Über Borns Regel

$P_i = \mid\psi_i\rangle\langle\psi_i\mid$ist der eindimensionale „Projektions“-Operator. Mit „eindimensional“ ist gemeint, dass dieser Projektionsoperator projiziert$\psi$auf eine einzige Dimension im Hilbert-Raum.

Erstens jede Wellenfunktion$\psi$kann als Linearkombination orthogonaler Komponenten geschrieben werden. Das ist,$\psi = \sum a_i\mid\psi_i\rangle$Wo$a_i$ist ein Koeffizient. Wenn es gibt$n$solche Nicht-Null-Koeffizienten,$\psi$kann man sich als Vektor in vorstellen$n$Abmessungen, die Komponenten in jeder Längenrichtung aufweisen$a_i$in diesem$n-dimensional$Hilbert-Raum.$a_i$ist auch die Amplitude, die das Ergebnis ist$\psi_i$wird erhalten, wenn die Wellenfunktion in dieser Basis gemessen wird. Die Wahrscheinlichkeit ist Amplitude^2.

Die Projektionsmessung „projiziert“ im Wesentlichen den Zustand$\psi$auf eine dieser Komponenten.

Es ist am einfachsten zu demonstrieren, warum$P_i = \mid\psi_i\rangle\langle\psi_i\mid$durch Anwendung auf den Staat$\psi$.

$P_i\psi = P_i\sum a_k\mid\psi_k\rangle = \mid\psi_i\rangle\langle\psi_i\mid\sum a_k\mid\psi_k\rangle = \mid\psi_i\rangle\sum a_k\langle\psi_i\mid\psi_k\rangle = a_i\mid\psi_i\rangle$

Daher der Betreiber$P_i$Handeln in einem willkürlichen Zustand$\psi$, Projekte$\psi$auf seinen i-ten Komponentenvektor. (Dies ist analog zum Projizieren eines 2D-Vektors auf beispielsweise seine x-Komponente in der euklidischen Geometrie. Zum Beispiel, wenn ein Vektor$V = ax + by$, dann würde die Projektion auf die x-Achse nachgeben$V_x = ax$)

Also seit,$P_i\mid\psi\rangle=a_i\mid\psi_i\rangle$das können wir leicht zeigen$\langle\psi\mid P_i\mid\psi\rangle=\sum \langle\psi_k\mid a_k^*a_i\mid\psi_i\rangle = \sum a_k^*a_i\langle\psi_k\mid\psi_i\rangle = a_ia_i^* = \mid a_i\mid^2$

Deshalb haben wir das gezeigt$\langle\psi\mid P_i\mid\psi\rangle$gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sich die Wellenfunktion im Eigenzustand befindet$\psi_i$.

Der nächste Schritt besteht darin, zu zeigen, dass die Eins in Ihrem Buch auch die Wahrscheinlichkeit ist. Beachten Sie die Verwendung Ihres Buches von$P_x$soll die Wahrscheinlichkeit darstellen und ist nicht der Projektionsoperator. Betrachten Sie zuerst den Nenner$\langle\psi\mid\psi\rangle = \sum^j\sum^k\langle\psi_j\mid a_j^* a_k\mid\psi_k\rangle$. Die einzigen überlebenden Terme sind, wenn i=j. Daher kommen wir zu:

$\langle\psi\mid\psi\rangle = \sum^j\langle\psi_j\mid a_j^* a_j\mid\psi_j\rangle = \sum^j a_j^*a_j = \sum^j \mid a_j\mid ^2$Dies ist die Gesamtwahrscheinlichkeit jedes Zustands, die, wenn dies normalisiert wird, 1 sein sollte. Daher$\langle\psi\mid\psi\rangle = 1$für normierte Zustände, ansonsten ist es die Summe aller möglichen Amplituden^2.

Als nächstes betrachten wir den Zähler. Dies ist das Skalarprodukt der x-Komponenten des Zustands, der sich ergeben wird$a_x^* a_x = \mid a_x \mid ^2$Also ergibt Zähler über Nenner$\frac{\mid a_x \mid ^2}{\sum^j \mid a_j\mid ^2}$. Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Zustand x eintritt, dividiert durch die Wahrscheinlichkeit, dass irgendeiner der möglichen Zustände eintritt (die für normalisierte Zustände 1 sein sollte).