe alles vollkommen, solange das Spektrum nicht entartet ist. Genau das ist mein Problem. Ich habe gesehen, dass diese Größe als "Übergangswahrscheinlichkeit vom Zustand" bezeichnet wird $m$ zu erklären $n$ " ohne Erwähnung von Annahmen zur Entartung. Siehe zum Beispiel das Kapitel über die zeitabhängige Störungstheorie in Sakurai und Griffiths (und Tonnen anderer Bücher).
@SahandTabatabaei Du hast vollkommen recht. Ich habe den Abschnitt überarbeitet.
Messungen mit einem Spektrum von Observablen zu verknüpfen ist QM der alten Schule. Es ist besser, Ergebnisse von Messungen mit orthogonalen Projektionen zu verknüpfen, die Rang 1 oder höher haben können (degenerierte Fälle).
@ Nephente Ich verstehe. Also meinst du, dass wir im degenerierten Fall nicht die Behauptung aufstellen sollten $\vert \langle n \vert U \vert m \rangle \vert^2$ ist eine "Übergangswahrscheinlichkeit von $\vert m \rangle$ Zu $\vert n \rangle$ " ernsthaft?
@SahandTabatabaei Nein nein, genau das ist die Wahrscheinlichkeit, zwischen den beiden Zuständen zu wechseln . Aber das ist nicht dasselbe wie die Wahrscheinlichkeit, Energie zu messen $E_n$ wenn es mehr als einen Zustand mit dieser Energie gibt.
@Nephente Aber warum ist es eine Wahrscheinlichkeit , wenn Wahrscheinlichkeiten nur in der Born-Regel für Messergebnisse in die Postulate von QM eingehen, und dies ist, wie Sie in Ihrer Antwort sagen, eine andere Größe als die Wahrscheinlichkeiten, die von der Born-Regel angegeben werden ?
@SahandTabatabaei Zu fragen, in welchem Zustand sich das System befindet, ist eine gültige Messung! Jeder Rang-eins-Projektor ist ein perfekt beobachtbares Objekt.

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